專題39 旋轉(zhuǎn)相似問(wèn)題（解析版）-中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)經(jīng)典問(wèn)題專題訓(xùn)練

專題39旋轉(zhuǎn)相似問(wèn)題【規(guī)律總結(jié)】“旋轉(zhuǎn)型”相似三角形，如圖．若圖中∠1=∠2，∠B=∠D(或∠C=∠E)，則△ADE∽△ABC，該圖可看成把第一個(gè)圖中的△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)某一角度而形成的【典例分析】例1．（2020·丹東第十中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，正方形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，以為對(duì)角線作正方形，邊與正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，連接．以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】D【分析】①四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，∠EAB、∠GAD與∠BAG的和均為90°，即可證明∠EAB與∠GAD相等；②由題意易得AD=DC，AG=FG，進(jìn)而可得，∠DAG=∠CAF，然后問(wèn)題可證；③由四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，可求證△HAF∽△FAC，則有，然后根據(jù)等量關(guān)系可求解；④由②及題意知∠ADG=∠ACF=45°，則問(wèn)題可求證．【詳解】解：①∵四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形∴∠EAG=∠BAD=90°又∵∠EAB=90°-∠BAG，∠GAD=90°-∠BAG∴∠EAB=∠GAD∴①正確②∵四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形∴AD=DC，AG=FG∴AC=AD，AF=AG∴，即又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC∴∠DAG=∠CAF∴∴②正確③∵四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，AF、AC為對(duì)角線∴∠AFH=∠ACF=45°又∵∠FAH=∠CAF∴△HAF∽△FAC∴即又∵AF=AE∴∴③正確④由②知又∵四邊形ABCD為正方形，AC為對(duì)角線∴∠ADG=∠ACF=45°∴DG在正方形另外一條對(duì)角線上∴DG⊥AC∴④正確故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)綜合運(yùn)用，同時(shí)利用到正方形相關(guān)性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于找到需要的相似三角形進(jìn)而證明．例2．（2019·浙江杭州市·八年級(jí)期末）已知正方形DEFG的頂點(diǎn)F在正方形ABCD的一邊AD的延長(zhǎng)線上，連結(jié)AG，CE交于點(diǎn)H，若，，則CH的長(zhǎng)為_(kāi)_______.【答案】【分析】連接EG，與DF交于N，設(shè)CD和AH交于M，證明△ANG∽ADM，得到，從而求出DM的長(zhǎng)，再通過(guò)勾股定理算出AM的長(zhǎng)，通過(guò)證明△ADG≌△CDE得到∠DAG=∠DCE，從而說(shuō)明△ADM∽△CHM，得到，最后算出CH的長(zhǎng).【詳解】解：連接EG，與DF交于N，設(shè)CD和AH交于M，∴∠GNA=90°，DN=FN=EN=GN，∵∠MAD=∠GAN，∠MDA=∠GNA=90°，∴△ANG∽ADM，∴，∵，∴DF=EG=2,∴DN=NG=1，∵AD=AB=3，∴，解得：DM=，∴MC=，AM=，∵∠ADM+∠MDG=∠EDG+∠CDG，∴∠ADG=∠EDC，在△ADG和△CDE中，，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴∠DAG=∠DCE，∵∠AMD=∠CMH，∴∠ADM=∠CHM=90°，∴△ADM∽△CHM，∴，即，解得：CH=.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是找到合適的全等三角形和相似三角形，通過(guò)其性質(zhì)計(jì)算出CH的長(zhǎng).例3．（2020·浙江金華市·九年級(jí)期末）如圖1，在中，，在斜邊上取一點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E．現(xiàn)將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度到如圖2所示的位置（點(diǎn)D在的內(nèi)部），使得．（1）①求證：；②若，求的長(zhǎng)；（2）如圖3，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，設(shè)，若，，求k的值；（3）如圖4，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，若，設(shè)，，試探究三者之間滿足的等量關(guān)系．（直接寫(xiě)出結(jié)果，不必寫(xiě)出解答過(guò)程）【答案】（1）①見(jiàn)解析；②；（2）；（3）4p2=9m2+4n2．【分析】（1）①先利用平行線分線段成比例定理得，進(jìn)而得出結(jié)論；②利用①得出的比例式求出CE，再判斷出∠DCE=90°，利用勾股定理即可得出結(jié)論；

（2）同（1）的方法判斷出△ABD∽△ACE，即可得出AE=4k，CE=3k，同（1）的方法得出∠DCE=90°，利用勾股定理得出DE的平方，用DE的平方建立方程求解即可；（3）同（2）的方法得出，即可得出結(jié)論；【詳解】解：（1）①∵DE∥BC，∴，由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，

