2024屆江蘇省蘇州市高三上學(xué)期11月期中摸底數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE3江蘇省蘇州市2024屆高三上學(xué)期11月期中摸底數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知集合，，且都是全集的子集，則右圖中陰影部分表示的集合是（）A. B.C D.【答案】C【解析】由圖可知，陰影部分表示的集合為，，，.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)，且是純虛數(shù)，則（）A. B.0 C.2 D.【答案】A【解析】，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得，所以.故選：A.3.青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V滿足．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.8，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）（）A.1.6 B.1.2 C.0.8 D.0.6【答案】D【解析】在中，，所以，即，解得，所以其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為0.6，故選：D.4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則，即.若，則，則.故“”是“”的充分不必要條件.故選：A5.已知是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊的中點(diǎn)，連結(jié)并延長到點(diǎn)F，使得，則的值為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】設(shè)，，所以，，，所以.故選：B.6.設(shè)、，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?、，則，且，，所以，，可得.故選：A.7.已知直線與是曲線的兩條切線，則（）A. B. C.4 D.無法確定【答案】A【解析】由已知得，曲線的切線過，時(shí)，曲線為，設(shè)，直線在曲線上的切點(diǎn)為，，切線：，又切線過，∴，，同理取，曲線為，設(shè)，直線在曲線上的切點(diǎn)為，，切線：，又切線過，，∴，故選：A8.已知實(shí)數(shù)，，，那么實(shí)數(shù)的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由于可得，即，又由于，所以，假設(shè)在中，，，角B的平分線交邊AC于點(diǎn)D，所以，，，所以,所以即，所以，所以，所以即，解得，在中，即，所以，由于即，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以故選：B.二、多選題9.若函數(shù)，則下列命題正確的是（）A.函數(shù)的圖象與的圖象重合B.C.D.存在唯一的，使得【答案】AC【解析】，A對(duì)；，，，B錯(cuò)；，，C對(duì)．，，當(dāng)，即時(shí)，，，使得；當(dāng)，即時(shí)，，，使得.所以，有兩解.故選：AC.10.在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊，齊去長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，二馬相逢.則（）A.駑馬第七日行九十四里 B.第七日良馬先至齊C.第八日二馬相逢 D.二馬相逢時(shí)良馬行一千三百九十五里【答案】AD【解析】由題意可知，兩馬日行里數(shù)都成等差數(shù)列;記數(shù)列為良馬的日行里數(shù)，其中首項(xiàng)公差所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為記數(shù)列為駑馬的日行里數(shù)，其中首項(xiàng)公差所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為因此，對(duì)于A，駑馬第七日行里數(shù)為，即駑馬第七日行九十四里；故A正確；第七日良馬行走總里程為，而齊去長安一千一百二十五里，因?yàn)?，所以第七日良馬未至齊；所以B錯(cuò)誤；設(shè)第日兩馬相逢，由題意可知兩馬行走的總里數(shù)是齊去長安距離的兩倍，即，解得或（舍），即第九日二馬相逢；故C錯(cuò)誤；由C可知，第九日二馬相逢，此時(shí)良馬共行走了，所以，二馬相逢時(shí)良馬行一千三百九十五里，所以D正確；故選：AD.11.在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，線段上有動(dòng)點(diǎn)，棱上點(diǎn)滿足．以下說法中，正確的有（）A.直線與是異面直線B直線平面C.三棱錐的體積是1D.三棱錐的體積是3【答案】ABC【解析】對(duì)A選項(xiàng)：異面直線的判斷方法：經(jīng)過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線，因?yàn)槠矫妫矫?，平面，直線，故直線與是異面直線.對(duì)B選項(xiàng)：下面先證明面面，再證直線平面.如圖：連結(jié)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，在正方形中，有，又，故，又面，面，所以面，又，面，面，所以面，面，面，，所以面面.又面，故直線平面，所以B正確.