彈塑性力學(xué)重點(diǎn)題目答案

2—3．試求圖示單元體斜截面上的σ30°和τ30°〔應(yīng)力單位為MPa〕并說明使用材料力學(xué)求斜截面應(yīng)力為公式應(yīng)用于彈性力學(xué)的應(yīng)力計(jì)算時(shí)，其符號(hào)及正負(fù)值應(yīng)作何修正。解：在右圖示單元體上建立xoy坐標(biāo)，那么知σx=-10σy=-4τxy=-2〔以上應(yīng)力符號(hào)均按材力的規(guī)定〕代入材力有關(guān)公式得：代入彈性力學(xué)的有關(guān)公式得：己知σx=-10σy=-4τxy=+2由以上計(jì)算知，材力與彈力在計(jì)算某一斜截面上的應(yīng)力時(shí)，所使用的公式是不同的，所得結(jié)果剪應(yīng)力的正負(fù)值不同，但都反映了同一客觀實(shí)事。2—6.懸掛的等直桿在自重W作用下〔如下圖〕。材料比重為γ彈性模量為E，橫截面面積為A。試求離固定端z處一點(diǎn)C的應(yīng)變?chǔ)舲與桿的總伸長量Δl。解：據(jù)題意選點(diǎn)如下圖坐標(biāo)系xoz，在距下端〔原點(diǎn)〕為z處的c點(diǎn)取一截面考慮下半段桿的平衡得：c截面的內(nèi)力：Nz=γ·A·z；c截面上的應(yīng)力：；所以離下端為z處的任意一點(diǎn)c的線應(yīng)變?chǔ)舲為：；那么距下端〔原點(diǎn)〕為z的一段桿件在自重作用下，其伸長量為：顯然該桿件的總的伸長量為〔也即下端面的位移〕：；〔W=γAl〕2—9.己知物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力張量為：σij=應(yīng)力單位為kg／cm2。試確定外法線為ni｛，，｝〔也即三個(gè)方向余弦都相等〕的微分斜截面上的總應(yīng)力、正應(yīng)力σn及剪應(yīng)力τn。解：首先求出該斜截面上全應(yīng)力在x、y、z三個(gè)方向的三個(gè)分量：n＇=nx=ny=nzPx=n＇=Py=n＇=Pz=n＇=所以知，該斜截面上的全應(yīng)力及正應(yīng)力σn、剪應(yīng)力τn均為零，也即：Pn=σn=τn=02—15.如下圖三角形截面水壩材料的比重為γ，水的比重為γ1。己求得應(yīng)力解為：σx=ax+by，σy=cx+dy-γy，τxy=-dx-ay；試根據(jù)直邊及斜邊上的邊界條件，確定常數(shù)a、b、c、d。解：首先列出OA、OB兩邊的應(yīng)力邊界條件：OA邊：l1=-1；l2=0；Tx=γ1y；Ty=0那么σx=-γ1y；τxy=0代入：σx=ax+by；τxy=-dx-ay并注意此時(shí)：x=0得：b=-γ1；a=0；OB邊：l1=cosβ；l2=-sinβ，Tx=Ty=0那么：…………〔a〕將己知條件：σx=-γ1y；τxy=-dx；σy=cx+dy-γy代入〔a〕式得：化簡〔b〕式得：d=γ1ctg2β；化簡〔c〕式得：c=γctgβ-2γ1ctg3β2—17.己知一點(diǎn)處的應(yīng)力張量為試求該點(diǎn)的最大主應(yīng)力及其主方向。解：由題意知該點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài)，且知：σx=12×103σy=10×103τxy=6×103，且該點(diǎn)的主應(yīng)力可由下式求得：那么顯然：σ1與x軸正向的夾角為：〔按材力公式計(jì)算〕顯然2θ為第Ⅰ象限角：2θ=arctg〔+6〕=+80.5376°那么：θ=+40.268840°16＇或〔-139°44＇〕2—19.己知應(yīng)力分量為：σx=σy=σz=τxy=0，τzy=a，τzx=b，試計(jì)算出主應(yīng)力σ1、σ2、σ3并求出σ2的主方向。