2024屆上海市上外附中數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2024屆上海市上外附中數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．等比數(shù)列{an}中，Tn表示前n項(xiàng)的積，若T5＝1，則()A．a(chǎn)1＝1 B．a(chǎn)3＝1 C．a(chǎn)4＝1 D．a(chǎn)5＝12．在平行四邊形中，，若點(diǎn)滿足且，則A．10 B．25 C．12 D．153．已知函數(shù)，則有A．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 B．的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．的最小正周期為 D．在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減4．在直角梯形中，，為的中點(diǎn)，若，則A．1 B． C． D．5．在△ABC中，若asinA+bsinB＜csinC，則△ABC是（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．都有可能6．若||＝2cos15°，||＝4sin15°，的夾角為30°，則等于()A． B． C．2 D．7．等差數(shù)列{an}中，若S1=1A．2019 B．1 C．1009 D．10108．已知數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，滿足，且成等差數(shù)列，則（）A． B．6 C．7 D．99．已知數(shù)列滿足：，，則該數(shù)列中滿足的項(xiàng)共有（）項(xiàng)A． B． C． D．10．如圖，某船在A處看見燈塔P在南偏東方向，后來船沿南偏東的方向航行30km后，到達(dá)B處，看見燈塔P在船的西偏北方向，則這時(shí)船與燈塔的距離是：A．10kmB．20kmC．D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)，，的圖象如下圖所示，則，，的大小關(guān)系為__________．（用“”號(hào)連接）12．已知向量，，，則_________.13．已知實(shí)數(shù)滿足則的最小值為__________．14．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，則數(shù)列的公比為__________．15．設(shè)α為第二象限角，若sinα=3516．若函數(shù)的圖象與直線恰有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則m的取值范圍是________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)的最小正周期為.將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖象.（1）求的值及函數(shù)的解析式；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間及對(duì)稱中心18．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為，已知△ABC面積為.（1）求角C；（2）若D為AB中點(diǎn)，且c=2，求CD的最大值.19．已知函數(shù)的圖象與軸正半軸的交點(diǎn)為，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令（為正整數(shù)），問是否存在非零整數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，都有？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．20．如圖，已知四棱錐，底面是邊長為的菱形，，側(cè)面為正三角形，側(cè)面底面，為側(cè)棱的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）求三棱錐的體積21．已知向量，向量.（1）求向量的坐標(biāo)；（2）當(dāng)為何值時(shí)，向量與向量共線.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】分析：由題意知，由此可知，所以一定有．詳解

，．

故選B．點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．2、C【解題分析】

先由題意，用，表示出，再由題中條件，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以，則故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，熟記平面向量基本定理以及數(shù)量積的運(yùn)算法則即可，屬于?？碱}型.3、B【解題分析】

把函數(shù)化簡后再判斷．【題目詳解】，由正切函數(shù)的性質(zhì)知，A、C、D都錯(cuò)誤，只有B正確．【題目點(diǎn)撥】本題考查二倍角公式和正切函數(shù)的性質(zhì)．三角函數(shù)的性質(zhì)問題，一般要把函數(shù)化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后結(jié)合相應(yīng)的三角函數(shù)得出結(jié)論．4、B【解題分析】

連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，得到，可求出，從而可得出結(jié)果.【題目詳解】連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，,.故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量基本定理的應(yīng)用，熟記平面向量基本定理即可，屬于?？碱}型.5、A【解題分析】

由正弦定理化已知條件為邊的關(guān)系，然后由余弦定理可判斷角的大?。绢}目詳解】∵asinA+bsinB＜csinC，∴，∴，∴為鈍角．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理與余弦定理，考查三角形形狀的判斷，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解題分析】分析：先根據(jù)向量數(shù)量積定義化簡，再根據(jù)二倍角公式求值.詳解：因?yàn)?，所以選B.點(diǎn)睛：平面向量數(shù)量積的類型及求法(1)求平面向量數(shù)量積有三種方法：一是夾角公式；二是坐標(biāo)公式；三是利用數(shù)量積的幾何意義.(2)求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡.7、D【解題分析】

由等差數(shù)列{an}中，S1=1，S【題目詳解】∵等差數(shù)列{an}中，S∴S即15=5+10d，解得d=1，∴S故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列基本量的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解題分析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為，且不為1，由等差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公比，再由等比數(shù)列的求和公式，可得答案．【題目詳解】數(shù)列是公比不為l的等比數(shù)列，滿足，即且成等差數(shù)列，得，即，解得，則．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解題分析】

利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后解不等式，得出符合條件的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，即可得出結(jié)論.【題目詳解】，，，解不等式，即，即，，則或.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)列不等式的求解，同時(shí)也涉及了利用累加法求數(shù)列通項(xiàng)，解題的關(guān)鍵就是求出數(shù)列的通項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.10、C【解題分析】

