2024屆江蘇省百校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2024屆江蘇省百校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，為方程的兩根，則（）A．9 B．27 C．64 D．812．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表.其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為:弧田面積(弦矢+矢).弧田，由圓弧和其所對(duì)弦所圍成.公式中“弦”指圓弧所對(duì)的弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為，弦長(zhǎng)等于的弧田.按照《九章算術(shù)》中弧田面積的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積為（）A． B． C． D．3．角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)且，則的值為()A．-3 B．3 C．±3 D．54．已知正四面體ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為()A． B． C． D．5．已知平面向量，，且，則等于（）A． B． C． D．6．向量，，且，則等于（）A． B． C．2 D．107．圓周運(yùn)動(dòng)是一種常見(jiàn)的周期性變化現(xiàn)象，可表述為：質(zhì)點(diǎn)在以某點(diǎn)為圓心半徑為r的圓周上的運(yùn)動(dòng)叫“圓周運(yùn)動(dòng)”，如圖所示，圓O上的點(diǎn)以點(diǎn)A為起點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到點(diǎn)P，若連接OA、OP，形成一個(gè)角，當(dāng)角，則（）A． B． C． D．18．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，則一定是（）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形9．甲.乙兩人同時(shí)從寢室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半時(shí)間步行，一半時(shí)間跑步，如果兩人步行速度.跑步速度均相同，則（）A．甲先到教室 B．乙先到教室C．兩人同時(shí)到教室 D．誰(shuí)先到教室不確定10．已知的三個(gè)內(nèi)角之比為，那么對(duì)應(yīng)的三邊之比等于（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若在上是減函數(shù)，則的取值范圍為_(kāi)_____.12．已知，，，則的最小值為_(kāi)_________．13．已知向量，，且，點(diǎn)在圓上，則等于．14．設(shè)為三條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)判斷:①若則；②若是在內(nèi)的射影，，則；③底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；④若球的表面積擴(kuò)大為原來(lái)的16倍，則球的體積擴(kuò)大為原來(lái)的32倍；其中正確的為_(kāi)__________.15．在中，角所對(duì)的邊分別為，，的平分線交于點(diǎn)D，且，則的最小值為_(kāi)_______．16．已知，若直線與直線垂直，則的最小值為_(kāi)____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．對(duì)于定義域相同的函數(shù)和，若存在實(shí)數(shù)，使，則稱(chēng)函數(shù)是由“基函數(shù)，”生成的.（1）若函數(shù)是“基函數(shù)，”生成的，求實(shí)數(shù)的值；（2）試?yán)谩盎瘮?shù)，”生成一個(gè)函數(shù)，且同時(shí)滿(mǎn)足：①是偶函數(shù)；②在區(qū)間上的最小值為.求函數(shù)的解析式.18．從高三學(xué)生中抽出50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，由成績(jī)得到如圖所示的頻率分布直方圖.利用頻率分布直方圖求：（1）這50名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)與中位數(shù)；（2）這50名學(xué)生的平均成績(jī).（答案精確到0.1）19．已知無(wú)窮數(shù)列，是公差分別為、的等差數(shù)列，記（），其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，即.（1）直接寫(xiě)出數(shù)列，的前4項(xiàng)，使得數(shù)列的前4項(xiàng)為：2，3，4，5；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)的和；（3）求證：數(shù)列為等差數(shù)列的必要非充分條件是.20．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，，數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量，又點(diǎn)，，，.（1）若，且，求向量；（2）若向量與向量共線，常數(shù)，求的值域.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

由韋達(dá)定理得，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得結(jié)果.【題目詳解】由已知得是正項(xiàng)等比數(shù)列本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的三項(xiàng)之積的求法，關(guān)鍵是對(duì)等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行合理運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解題分析】