解：由2—11題計(jì)算結(jié)果知該題的三個(gè)主應(yīng)力分別為：；；設(shè)σ2與三個(gè)坐標(biāo)軸x、y、z的方向余弦為：l21、l22、l23，于是將方向余弦和σ2值代入下式即可求出σ2的主方向來。以及：由〔1〕〔2〕得：l23=0由〔3〕得：；；將以上結(jié)果代入〔4〕式分別得：；同理于是主應(yīng)力σ2的一組方向余弦為：〔，，0〕；σ3的一組方向余弦為〔，，〕；2—20.證明以下等式：〔1〕：J2=I2+；〔3〕：；證明〔1〕：等式的右端為：故左端=右端證明〔3〕：右端=2—28：設(shè)一物體的各點(diǎn)發(fā)生如下的位移。式中a0、a1………c1、c2均為常數(shù)，試證各點(diǎn)的應(yīng)變分量為常數(shù)。證明：將己知位移分量函數(shù)式分別代入幾何方程得：；；；；；；2—29：設(shè)己知以下位移，試求指定點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)?！?〕：在〔0，2〕點(diǎn)處；〔2〕：在〔1，3，4〕點(diǎn)處解〔1〕：在〔0，2〕點(diǎn)處，該點(diǎn)的應(yīng)變分量為:；；寫成張量形式那么為：；解〔2〕：將己知位移分量函數(shù)式代入幾何方程求出應(yīng)變分量函數(shù)式，然后將己知點(diǎn)坐標(biāo)〔1，3，4〕代入應(yīng)變分量函數(shù)式。求出設(shè)點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。；；；用張量形式表示那么為：2—32：試說明以下應(yīng)變狀態(tài)是否可能〔式中a、b、c均為常數(shù)〕(1):(2):(3):解〔1〕：由應(yīng)變張量εij知：εxz=εyz=εzx=εzy=εz=0而εx、εy、εxy及εyx又都是x、y坐標(biāo)的函數(shù)，所以這是一個(gè)平面應(yīng)變問題。將εx、εy、εxy代入二維情況下，應(yīng)變分量所應(yīng)滿足的變形協(xié)調(diào)條件知：也即：2c+0=2c知滿足。所以說，該應(yīng)變狀態(tài)是可能的。解〔2〕：…………〔1得：不滿足，因此該應(yīng)變狀態(tài)是不可能解〔3〕：將己知應(yīng)變分量代入上〔1〕式得：不滿足，該點(diǎn)的狀態(tài)是不可能。3-5．試依據(jù)物體三向受拉，體積不會(huì)縮小的體積應(yīng)變規(guī)律，來證明泊松比V的上下限為0＜V＜；證明：當(dāng)材料處于各向等值的均勻拉伸應(yīng)力狀態(tài)下時(shí)，其應(yīng)力分量為：σ11=σ22=σ33=pσ12=σ23=σ31=0如果我們定義材料的體積彈性模量為k，那么顯然：k=，e為體積應(yīng)變。將上述應(yīng)力分量的值代入廣義胡克定律：得：三式相加得：將p=ke代入上式得：………〔1〕由彈性應(yīng)變能u0的正定性〔也就是說在任何非零的應(yīng)力值作用下，材料變形時(shí)，其彈性應(yīng)變能總是正的。〕知k＞0，E＞0，G＞0。因：我們知道體積變形e與形狀變化局部，這兩局部可看成是相互獨(dú)立的，因此由uo的正定性可推知：k＞0，G＞0。而又知：所以：E＞0。我們將〔1〕式變化為：…………〔2〕由〔2〕式及k＞0，G＞0，E＞0知：1+V≥0，1-2V≥0。解得：-1≤V≤。但是由于到目前為止，還沒有發(fā)現(xiàn)有V＜0的材料，而只發(fā)現(xiàn)有V值接近于其極限值的材料〔例如：橡膠、石臘〕和V值幾乎等于零的材料〔例如：軟木〕。