三角形與四邊形（存在性問題、與函數(shù)結(jié)合問題）-2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題分類（全國通用）（解析版）

專題13三角形與四邊形（存在性問題、與函數(shù)結(jié)合問題）

一、解答題

1.（2021?湖南郴州?中考真題）如圖1,在等腰直角三角形A8C中，N54C=90。.點(diǎn)E,F

分別為AB,AC的中點(diǎn)，“為線段瓦'上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)E,尸重合），將線段A”繞點(diǎn)A

逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到AG,連接GC,HB.

圖1

(1)證明：^AHB^AGC；

（2）如圖2,連接GF,HC,A尸交A尸于點(diǎn)Q.

①證明：在點(diǎn)”的運(yùn)動過程中，總有NHBG=90。；

②若AB=AC=4,當(dāng)?shù)拈L度為多少時，AAQG為等腰三角形？

【答案】（1）見詳解；（2）①見詳解；②當(dāng)E"的長度為2或正時，AAQG為等腰三角

形

【分析】

（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得A〃=AG,E）H4G=90°,從而得回84"=回。6,進(jìn)而即可得到結(jié)論；

（2）①由AAHB絲AAGC,得AH=AG,再證明AAEH^AFG,進(jìn)而即可得到結(jié)論；②AAQG

為等腰三角形，分3種情況：S）當(dāng)?QAG=?QG4=45。時，⑹當(dāng)?GAQ=E]GQA=67.5。時，（c）

當(dāng)B4QG=a4GQ=45。時，分別畫出圖形求解，即可.

【解析】

解：（1）回線段A“繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到AG,

^\AH=AGf0/7AG=9O°,

團(tuán)在等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=ACf

^BAH=90°-^CAH=^CAG1

⑦AAHB'AGC；

(2)①團(tuán)在等腰直角三角形ABC中，A8=AC點(diǎn)E,尸分別為A8,AC的中點(diǎn),

^AE=AFf是等腰直角三角形，

M”=AG,^BAH=0C4G,

0AAEW絲AAFG,

配L4EH=MFG=45°,

@[a//FG=a4FG+a4F￡=45°+45o=90o,即：ZHFG=90°；

②E)AB=AC=4,點(diǎn)E,尸分別為A8,AC的中點(diǎn)，

團(tuán)AE=AF=2,

I3EWGH=45。，AAQG為等腰三角形，分3種情況：

(?)當(dāng)團(tuán)QAG=I3QGA=45°時,如圖,貝峋“4尸=90。-45。=45。，

助H平分EIEAF,

回點(diǎn)〃是曰7的中點(diǎn)，

SEH=；\IAE2+AF2=-X7F+F=5/2；

4___G

H

BC

(b)當(dāng)回GAQ=?GQA=(180°-45°)+2=67.5°時，如圖，則EI￡A”=I3GA2=67.5。,

GHE/M=180°-45°-67.5°=67.5°,

33\EHA=SEAH,

I3E”=E4=2；

（c）當(dāng)EAOG=0AGQ=45。時，點(diǎn)”與點(diǎn)F重合，不符合題意，舍去,

綜上所述：當(dāng)E"的長度為2或&時，A4QG為等腰三角形.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理,

熟練掌握全等三角形的判定定理，根據(jù)題意畫出圖形，進(jìn)行分類討論，是解題的關(guān)鍵.

2.（2021?浙江?中考真題）已知在小修。中，尸是C￡）的中點(diǎn)，8是AO延長線上的一點(diǎn)，

連結(jié)BC,AP.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,^ZACB=90°,ACAD=60°,BD=AC,AP=^,求BC的長.

(2)過點(diǎn)。作。E〃AC,交AP延長線于點(diǎn)E,如圖2所示.^ZCAD=6O°,BD=AC,求

證：BC=2AP.

(3)如圖3,若NC4￡>=45。，是否存在實(shí)數(shù)“，當(dāng)BD="MC時，8c=2AP?若存在，

請直接寫出機(jī)的值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)2\/3;(2)見解析；(3)存在，m=\[2

【分析】

(1)先解直角三角形ABC得出AB=2AC,從而得出AAOC是等邊三角形，再解直角三角形

ACP即可求出AC的長，進(jìn)而得出8c的長；

(2)連結(jié)BE,先利用A4S證出/ADPE,得出AE=2PE,AC=DE,再得出AADC是

等邊三角形，然后由SAS得出AC4儂AEBA,得出AE=8C即可得出結(jié)論；

(3)過點(diǎn)D作DE//AC,交4P延長線于點(diǎn)E,連接BE,過C作CGSAB于G,過E作El^AB

于M由(2)得AE=2AP,DE^AC,再證明AA￡N慫ABCG,從而得出得出

DE=BE,然后利用勾股定理即可得出m的值.

