湖北省武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)2024屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)2024屆高三第二次聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：2024年1月17日下午14：00-16：00試卷滿分：150分一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知全集，集合，，那么陰影部分表示的集合為（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A．3 B． C．7 D．133．陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一，它可以近似地視為由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合而成的幾何體，如圖1是一種木陀螺，其直觀圖如圖2所示，，分別為圓柱上、下底面圓的圓心，為圓錐的頂點(diǎn)，若圓錐的底面圓周長為，高為，圓柱的母線長為4，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．4．在平面直角坐標(biāo)系中，，，則向量在向量上的投影向量為（）A． B． C． D．5．若，則（）A． B． C． D．6．設(shè)，為任意兩個(gè)事件，且，，則下列選項(xiàng)必成立的是（）A． B．C． D．7．已知對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．8．斜率為的直線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)，交雙曲線兩條漸近線于，兩點(diǎn)，為雙曲線的右焦點(diǎn)且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分。9．下列結(jié)論正確的是（）A．一組數(shù)據(jù)7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位數(shù)為17B．若隨機(jī)變量，滿足，則C．若隨機(jī)變量，且，則D．根據(jù)分類變量與的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到．依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷與有關(guān)10．下列命題正確的是（）A．若、均為等比數(shù)列且公比相等，則也是等比數(shù)列B．若為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則，，成等比數(shù)列C．若為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則，，成等比數(shù)列D．若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件11．已知，則下列關(guān)系中正確的是（）A． B． C． D．12．已知四棱錐，底面是正方形，平面，，與底面所成角的正切值為，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，且，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，，下列說法正確的是（）A．存在使得直線與所成角為B．不存在使得平面平面C．若，則以為球心，為半徑的球面與四棱錐各面的交線長為D．三棱錐外接球體積最小值為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中的系數(shù)為_________．14．與直線和直線都相切且圓心在第一象限，圓心到原點(diǎn)的距離為的圓的方程為_________．15．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________．16．歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個(gè)正整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù)），例如：，，則_________；若，則的最大值為_________．四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（本題滿分10分）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，邊的中線長為2．（1）求角；（2）求邊的最小值．18．（本題滿分12分）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．19．（本題滿分12分）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為6的等邊三角形，，，，分別是線段，的中點(diǎn)，平面平面．（1）求證：平面；（2）若點(diǎn)為線段上的中點(diǎn)，求平面與平面的夾角的余弦值．20．（本題滿分12分）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，且過點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過作一條斜率不為0的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，為橢圓的左頂點(diǎn)，若直線、與直線分別交于、兩點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為，則是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說明理由．21．（本題滿分12分）甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，稱為1次球交換的操作，重復(fù)次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為．（1）求的概率分布列并求；（2）求證：（且）為等比數(shù)列，并求出（且）．22．（本題滿分12分）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，其中，求證：．湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)2024屆高三第二次聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試卷參考答案123456789101112ABCBADABCDBDABDBCD13．14．15．16．417．解：（1）因?yàn)?，所以，，，因?yàn)椋?，，所以，又，所以．?）因?yàn)檫叺闹芯€長為2，所以，所以，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以，所以的最小值為．18．（1）由題意知：當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，②聯(lián)立①②，解得，．所以數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）由（1）知，所以．所以．設(shè)數(shù)列中存在3項(xiàng)，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列．則，所以，即又因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以所以化簡(jiǎn)得，所以又，所以與已知矛盾．所以在數(shù)列中不存在3項(xiàng)，，成等比數(shù)列．19．（1）證明：連接，四邊形是菱形，，又，分別為，的中點(diǎn)，，又為等邊三角形，為的中點(diǎn)，平面平面，平面平面，平面平面，又平面，又，，，平面平面（2），，為等邊三角形是的中點(diǎn)，由（1）得平面以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即取，則．所以是平面的一個(gè)法向量由（1）得是平面的一個(gè)法向量即平面與平面的夾角的余弦值為．20．解：（1）由題知，橢圓的右焦點(diǎn)為，且過點(diǎn)，所以，所以．又，所以，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)直線的方程為，，由得所以，，直線的方程為，令得，同理可得所以故為定值．21．解：（1）可能取0，1，2，3則；；；，分布列為：0123（3）由題可知又（且）（且）22．解