因此，一般認(rèn)為泊松比V的上、下限值為和0，所以得：0＜V＜或：0≤V≤；3-10．直徑為D=40mm的鋁圓柱體，緊密地放入厚度為2mm的鋼套中，圓柱受軸向壓力P=40KN。假設(shè)鋁的彈性常數(shù)據(jù)E1=70G.V1=0.35,鋼的彈性常數(shù)E=210G解：設(shè)鋁塊受壓而那么周向應(yīng)變∵q=2.8MN/m2鋼套；；；；4-14.試證明在彈性范圍內(nèi)剪應(yīng)力不產(chǎn)生體積應(yīng)變，并由純剪狀態(tài)說明v=0。證明：在外力作用下，物體將產(chǎn)生變形，也即將產(chǎn)生體積的改變和形狀的改變。前者稱為體變，后者稱為形變。并且可將一點(diǎn)的應(yīng)力張量σij和應(yīng)變張量εij分解為，球應(yīng)力張量、球應(yīng)變張量和偏應(yīng)力張量、偏應(yīng)變張量。而球應(yīng)變張量只產(chǎn)生體變，偏應(yīng)變張量只引起形變。通過推導(dǎo)，我們在小變形的前提下，對于各向同性的線彈體建立了用球應(yīng)力、球應(yīng)變分量和偏應(yīng)力分量，偏應(yīng)變分量表示的廣義胡克定律：式中：e為體積應(yīng)變由〔1〕式可知，物體的體積應(yīng)變是由平均正力σm確定，由eij中的三個(gè)正應(yīng)力之和為令，以及〔2〕式知，應(yīng)變偏量只引起形變，而與體變無關(guān)。這說明物體產(chǎn)生體變時(shí)，只能是平均正應(yīng)力σm作用的結(jié)果，而與偏應(yīng)力張量無關(guān)進(jìn)一步說就是與剪應(yīng)力無關(guān)。物體的體積變形只能是并且完全是由球應(yīng)力張量引起的。由單位體積的應(yīng)變比能公式：；也可說明物體的體變只能是由球應(yīng)力分量引起的。當(dāng)某一單元體處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)時(shí)：其彈性應(yīng)變比能為：由uo的正定性知：E>0，1+v>0.得：v>-1。由于到目前為止還沒有v<0的材料，所以，v必須大于零。即得：v>0。3-16．給定單向拉伸曲線如下圖，εs、E、E′均為，當(dāng)知道B點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)棣艜r(shí)，試求該點(diǎn)的塑性應(yīng)變。解：由該材料的σ—ε曲線圖可知，該種材料為線性強(qiáng)化彈塑性材料。由于B點(diǎn)的應(yīng)變已進(jìn)入彈塑性階段，故該點(diǎn)的應(yīng)變應(yīng)為：εB=ε=εe+εp故：εp=ε-εe；3-19．藻壁圓筒承受拉應(yīng)力及扭矩的作用，假設(shè)使用Mises條件，試求屈服時(shí)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力應(yīng)為多大？并求出此時(shí)塑性應(yīng)變增量的比值。解：由于是藻壁圓筒，所可認(rèn)圓筒上各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是均勻分布的。據(jù)題意圓筒內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為：〔采用柱坐標(biāo)表示〕，，；，；；于是據(jù)miess屈服條件知，當(dāng)該藻壁圓筒在軸向拉力〔固定不變〕ρ及扭矩M〔遂漸增大，直到材料產(chǎn)生屈服〕的作用下，產(chǎn)生屈服時(shí)，有：解出τ得：；τ就是當(dāng)圓筒屈服時(shí)其橫截面上的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力。