∴△ABD∽△ACE，

②在Rt△ABC中，AC=BC，∴，由①知，△ABD∽△ACE，

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠ACD+∠ABD=90°，

∴∠ACE+∠ACD=90°，

∴∠DCE=90°，

∵△ABD∽△ACE，，∴，∵∴在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理得，DE=2，

在Rt△ADE中，AE=DE，∴（2）由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，，∴△ABD∽△ACE，∵AD=4，BD=3，

∴AE=kAD=4k，CE=kBD=3k，

∵△ABD∽△ACE，

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠ACD+∠ABD=90°，

∴∠ACE+∠ACD=90°，

∴∠DCE=90°，

在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=1+9k2，

在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=16-16k2，

∴1+9k2=16-16k2，∴或（舍），（3）由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，∴△ABD∽△ACE，∵AD=p，BD=n，∴，∵△ABD∽△ACE，

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠ACD+∠ABD=90°，

∴∠ACE+∠ACD=90°，

∴∠DCE=90°，

在Rt△CDE中，，∵，，∴4p2=9m2+4n2．【點(diǎn)睛】此題是相似三角形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的判定，解本題的關(guān)鍵是得出∠DCE=90°和利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例夾角相等來(lái)判斷兩三角形相似的方法應(yīng)用．【好題演練】一、單選題1．（2020·廣西貴港市·九年級(jí)其他模擬）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中線，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD對(duì)折，使點(diǎn)C落在C′的位置，C′D交AB于點(diǎn)Q，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)折疊得到對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)直角三角形的斜邊中線等于斜邊一半，可得出AD＝DC＝BD，AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，進(jìn)而求出∠C、∠B的度數(shù)，求出其他角的度數(shù)，可得AQ＝AC，將轉(zhuǎn)化為，再由相似三角形和等腰直角三角形的邊角關(guān)系得出答案．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，∵∠ADC＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE＝AD，在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中線，∴AD＝CD＝BD，由折疊得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，∴∠CDC′＝45°+45°＝90°，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C′AD，∴∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°，∴AC′＝AQ＝AC，由△AEC∽△BDQ得：＝，∴＝＝＝＝．故選：A．【點(diǎn)睛】考查直角三角形的性質(zhì)，折疊軸對(duì)稱的性質(zhì)，以及等腰三角形與相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，合理的轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2019·全國(guó)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BE⊥AC于點(diǎn)F，連接DF，給出下列四個(gè)結(jié)論：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABF：S四邊形CDEF＝2：5，其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】①根據(jù)四邊形ABCD是矩形，BE⊥AC，可得∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正確；

②根據(jù)點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，以及AD∥BC，得出△AEF∽△CBF，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，可得CF=2AF，故②正確；

③過(guò)D作DM∥BE交AC于N，得到四邊形BMDE是平行四邊形，求出BM=DE=BC，得到CN=NF，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論，故③正確；