對(duì)選項(xiàng)C：，，故C正確D不正確；故選：ABC.12.設(shè)m∈R，直線與直線相交于點(diǎn)P（x，y），線段AB是圓C：的一條動(dòng)弦，Q為弦AB的中點(diǎn)，，下列說法正確的是（）A.點(diǎn)P在定圓 B.點(diǎn)P在圓C外C.線段PQ長的最大值為 D.的最小值為【答案】BCD【解析】直線過定點(diǎn)，直線過定點(diǎn)，又，所以兩直線垂直，所以兩直線的交點(diǎn)的軌跡是以線段為直徑的圓，，所以交點(diǎn)的軌跡方程為，故A錯(cuò)誤；圓的圓心為，半徑為，因?yàn)椋詧A與圓C：相離，即點(diǎn)P在圓C外，故B正確；因?yàn)镼為弦AB的中點(diǎn)，，所以，所以弦AB的中點(diǎn)Q的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，則點(diǎn)Q的軌跡方程為，則圓與圓相離，所以線段PQ長的最大值為，故C正確；，因?yàn)榫€段PQ長的最小值為，所以的最小值為，即的最小值為，故D正確.故選：BCD.三、填空題13.中，，若，則___________．【答案】【解析】，，即．.故答案為：.14.“m＞1”是“函數(shù)的最大值小于1”的___________條件.(在“充分不必要”?“必要不充分”?“充要”?“既不充分也不必要”中選擇一個(gè)填空)【答案】充分不必要【解析】①時(shí)，，即；②對(duì)于函數(shù)，，若，則，f(x)在x>0時(shí)單調(diào)遞減，沒有最大值；若，則時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；∴，若，則．故“m＞1”是“函數(shù)的最大值小于1”的“充分不必要”條件．故答案為：充分不必要．15.某區(qū)域規(guī)劃建設(shè)扇形觀景水池，同時(shí)緊貼水池周邊建設(shè)一圈人行步道.要求總預(yù)算費(fèi)用24萬元，水池造價(jià)為每平方米400元，步道造價(jià)為每米1000元（不考慮寬度厚度等因素），則水池面積最大值為___________平方米.【答案】400【解析】如圖，設(shè)扇形的半徑為，則弧長為，扇形面積為，∴，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即是取等號(hào)，∴，令∴，解得，則，∴當(dāng)，，時(shí)水池面積最大，最大值為400平方米.故答案為：400.16.中，，則的最小值為___________．【答案】2【解析】且∴原式若A為鈍角，則為鈍角，∴與條件矛盾，舍故A為銳角，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”故答案為：2.四、解答題17.已知向量.（1）若，求的值；（2）記，求函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的值域.（1）解：，，，即，.（2）解：由圖象向右平移，橫坐標(biāo)變?yōu)?倍得，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，即值域?yàn)?18.已知等差數(shù)列滿足，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）因?yàn)椋?，所以，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，可得，當(dāng)時(shí)，，可得，所以.（2）當(dāng)奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以.19.記中內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知，.（1）求A；（2）點(diǎn)A，D位于直線異側(cè)，，.求的最大值.解;（1）∵且，∴，∴由正弦定理得，∴，∴，∴，∴，∵，，，，，∴，∴，∴.（2）由（1）知，且，∴，由余弦定理得，∵，∴，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值，取得最大值，∴的最大值.20.已知直三棱柱，，，．（1）證明：∥平面；（2）當(dāng)最短時(shí)，求二面角的余弦值．（1）證明：直三棱柱中，，以為正交基底如圖建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則，，，所以．因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為．因?yàn)椋矫?，所以∥平面ABC．（2）解：由（1）得，．當(dāng)時(shí)，最短，所以，．所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，，所以平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，設(shè)二面角的平面角為，則，由圖可知二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為．21.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的焦距為2，過點(diǎn).（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線交橢圓C于點(diǎn)P，Q，直線AP，AQ分別交y軸于點(diǎn)M，N，且，求證：直線過定點(diǎn).（1）解：方法一：設(shè)橢圓的焦距為，則.不妨設(shè)，，所以，，所以，解得.因?yàn)?，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.