任意一點(diǎn)的球應(yīng)力分量σm為：應(yīng)力偏量為：；；；；；由增量理論知：于是得：；；；；；所以此時(shí)的塑性應(yīng)變增量的比值為：：：：：：：：：0：0：也即：：：：：：〔-1〕：〔-1〕：2：0：0：6；3-20．一藻壁圓筒平均半徑為r，壁厚為t，承受內(nèi)壓力p作用，且材料是不可壓縮的，；討論以下三種情況：〔1〕：管的兩端是自由的；〔2〕：管的兩端是固定的；〔3〕：管的兩端是封閉的；分別用mises和Tresca兩種屈服條件討論p多大時(shí)，管子開始屈服，如單向拉伸試驗(yàn)σr值。解：由于是藻壁圓筒，假設(shè)采用柱坐標(biāo)時(shí)，σr≈0，據(jù)題意首先分析三種情況下，圓筒內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：〔1〕：；〔2〕：；；；〔3〕：；；；顯然知，假設(shè)采用Tresca條件討論時(shí)，〔1〕、〔2〕、〔3〕三種情況所得結(jié)果相同，也即：；解出得：；假設(shè)采用mises屈服條件討論時(shí)，那么〔2〕〔3〕兩種情況所得結(jié)論一樣。于是得：〔1〕：解出得：；〔2〕、〔3〕：解出得：；3-22．給出以下問題的最大剪應(yīng)力條件與畸變能條件：〔1〕：受內(nèi)壓作用的封閉藻壁圓管。設(shè)內(nèi)壓q，平均半徑為r，壁厚為t，材料為理想彈塑性。〔2〕：受拉力p和旁矩作用的桿。桿為矩形截面，面積b×h，材料為理想彈塑性。解〔1〕：由于是藻壁圓管且<<1。所以可以認(rèn)為管壁上任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為平面應(yīng)力狀態(tài)，即σr=0,且應(yīng)力均勻分布。那么任意一點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力為：；；；假設(shè)采用Tresca屈服條件，那么有：；故得：；或：；假設(shè)采用mises屈服條件，那么有：；故得：；或：；解〔2〕：該桿內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為單向應(yīng)力狀態(tài)，〔受力如圖示〕且知，當(dāng)桿件產(chǎn)生屈服時(shí)，首先在桿件頂面各點(diǎn)屈服，故知得：；假設(shè)采用Tresca屈服條件，那么有：；故得：；或：；假設(shè)采用mises屈服條件，那么有：故得：；或：；一般以σs為準(zhǔn)〔拉伸討驗(yàn)〕5-2：給出；〔1〕：撿查是否可作為應(yīng)力函數(shù)?！?〕：如以為應(yīng)力函數(shù)，求出應(yīng)力分量的表達(dá)式。〔3〕：指出在圖示矩形板邊界上對應(yīng)著什么樣的邊界力?！沧鴺?biāo)如下圖〕解：將代入式得：滿足。故知可作為應(yīng)力函數(shù)。求出相應(yīng)的應(yīng)力分量為：；；；上述應(yīng)力分量；在圖示矩形板的邊界上對應(yīng)著如下圖邊界面力，該板處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)。5-4：試分析以下應(yīng)力函數(shù)對一端固定的直桿可解出什么樣的平面問題。；解：首先將函數(shù)式代入式知，滿足。故該函數(shù)可做為應(yīng)力函數(shù)求得應(yīng)力分量為：；；；顯然上述應(yīng)力分量在ad邊界及bc邊界上對應(yīng)的面力分量均為零，而在ad邊界上那么切向面力分量呈對稱于原點(diǎn)o的拋物線型分布，指向都朝下，法向面力為均布分布的載荷q。