④根據(jù)△AEF∽△CBF得到EF與BF的比值，以及AF與AC的比值，據(jù)此求出S△AEF=S△ABF，S△ABF=S矩形ABCD，可得S四邊形CDEF=S△ACD-S△AEF=S矩形ABCD，即可得到S四邊形CDEF=S△ABF，故④正確．【詳解】如圖，過(guò)D作DM∥BE交AC于N，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∵BE⊥AC于點(diǎn)F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正確；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝，∵AE＝AD＝BC，∴＝，∴CF＝2AF，故②正確，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四邊形BMDE是平行四邊形，∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF，∵BE⊥AC于點(diǎn)F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DF＝DC，故③正確；∵△AEF∽△CBF，∴＝＝，∴S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S矩形ABCD，∴S△AEF＝S矩形ABCD，又∵S四邊形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝S矩形ABCD﹣S矩形ABCD＝S矩形ABCD，∴S△ABF：S四邊形CDEF＝2：5，故④正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．二、填空題3．（2018·山西九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知四邊形ABCD與四邊形CFGE都是矩形，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)H為AG的中點(diǎn)，，，，，則DH的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【分析】延長(zhǎng)GE交AB于點(diǎn)M，作于首先求出AG、AH，由ADN∽，得，求出DN、AN，HN，在中利用勾股定理即可解決問(wèn)題．【詳解】延長(zhǎng)GE交AB于點(diǎn)M，作于N．四邊形ABCD與四邊形CFGE都是矩形，四邊形BFGM是矩形，，，，，點(diǎn)H為AG的中點(diǎn)，，，，，∽，，，，，，在中，．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．4．（2019·甘肅白銀市·九年級(jí)期末）如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BE⊥AC于點(diǎn)F，連接DF，分析下列五個(gè)結(jié)論：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四邊形CDEF＝S△ABF，其中正確的結(jié)論有_____個(gè)．【答案】4【分析】①四邊形ABCD是矩形，BE⊥AC，則∠ABC＝∠AFB＝90°，又∠BAF＝∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正確；②由AE＝AD＝BC，又AD∥BC，所以＝＝，故②正確；③過(guò)D作DM∥BE交AC于N，得到四邊形BMDE是平行四邊形，求出BM＝DE＝BC，得到CN＝NF，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論，故③正確；④根據(jù)△AEF∽△CBF得到，求出S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S矩形ABCDS四邊形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝S矩形ABCD﹣S矩形ABCD＝S矩形ABCD，即可得到S四邊形CDEF＝S△ABF，故④正確．【詳解】解：過(guò)D作DM∥BE交AC于N，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∵BE⊥AC于點(diǎn)F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正確；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝＝，∵AE＝AD＝BC，∴＝，∴CF＝2AF，故②正確，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四邊形BMDE是平行四邊形，∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF，∵BE⊥AC于點(diǎn)F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DF＝DC，故③正確；∵△AEF∽△CBF，∴，∴S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S矩形ABCD∴S△AEF＝S矩形ABCD，又∵S四邊形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝S矩形ABCD﹣S矩形ABCD＝S矩形ABCD，∴S四邊形CDEF＝S△ABF，故④正確；故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算，正確的作出輔助線，根據(jù)相似三角形表示出圖形面積之間關(guān)系是解題的關(guān)鍵．三、解答題5．（2020·河南南陽(yáng)市·九年級(jí)期中）將繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，并使各邊長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得到，我們將這種變換記為．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖①，對(duì)作變換得，則______；直線與直線所夾的銳角度數(shù)為_(kāi)_____．（2）拓展探究如圖②，中，且，連結(jié)，．對(duì)作變換得，求的值及直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)，并就圖②的情形說(shuō)明理由．（3）問(wèn)題解決如圖③，中，，，對(duì)作變換得，使點(diǎn)、、在同一直線上，且四邊形為矩形，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．【答案】（1），；（2），理由見(jiàn)解析；（3）．【分析】（1）利用新定義得出的意義，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∽，且相似比為，，進(jìn)而求出面積比，通過(guò)外角的性質(zhì)得到即可求出直線與直線所夾的銳角度數(shù)；（2）利用新定義得出的意義，得到，，進(jìn)而可以得到，下證∽，通過(guò)題中給的相似比即可求出面積之比，延長(zhǎng)交于，通過(guò)，，可以證得∽，從而得到的度數(shù)，即可得直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)；（3）由四邊形為矩形，得到，進(jìn)而求出的度數(shù)，利用含角的直角三角形的性質(zhì)即可得到的值，進(jìn)而求出的值．【詳解】解：（1）由題意可知：對(duì)作變換得，∽，且相似比為，，，，，，，即直線與直線所夾的銳角度數(shù)為：．故答案為：，．（2）根據(jù)題意得：，，，，∽，相似比，，，，延長(zhǎng)交于，如圖，設(shè)交于．，，∽，，，直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)為．（3）四邊形為矩形，，，，，，在中，，，，即的值為．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，相似三角形的判定和性質(zhì)，新定義運(yùn)算，三角形的外角性質(zhì)以及含角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出的意義．6．（2019·遼寧葫蘆島市·九年級(jí)一模）如圖，在中，∠AC8=90°，∠BAC=a，點(diǎn)D在邊AC上（不與點(diǎn)A、C重合）連接BD，點(diǎn)K為線段BD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，連結(jié)CK，EK，CE，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角小于90度)(1)如圖1．若a=45，則的形狀為_(kāi)_________________；(2)在（1)的條件下，若將圖1中的三角形ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得D，E，B三點(diǎn)共線，點(diǎn)K為線段BD的中點(diǎn)，如圖2所示，求證：；(3)若三角形ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖3位置時(shí)，使得D，E，B三點(diǎn)共線，點(diǎn)K仍為線段BD的中點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出BE，AE，CK三者之間的數(shù)量關(guān)系（用含a的三角函數(shù)表示）【答案】（1）等腰直角三角形；（2）見(jiàn)解析；（3）BE-AE=2CK；【分析】（1）利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)證明EK=KC，∠EKC=90°即可；（2）在BD上截取BG=DE，連接CG，設(shè)AC交BF于Q，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)利用SAS可證△AEC≌△BGC，由全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)易證△ECG是等腰直角三角形，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得CK=EK=KG，等量代換可得結(jié)論.（3）在BD上截取BG=DE，連接CG，設(shè)AC交BE于Q，根據(jù)等角的余角相等可得∠CAE=∠CBG，由tanα的表示可得，易證△CAE∽△CBG，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等量代換可得結(jié)論.【詳解】（1）等腰直角三角形；理由：如圖1中，∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠A=∠CBA=45°，∴CA=CB，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵DK=KB，∴EK=KB=DK=BD，∴∠KEB=∠KBE，∴∠EKD=∠KBE+∠KEB=2∠KBE，∵∠DCB=90°，DK=