【解析】

⑴解ZACB=90°,ZCAD=60°,

AB=——=2AC,

cos60°

-BD=AC,

AD=ACf

???△ADC是等邊三角形,

ZACD=60°

???P是8的中點(diǎn)，

:.AP±CD,

在用AAPC中，AP=y/3,

：.AC=-^—=2,

sin60°

BC=yACtan60°=2>/3.

（2）證明：連結(jié)BE,

,:DEHAC,

???4cAp=4DEP,

-CP=DP,ZCPA=NDPE,

??.△CE4安△OPE（A4S）,

.?.AP=EP=-AE,DE=AC

2f

-BD=AC,

BD=DE，

又?；DE//AC,

:?/BDE=/CAD=S。,

.?.△8。石是等邊三角形，

/.BD=BE,NEBD=60。

?：BD=AC,

：.AC=BE,

又???Z.CAB=NEBA=60°,AB=BA,

「.△GAB畛△E3A（5AS）,

:.AE=BC,

BC=2AP.

（3）存在這樣的見根=8.

過點(diǎn)。作。E//AC,交”延長線于點(diǎn)E,連接BE,過。作CGM8于G,過E作用V0AB于

N,則N3QE=NC4D=45。，

,-.CG=ACxsin45,ETV=GExsin45°

由（2）得AE二ZAP,DE=AC,

由CG=EN,

^\BC=2APf

（ME=BC,

團(tuán)姐NEM38GC=90°,

/.△ABV=ABCG,

^\EAN=^CBG

^AE=BCfAB=BA,

團(tuán)ACABREBA

團(tuán)AC二8區(qū)

?DE=BE,

mEDB=^EBD=45°9

00DEB=9O°,

0BD=6AC，

^BD=mAC

0,?=>/2

【點(diǎn)睛】

本題屬于三角形綜合題，考查了解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形和等

腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是合理添加輔助線，有一定的難度.

3.(2021?山東青島?中考真題)己知：如圖，在矩形4BCD和等腰中，AB=Scm,

AD=AE=6cm,NZME=90。.點(diǎn)P從點(diǎn)5出發(fā)，沿54方向勻速運(yùn)動.速度為lcm/s；同

時，點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動，速度為lcm/s.過點(diǎn)。作QM//BE,交AO于

點(diǎn)、H,交短E于點(diǎn)過點(diǎn)、Q作QN//BC,交CD于點(diǎn)、N.分別連接產(chǎn)。，PM，設(shè)運(yùn)動時

間為f(s)(0<f<8).

解答下列問題：

(1)當(dāng)PQL8D時，求工的值；

(2)設(shè)五邊形尸的面積為S(cm?),求s與「之間的函數(shù)關(guān)系式;

(3)當(dāng)PQ=PM時，求/的值；

(4)若尸M與相交于點(diǎn)卬，分別連接QW和EW.在運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻

使44幅=/。卬。？若存在，求出/的值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)—s；(2)S=—1~H1；(3)t=—；(4)存在，t=-s

9255112

【分析】

(1)先證ABPQ~A8D4,得尊=嬰代數(shù)計(jì)算即可；

BDBA

(2)如圖2中，過點(diǎn)P作PO0QM于點(diǎn)0.證明S=S續(xù)形DQPM+SQNQ4(PQ+DH-QM+

』QN*ND=』(HA+DH)?QM+QN?ND=1?AD?QM+QN-ND,可得結(jié)論.

(3)如圖3中，延長N。交8E于點(diǎn)G.根據(jù)PQ=PM,構(gòu)建方程求解即可.

(4)存在.證明配QW00AEW,^MHW^PAW,推出空■=要，萼=祟，推出空■=粵，

AEWAPAWAAEPA

由此構(gòu)建方程求解即可

【解析】

(1)由題意可得，BP=t,DQ=t,

在矩形A68中，

0AB=8,BC=AD=6,

ZCBA=NBCD=ABAD=90°,

在心中，/BCD=90°,

BD=-JBC2+CD2=V62+82=10，

回3Q=10-f,

國PQLBD,

SZBQP=ZBAD=90°,

又⑦NDBE=NDBE,

0ABPQ~^BDA,

「t10-r

0—=------

108

50

=—.

9

答：f為時，PQ1BD.

(2)過點(diǎn)尸作交于點(diǎn)。,

在等腰心△ADE中,

AD=AE=6,ZE4D=90°,

則應(yīng)：=54+AE=14.

UBE,

團(tuán)APOH=NPAH=ZOHA=90°,

回四邊形OPA”是矩形，

國PO=AH.