顯然法向均布載荷q在該面上可合成為一軸向拉力p且p=2cq；而切向面力分量在該面上那么可合成為一切向集中力：而cd邊界那么為位移邊界條件要求，u=0，v=0，w=0以及轉(zhuǎn)角條件。由以上分析可知，該應(yīng)力函數(shù)對于一端固定的直桿〔坐標(biāo)系如圖示〕，可解決在自由端受軸向拉伸〔拉力為p=2cq〕和橫向集中力F作用下的彎曲問題?！踩鐖D示〕5-6：已求得三角形壩體的應(yīng)力為：其中γ為壩體的材料容重，γ1為水的容重，試據(jù)邊界條件求出常數(shù)a、b、c、d的值。解：據(jù)圖示列出水壩OA邊界和OB邊界面上的應(yīng)力邊界條件：OB邊：x=0,l=cos(180°)=-1，m=0,Tx=γy,Ty=0故得：OA邊：x=ytgβ，l=cosβ,m=cos(90°+β)=-sinβ,Tx=Ty=0故將代入〔a〕式得：；將：代入〔b〕式得：得a=0；將、代入〔c〕式得：；將、代入〔d〕式得：；5-7：很長的直角六面體，在均勻壓力q的作用下，放置在絕對剛性和光滑和根底上，不計(jì)體力。試確定其應(yīng)力分量和位移分量。解：由題意知，該問題為一平面應(yīng)變問題。由于不計(jì)體力所以平面應(yīng)力與平面應(yīng)變的變形協(xié)調(diào)方程是一樣的，故可取一單位長度的直角六面體來研究其應(yīng)力狀態(tài)。當(dāng)求知應(yīng)力分量函數(shù)后，再由平面應(yīng)變的本構(gòu)關(guān)系求得應(yīng)變分量，進(jìn)一步積分再利用有關(guān)位移邊界條件確定積分常數(shù)后求得位移分量。這里我們采用逆解法，首先據(jù)題目設(shè)應(yīng)力函數(shù)顯然式滿足雙調(diào)和方程式。相應(yīng)應(yīng)力分量為：，，顯然直角六面體左右兩面的應(yīng)力邊界條件自動(dòng)滿足。對于項(xiàng)邊：y=h,l=1,m=0,Tx=-q,Ty=0那么可定出：；對于底邊：y=0,l=-1,m=0,Tx=q,Ty=0同樣定出：；因此滿足該問題所有應(yīng)力邊界條件的解為：，，應(yīng)這分量為：，，積分得：利用位移邊界條件確定積分常數(shù)：當(dāng)x=0,y=0時(shí)，u=0那么：A=0當(dāng)x=0,y=0時(shí)，v=0那么：B=0當(dāng)x=0時(shí)，u=0那么：f(y)=0當(dāng)y=0時(shí)，v=0那么：f1(x)=0因此知該問題的位移分量為：；；5-10:設(shè)圖中的三角形懸臂梁只受重力作用。而梁的比重為p，試用純?nèi)问剑旱膽?yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量?解:顯然式滿足式,可做為應(yīng)力函數(shù),相應(yīng)的應(yīng)力分量為:……〔a〕邊界條件：ox邊：y=0,l=0,m=-1,Fx=Fy=0那么：2bx=0得：b=0-6ax=0得：a=0oa邊：那么：由〔c〕式得：；代入(b)式得：；所以〔a〕式變?yōu)椋?-3:在極坐標(biāo)中取式中A與C都是常數(shù)。〔i〕：檢查是否可作應(yīng)力函數(shù)？〔ii〕：寫出應(yīng)力分量表達(dá)式？〔iii〕：在r=a和r=b的邊界上對應(yīng)著怎樣的邊界條件？解：首先將式代入式，其中：故：故：式可作為應(yīng)力函數(shù)。應(yīng)力分量為：對于右圖所示圓環(huán)，上述應(yīng)力分量對應(yīng)著如下邊界條件：當(dāng)r=a時(shí)〔內(nèi)環(huán)〕：〔l=-1,m=0