首先根據(jù)圖形計(jì)算出矢，弦，再帶入弧田面積公式即可.【題目詳解】如圖所示：因?yàn)?，，為等邊三角?所以，矢，弦..故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查扇形面積公式，同時(shí)考查學(xué)生對(duì)題意的理解，屬于中檔題.3、B【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義建立方程關(guān)系即可．【題目詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)且，所以則解得【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，應(yīng)注意求出的b為正值．4、B【解題分析】試題分析：如圖，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，則，或其補(bǔ)角就是異面直線所成的角，設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為1，則，，．故選B．考點(diǎn)：異面直線所成的角．【名師點(diǎn)睛】求異面直線所成的角的關(guān)鍵是通過(guò)平移使其變?yōu)橄嘟恢本€所成角，但平移哪一條直線、平移到什么位置，則依賴(lài)于特殊的點(diǎn)的選取，選取特殊點(diǎn)時(shí)要盡可能地使它與題設(shè)的所有相減條件和解題目標(biāo)緊密地聯(lián)系起來(lái)．如已知直線上的某一點(diǎn)，特別是線段的中點(diǎn)，幾何體的特殊線段．5、B【解題分析】

先由求出，然后按照向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則算出答案即可【題目詳解】因?yàn)?，，且所以，即，所以所以故選：B【題目點(diǎn)撥】若，則6、B【解題分析】

先由數(shù)量積為，得出，求出的坐標(biāo)，利用模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式求解即可.【題目詳解】由題意可得，則則故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量模的坐標(biāo)表示以及向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解題分析】

運(yùn)用求任意角的三角函數(shù)值的步驟：化正、脫周、變銳角和求值，可得所求值.【題目詳解】.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查任意角三角函數(shù)值的求法，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】

利用余弦定理、等邊三角形的判定方法即可得出．【題目詳解】由余弦定理得，則，即，所以.∵∴是等邊三角形.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了余弦定理、等邊三角形的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，熟練掌握余弦定理是解答本題的關(guān)鍵．9、B【解題分析】

設(shè)兩人步行，跑步的速度分別為，（）．圖書(shū)館到教室的路程為，再分別表示甲乙的時(shí)間，作商比較即可.【題目詳解】設(shè)兩人步行、跑步的速度分別為，（）．圖書(shū)館到教室的路程為．則甲所用的時(shí)間為：．乙所用的時(shí)間，滿(mǎn)足+，解得．則＝＝＝1．∴．故乙先到教室．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了路程與速度、時(shí)間的關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解題分析】∵已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角之比為,∴有,再由,可得，故三內(nèi)角分別為.再由正弦定理可得三邊之比，故答案為點(diǎn)睛：本題考查正弦定理的應(yīng)用，結(jié)合三角形內(nèi)角和等于，很容易得出三個(gè)角的大小，利用正弦定理即出結(jié)果二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，，時(shí)，是余弦函數(shù)單調(diào)減區(qū)間的子集，即可求解.【題目詳解】,時(shí)，,且在上是減函數(shù)，，，因?yàn)榻獾?【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的三角恒等變化，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.12、8【解題分析】由題意可得：則的最小值為.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.點(diǎn)睛：在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．13、【解題分析】試題分析：因?yàn)榍以趫A上，所以，解得，所以．考點(diǎn)：向量運(yùn)算．【思路點(diǎn)晴】平面向量的數(shù)量積計(jì)算問(wèn)題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，涉及幾何圖形的問(wèn)題，先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可起到化繁為簡(jiǎn)的妙用．利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關(guān)角度問(wèn)題、線段長(zhǎng)問(wèn)題及垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來(lái)解決．列出方程組求解未知數(shù)．14、①②【解題分析】

對(duì)四個(gè)命題分別進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論【題目詳解】①若，垂足為，與確定平面，，則，，則，，則，故，故正確②若，是在內(nèi)的射影，，根據(jù)三垂線定理，可得，故正確③底面是等邊三角形，側(cè)面都是有公共頂點(diǎn)的等腰三角形的三棱錐是正三棱錐，故不正確④若球的表面積擴(kuò)大為原來(lái)的倍，則半徑擴(kuò)大為原來(lái)的倍，則球的體積擴(kuò)大為原來(lái)的倍，故不正確其中正確的為①②【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了空間中直線與平面之間的位置關(guān)系、球的體積等知識(shí)點(diǎn)，數(shù)量掌握各知識(shí)點(diǎn)然后對(duì)其進(jìn)行判斷，較為基礎(chǔ)。15、9【解題分析】分析：先根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.詳解：由題意可知，,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，化簡(jiǎn)得，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最小值為.點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿(mǎn)足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.16、8【解題分析】