在中，利用正弦定理求出得長，即為這時(shí)船與燈塔的距離，即可得到答案．【題目詳解】由題意，可得，即，在中，利用正弦定理得，即這時(shí)船與燈塔的距離是，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正弦定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，其中熟練掌握正弦定理是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】函數(shù)y=ax，y=xb，y=logcx的圖象如圖所示，由指數(shù)函數(shù)y=ax，x=2時(shí)，y∈（1，2）；對(duì)數(shù)函數(shù)y=logcx，x=2，y∈（0，1）；冪函數(shù)y=xb，x=2，y∈（1，2）；可得a∈（1，2），b∈（0，1），c∈（2，+∞）．可得b＜a＜c故答案為：b＜a＜c．12、【解題分析】

根據(jù)向量平行交叉相乘相減等于0即可．【題目詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)向量平行，所以【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量的平行，即，若則，屬于基礎(chǔ)題．13、【解題分析】

本題首先可以根據(jù)題意繪出不等式組表示的平面區(qū)域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何性質(zhì)，找出目標(biāo)函數(shù)取最小值所過的點(diǎn)，即可得出結(jié)果?！绢}目詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值，即?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)不等式組表示的平面區(qū)域來求目標(biāo)函數(shù)的最值，能否繪出不等式組表示的平面區(qū)域是解決本題的關(guān)鍵，考查數(shù)形結(jié)合思想，是簡單題。14、【解題分析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為，由可求出的值.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，因此，數(shù)列的公比為，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列公比的計(jì)算，在等比數(shù)列的問題中，通常將數(shù)列中的項(xiàng)用首項(xiàng)和公比表示，建立方程組來求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15、-【解題分析】

先求出cosα，再利用二倍角公式求sin2α【題目詳解】因?yàn)棣翞榈诙笙藿?，若sinα=所以cosα=所以sin2α故答案為-【題目點(diǎn)撥】本題主要考查同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，考查二倍角的正弦公式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

化簡函數(shù)解析式為，做出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得的取值范圍．【題目詳解】解：因?yàn)樗裕?，由，可得，則函數(shù)，的圖象與直線恰有兩個(gè)不同交點(diǎn)，即方程在上有兩個(gè)不同的解，畫出的圖象如下所示：依題意可得時(shí)，函數(shù)的圖象與直線恰有兩個(gè)不同交點(diǎn)，故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正弦函數(shù)的最大值和單調(diào)性，函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象特征，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，，對(duì)稱中心為.【解題分析】

（1）整理可得：，利用其最小正周期為即可求得：，即可求得：，再利用函數(shù)圖象平移規(guī)律可得：，問題得解.（2）令，，解不等式即可求得的單調(diào)遞增區(qū)間；令，，解方程即可求得的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，問題得解.【題目詳解】解：（1），由,得.所以.于是圖象對(duì)應(yīng)的解析式為.（2）由,得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.由，解得.所以的對(duì)稱中心為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了二倍角公式、兩角和的正弦公式應(yīng)用及三角函數(shù)性質(zhì)，考查方程思想及轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力，屬于中檔題。18、（1）（2）【解題分析】

（1）根據(jù)，由正弦定理化角為邊，得，再根據(jù)余弦定理即可求出角C；（2）由余弦定理可得，又，結(jié)合基本不等式可求得．由中點(diǎn)公式的向量式得，再利用數(shù)量積的運(yùn)算，即可求出的最大值．【題目詳解】（1）依題意得，，由正弦定理得，，即，由余弦定理得，，又因?yàn)?，所?（2）∵，，∴，即．∵為中點(diǎn)，所以，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以的最大值為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用正、余弦定理解三角形，以及利用中點(diǎn)公式的向量式結(jié)合基本不等式解決中線的最值問題，意在考查學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．19、（1）；（2）存在，.【解題分析】

（1）把點(diǎn)A帶入即可（2）根據(jù)（1）的計(jì)算出、，再解不等式即可【題目詳解】（1）設(shè)，得，．所以；（2），若存在，滿足恒成立即：，恒成立當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，所以，故：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)列通項(xiàng)的求法，以及不等式恒成立的問題，不等式恒成立是一個(gè)難點(diǎn)，也是高考中的?？键c(diǎn)，本題屬于較難的題。20、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）【解題分析】

（Ⅰ）連接，交于點(diǎn)；根據(jù)三角形中位線可證得；由線面平行判定定理可證得結(jié)論；（Ⅱ）由等腰三角形三線合一可知；由面面垂直的性質(zhì)可知平面；根據(jù)線面垂直性質(zhì)可證得結(jié)論；（Ⅲ）利用體積橋的方式將所求三棱錐體積轉(zhuǎn)化為；根據(jù)已知長度和角度關(guān)系分別求得四邊形面積和高，代入得到結(jié)果.【題目詳解】（Ⅰ）證明：連接，交于點(diǎn)四邊形為菱形為中點(diǎn)又為中點(diǎn)平面，平面