全等動點問題

動點問題1．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝4cm，點D為AB的中點．（1）如果點P在線段BC上以1cm/s的速度由點B向點C運動，同時，點Q在線段CA上由點C向點A運動．①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1秒后，△BPD與△CPQ是否全等，請說明理由．

【解答】解：（1）①全等，

理由如下：

∵t＝1秒，

∴BP＝CQ＝1×1＝1厘米，

∵AB＝6cm，點D為AB的中點，

∴BD＝3cm．

又∵PC＝BC﹣BP，BC＝4cm，

∴PC＝4﹣1＝3cm，

∴PC＝BD．

又∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴△BPD≌△CPQ；②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為

cm/s時，在某一時刻也能夠使△BPD與△CPQ全等．

（2）若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿△ABC的三邊運動．求經過多少秒后，點P與點Q第一次相遇，并寫出第一次相遇點在△ABC的哪條邊上？

②假設△BPD≌△CPQ，

∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，

又∵△BPD≌△CPQ，∠B＝∠C，則BP＝CP＝2，BD＝CQ＝3，

∴點P，點Q運動的時間t＝2秒，

∴vQ＝1.5cm/s；

（2）設經過x秒后點P與點Q第一次相遇，

由題意，得1.5x＝x+2×6，

解得x＝24，

∴點P共運動了24×1cm/s＝24cm．

∵24＝16+4+4，

∴點P、點Q在AC邊上相遇，

∴經過24秒點P與點Q第一次在邊AC上相遇．2．如圖，在△ABC中，∠ABC為銳角，點D為直線BC上一動點，以AD為直角邊且在AD的右側作等腰直角三角形ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE．

（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．

①當點D在線段BC上時，如圖1，線段CE、BD的位置關系為

，數量關系為

.

②當點D在線段BC的延長線上時，如圖2，①中的結論是否仍然成立，請說明理由．

（2）如圖3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點D在線段BC上運動．探究：當∠ACB多少度時，CE⊥BC？請說明理由．解：（1）CE與BD位置關系是CE⊥BD，數量關系是CE＝BD．

理由：如圖1，∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝90°﹣∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAE．

又BA＝CA，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴∠ACE＝∠B＝45°且CE＝BD．

∵∠ACB＝∠B＝45°，

∴∠ECB＝45°+45°＝90°，即CE⊥BD．

故答案為：垂直，相等；

②都成立．

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△DAB與△EAC中，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

∴CE＝BD，∠B＝∠ACE，

∴∠ACB+∠ACE＝90°，即CE⊥BD；

（2）當∠ACB＝45°時，CE⊥BD（如圖2）．

理由：過點A作AG⊥AC交CB的延長線于點G，

則∠GAC＝90°，

∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，

∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，

∴∠ACB＝∠AGC＝45°，

∴AC＝AG，…（8分）

在△GAD與△CAE中，

∴△GAD≌△CAE（SAS），

∴∠ACE＝∠AGC＝45°，

∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，即CE⊥BC．2．如圖，在△ABC中，∠ABC為銳角，點D為直線BC上一動點，以AD為直角邊且在AD的右側作等腰直角三角形ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE．

（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．

①當點D在線段BC上時，如圖1，線段CE、BD的位置關系為

，數量關系為

.

②當點D在線段BC的延長線上時，如圖2，①中的結論是否仍然成立，請說明理由．

（2）如圖3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點D在線段BC上運動．探究：當∠ACB多少度時，CE⊥BC？請說明理由．解：（1）CE與BD位置關系是CE⊥BD，數量關系是CE＝BD．

理由：如圖1，∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝90°﹣∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAE．

又BA＝CA，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴∠ACE＝∠B＝45°且CE＝BD．

∵∠ACB＝∠B＝45°，

∴∠ECB＝45°+45°＝90°，即CE⊥BD．

故答案為：垂直，相等；

②都成立．

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△DAB與△EAC中，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

∴CE＝BD，∠B＝∠ACE，

∴∠ACB+∠ACE＝90°，即CE⊥BD；

（2）當∠ACB＝45°時，CE⊥BD（如圖2）．

理由：過點A作AG⊥AC交CB的延長線于點G，

則∠GAC＝90°，

∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，

∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，

∴∠ACB＝∠AGC＝45°，

∴AC＝AG，…（8分）

在△GAD與△CAE中，

∴△GAD≌△CAE（SAS），

∴∠ACE＝∠AGC＝45°，

∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，即CE⊥BC．3．如圖，△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠CED＝∠BCE＝90°．點M為BC邊上一點，連接EM、BD交于點N，點N恰好是BD中點，連接AN．

（1）求證：MN＝EN；

（2）連接AM、AE，請?zhí)骄緼N與EM的位置關系與數量關系．

①寫出AN與EM：位置關系

；數量關系

；

②請證明上述結論．1）證明：∵∠CED＝∠BCE＝90°，

∴BC∥DE，

∴∠MBN＝∠EDN，

∵點N恰好是BD中點，

∴BN＝DN，

在△BMN和△DEN中，

，

∴△BMN≌△DEN（ASA），

∴MN＝EN；（2）①位置關系：AN⊥EM，數量關系：AN＝EM．

故答案為：AN⊥EM，AN＝EM．

②證明：連接AM，AE，

∵△BMN≌△DEN，

∴BM＝DE，

∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，

∴AB＝AC，∠ABM＝∠ACB＝45°，DE＝CE，

∴BM＝CE，

∵∠BCE＝90°，

∴∠ACE＝45°，

∴∠ABM＝∠ACE，在△ABM和△ACE中，

∴△ABM≌△ACE（SAS），

∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE，

∴∠BAM+∠CAM＝∠CAE+∠CAM，

即∠MAE＝∠BAC＝90°，

∵MN＝EN，

∴AN⊥EM，AN＝EM．4、（1）如圖7，點O是線段AD的中點，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側作