兩直線斜率存在且互相垂直，由斜率乘積為-1求得等式，把目標(biāo)式子化成，運(yùn)用基本不等式求得最小值.【題目詳解】設(shè)直線的斜率為，，直線的斜率為，，兩條直線垂直，，整理得：，，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，的最小值為.【題目點(diǎn)撥】利用“1”的代換，轉(zhuǎn)化成可用基本不等式求最值，考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1).(2)【解題分析】

（1）根據(jù)基函數(shù)的定義列方程，比較系數(shù)后求得的值.（2）設(shè)出的表達(dá)式，利用為偶函數(shù)，結(jié)合偶函數(shù)的定義列方程，化簡(jiǎn)求得，由此化簡(jiǎn)的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)，利用定義法證得在上的單調(diào)性，由此求得的最小值，也即的最小值，從而求得的最小值，結(jié)合題目所給條件，求出的值，即求得的解析式.【題目詳解】解：（1）由已知得，即，得，所以.（2）設(shè)，則.由，得，整理得，即，即對(duì)任意恒成立，所以.所以.設(shè)，，令，則，任取，且則，因?yàn)椋宜?，，，故即，所以在單調(diào)遞增，所以，且當(dāng)時(shí)取到“”.所以，又在區(qū)間的最小值為，所以，且，此時(shí)，所以【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查新定義函數(shù)的理解和運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的運(yùn)用，考查利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查函數(shù)與方程的思想，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題.18、（1）眾數(shù)為75分，中位數(shù)為分；（2）76.2分【解題分析】

（1）由眾數(shù)的概念及頻率分布直方圖可求得眾數(shù)，根據(jù)中位數(shù)的概念可求得中位數(shù)；.（2）由平均數(shù)的概念和頻率直方圖可求得平均數(shù).【題目詳解】（1）由眾數(shù)的概念及頻率分布直方圖可知，這50名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)為75分.因?yàn)閿?shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)?cè)诘念l率為，數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)?cè)诘念l率為.所以中位數(shù)為.（2）這50名學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)頻率直方圖求得數(shù)字特征，關(guān)鍵在于理解各數(shù)字特征的含義，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）的前4項(xiàng)為1，2，3，4，的前4項(xiàng)為1，1，1，1；（2）；（3）證明見(jiàn)解析【解題分析】

（1）根據(jù)定義，選擇，的前4項(xiàng)，盡量選用整數(shù)計(jì)算方便；（2）分別考慮，的前項(xiàng)的規(guī)律，然后根據(jù)計(jì)算的運(yùn)算規(guī)律計(jì)算；（3）根據(jù)必要不充分條件的推出情況去證明即可.【題目詳解】（1）由的前4項(xiàng)為：2，3，4，5，選、的前項(xiàng)為正整數(shù)：的前4項(xiàng)為1，2，3，4，的前4項(xiàng)為1，1，1，1；（2）將的前項(xiàng)列舉出：；將的前項(xiàng)列舉出：；則；（3）充分性：取，此時(shí)，將的前項(xiàng)列舉出：，將前項(xiàng)列出：，此時(shí)的前項(xiàng)為：，顯然不是等差數(shù)列，充分性不滿(mǎn)足；必要性：設(shè)，，當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以有：，且，所以；，，不妨令，則有如下不等式：；當(dāng)時(shí)，令，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)解；當(dāng)時(shí)，令，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)解；所以必有：，故：必要性滿(mǎn)足；綜上：數(shù)列為等差數(shù)列的必要非充分條件是【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列的定義以及證明，難度困難.對(duì)于充分必要條件的證明，需要對(duì)充分性和必要性同時(shí)分析，不能取其一分析；新定義的數(shù)列問(wèn)題，可通過(guò)定義先理解定義的含義，然后再分析問(wèn)題.20、（1）（2）【解題分析】

（1）先設(shè)等比數(shù)列的公比為，再求解即可；（2）由已知條件可得，再利用錯(cuò)位相減法求和即可.【題目詳解】解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由，，則，即，則，（2）由數(shù)列的前項(xiàng)和，則，即當(dāng)時(shí)，，即，又，所以，，①，②①-②得：，即.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，重點(diǎn)考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列前項(xiàng)和，屬中檔題.21、（1）或；（2）當(dāng)時(shí)的值域?yàn)?時(shí)的值域?yàn)?【解題分析】分析：（1）由已知表示出向量，再根據(jù)，