方法二：設(shè)橢圓的焦距為，則.由解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）證明：顯然直線AP，AQ斜率都存在.設(shè)直線AP的方程為.令，得.設(shè)直線的方程為，同理可得.因?yàn)?，所以，所?設(shè)直線的方程為.由得，所以，，所以，所以，所以解得.所以直線過點(diǎn)22.已知函數(shù)．（1）求的最小值；（2）設(shè)點(diǎn)，證明：當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線．（1）解：，令，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，．（2）證明：設(shè)過點(diǎn)且與相切的直線與的切點(diǎn)為，所以，切線的斜率為所以，切線方程為因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以，，即，所以，因?yàn)?，所以，令，，解得，所以，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，在上至多兩個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)椋?，，所以，在上有一個(gè)零點(diǎn)，下面證明在有一個(gè)零點(diǎn).令，則，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，，即，，當(dāng)時(shí)，，令，則所以，，所以，在上有一個(gè)零點(diǎn)所以，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線．江蘇省蘇州市2024屆高三上學(xué)期11月期中摸底數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知集合，，且都是全集的子集，則右圖中陰影部分表示的集合是（）A. B.C D.【答案】C【解析】由圖可知，陰影部分表示的集合為，，，.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)，且是純虛數(shù)，則（）A. B.0 C.2 D.【答案】A【解析】，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得，所以.故選：A.3.青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V滿足．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.8，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）（）A.1.6 B.1.2 C.0.8 D.0.6【答案】D【解析】在中，，所以，即，解得，所以其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為0.6，故選：D.4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則，即.若，則，則.故“”是“”的充分不必要條件.故選：A5.已知是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊的中點(diǎn)，連結(jié)并延長到點(diǎn)F，使得，則的值為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】設(shè)，，所以，，，所以.故選：B.6.設(shè)、，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?、，則，且，，所以，，可得.故選：A.7.已知直線與是曲線的兩條切線，則（）A. B. C.4 D.無法確定【答案】A【解析】由已知得，曲線的切線過，時(shí)，曲線為，設(shè)，直線在曲線上的切點(diǎn)為，，切線：，又切線過，∴，，同理取，曲線為，設(shè)，直線在曲線上的切點(diǎn)為，，切線：，又切線過，，∴，故選：A8.已知實(shí)數(shù)，，，那么實(shí)數(shù)的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由于可得，即，又由于，所以，假設(shè)在中，，，角B的平分線交邊AC于點(diǎn)D，所以，，，所以,所以即，所以，所以，所以即，解得，在中，即，所以，由于即，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以故選：B.二、多選題9.若函數(shù)，則下列命題正確的是（）A.函數(shù)的圖象與的圖象重合B.C.D.存在唯一的，使得【答案】AC【解析】，A對(duì)；，，，B錯(cuò)；，，C對(duì)．，，當(dāng)，即時(shí)，，，使得；當(dāng)，即時(shí)，，，使得.所以，有兩解.故選：AC.10.在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊，齊去長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，二馬相逢.則（）A.駑馬第七日行九十四里 B.第七日良馬先至齊C.第八日二馬相逢 D.二馬相逢時(shí)良馬行一千三百九十五里【答案】AD【解析】由題意可知，兩馬日行里數(shù)都成等差數(shù)列;記數(shù)列為良馬的日行里數(shù)，其中首項(xiàng)公差所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為記數(shù)列為駑馬的日行里數(shù)，其中首項(xiàng)公差所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為因此，對(duì)于A，駑馬第七日行里數(shù)為，即駑馬第七日行九十四里；故A正確；第七日良馬行走總里程為，而齊去長安一千一百二十五里，因?yàn)?，所以第七日良馬未至齊；所以B錯(cuò)誤；設(shè)第日兩馬相逢，由題意可知兩馬行走的總里數(shù)是齊去長安距離的兩倍，即，解得或（舍），即第九日二馬相逢；故C錯(cuò)誤；由C可知，第九日二馬相逢，此時(shí)良馬共行走了，所以，二馬相逢時(shí)良馬行一千三百九十五里，所以D正確；故選：AD.11.在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，線段上有動(dòng)點(diǎn)，棱上點(diǎn)滿足．以下說法中，正確的有（）A.直線與是異面直線B直線平面C.三棱錐的體積是1D.三棱錐的體積是3【答案】ABC【解析】對(duì)A選項(xiàng)：異面直線的判斷方法：經(jīng)過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線，因?yàn)槠矫?，平面，平面，直線，故直線與是異面直線.對(duì)B選項(xiàng)：下面先證明面面，再證直線平面.如圖：連結(jié)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，在正方形中，有，又，故，又面，面，所以面，又，面，面，所以面，面，面，，所以面面.又面，故直線平面，所以B正確.對(duì)選項(xiàng)C：，，故C正確D不正確；故選：ABC.12.設(shè)m∈R，直線與直線相交于點(diǎn)P（x，y），線段AB是圓C：的一條動(dòng)弦，Q為弦AB的中點(diǎn)，，下列說法正確的是（）A.點(diǎn)P在定圓 B.點(diǎn)P在圓C外C.線段PQ長的最大值為 D.的最小值為【答案】BCD【解析】直線過定點(diǎn)，直線過定點(diǎn)，又，所以兩直線垂直，所以兩直線的交點(diǎn)的軌跡是以線段為直徑的圓，，所以交點(diǎn)的軌跡方程為，故A錯(cuò)誤；圓的圓心為，半徑為，因?yàn)?，所以圓與圓C：相離，即點(diǎn)P在圓C外，故B正確；因?yàn)镼為弦AB的中點(diǎn)，，所以，所以弦AB的中點(diǎn)Q的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，則點(diǎn)Q的軌跡方程為，則圓與圓相離，所以線段PQ長的最大值為，故C正確；，因?yàn)榫€段PQ長的最小值為，所以的最小值為，即的最小值為，故D正確.故選：BCD.三、填空題13.中，，若，則___________．【答案】【解析】，，即．.故答案為：.14.“m＞1”是“函數(shù)的最大值小于1”的___________條件.(在“充分不必要”?“必要不充分”?“充要”?“既不充分也不必要”中選擇一個(gè)填空)【答案】充分不必要【解析】①時(shí)，，即；②對(duì)于函數(shù)，，若，則，f(x)在x>0時(shí)單調(diào)遞減，沒有最大值；若，則時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；∴，若，則．故“m＞1”是“函數(shù)的最大值小于1”的“充分不必要”條件．故答案為：充分不必要．15.某區(qū)域規(guī)劃建設(shè)扇形觀景水池，同時(shí)緊貼水池周邊建設(shè)一圈人行步道.要求總預(yù)算費(fèi)用24萬元，水池造價(jià)為每平方米400元，步道造價(jià)為每米1000元（不考慮寬度厚度等因素），則水池面積最大值為___________平方米.【答案】400【解析】如圖，設(shè)扇形的半徑為，則弧長為，扇形面積為，∴，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即是取等號(hào)，∴，令∴，解得，則，∴當(dāng)，，時(shí)水池面積最大，最大值為400平方米.故答案為：400.16.中，，則的最小值為___________．【答案】2【解析】且∴原式若A為鈍角，則為鈍角，∴與條件矛盾，舍故A為銳角，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”故答案為：2.四、解答題17.已知向量.（1）若，求的值；（2）記，求函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的值域.（1）解：，，，即，.（2）解：由圖象向右平移，橫坐標(biāo)變?yōu)?倍得，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，即值域?yàn)?18.已知等差數(shù)列滿足，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）因?yàn)?，所以，所以，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，可得，當(dāng)時(shí)，，可得，所以.（2）當(dāng)奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以.19.記中內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知，.（1）求A；（2）點(diǎn)A，D位于直線異側(cè)，，.求的最大值.解;（1）∵且，∴，∴由正弦定理得，∴，∴，∴，∴，∵，，，，，∴，∴，∴.（2）由（1）知，且，∴，由余弦定理得，∵，∴，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值，取得最大值，∴的最大值.20.已知直三棱柱，，