⑦QM//EB,

團(tuán)NDQM=NDBE,

又團(tuán)NQ￡>M=NQDM,

團(tuán)△￡>QM-ADBE,

QMDQQMt八"7

[3——=,0——=—,^QM=-t.

BEBD14105

回QN//BC,國/DNQ=/C=90。，

又⑦NCDB=NCDB,

回△NOQ?△C08,

BDQ=DN=NQf

DBDCBC

tDNNQ

回一=—=—,

1086

43

團(tuán)DN=-r,QN=-t.

55

團(tuán)S五邊形力NQPM=S四邊形DQPM+SADNQ

=^(PO+DH)QM+^QNND

=；(HA+DH).QM+^QN?ND

=^ADQM+^QNND

1,7134

=—x6x—r+—x—/x—r

25255

6221

=—t+—t.

255

答：s與，的函數(shù)關(guān)系式是s=&〃+%

255

(3)延長NQ交外于點(diǎn)G,由(1),(2)可得OC//AB,

ZDNO=90°,POLQM,

團(tuán)ZDNQ=/NGA=ZBAD=90°,

回四邊形NGA。是矩形,

4

0BG=C7V=8--r,

同理可證，四邊形PGQO是矩形.

?QO=GP,

當(dāng)PQ=PM時，

SPO1QM,

回QO=；QM，

17

^\QO=—x—t.

又電QO=GP=BP—BG=BP—CN=t—8T

179

0—x—r=—r-o8,

255

11

答：當(dāng)尸。=PM時，/=—s.

E

47

（4）由（2）得DN=t,QM=-t,

團(tuán)QN//8C,QM//BE,

團(tuán)ZDNQ=/NQH=4NDH=90°,

團(tuán)NQHO為矩形，

4

^QH=DN=-tf且NQ"O=900.

0Ze/M=ZDAE=9Oo,

團(tuán)NAWE=NQWD,

回△”0卬?AAEW,

同理可證△M〃W~/\PAW,

QHHWHMHW

團(tuán)---=----，-------=------，

AEU<4PAWA

QHHM

團(tuán)--------,

AEPA

474

-r-t——t

回m5=55，

6-8-Z

「7

回，=一.

2

7

答：在運(yùn)動的過程中，存在時亥M=；S,使NAWE=NQWO.

【點(diǎn)睛】

本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角

形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

4.(2021?山東淄博?中考真題)已知：在正方形A8C。的邊8c上任取一點(diǎn)尸，連接AF,一

條與A尸垂直的直線/(垂足為點(diǎn)尸)沿A尸方向，從點(diǎn)A開始向下平移，交邊A8于點(diǎn)E.

(1)當(dāng)直線/經(jīng)過正方形A8CD的頂點(diǎn)。時，如圖1所示.求證：AE=BF；

(2)當(dāng)直線/經(jīng)過AF的中點(diǎn)時，與對角線8。交于點(diǎn)Q,連接/Q,如圖2所示.求NAFQ

的度數(shù);

(3)直線/繼續(xù)向下平移，當(dāng)點(diǎn)尸恰好落在對角線3。上時，交邊8于點(diǎn)G,如圖3所示.設(shè)

AB=2,BF=x,DG^y,求V與x之間的關(guān)系式.

【答案】(1)見詳解：(2)ZAFQ=45。；(3)>=土?

x+2

【分析】

(1)由題意易得4)=A&NE4Q=/EBA=90。，進(jìn)而可得NE4B=NEZM,則有

^ABF^DAE,然后問題可求證；

(2)連接4。，過點(diǎn)。作。ML4O于點(diǎn)M,并延長MQ,交BC于點(diǎn)M由題意易得AQ=尸。，

財(cái)力8=45。，則有QM=M￡>,進(jìn)而可得證A，Q式AQVF,然后可得/MQF=90。，則問題可

求解；

(3)過點(diǎn)。作。H3EG,交AB于點(diǎn)”，由題意易證四邊形HEG。是平行四邊形，則有

AH=BF=x,HE=DG=y,進(jìn)而可得怒=空=襄=[,然后可得生=2=g,則問題

可求解.

【解析】

(1)證明：回四邊形ABCZ)是正方形，

^AD=AB,ZEAD=NFBA=90°,

0ZAPE=9O°,

aZBAF+ZAEP=ZAEP+ZADE=90°,

田NFAB=NEDA,

[?]^ABF=ADAE(ASA),

團(tuán)AE=BF；

(2)解：連接AQ,過點(diǎn)Q作QMM。于點(diǎn)M,并延長MQ,交BC于點(diǎn)N,如圖所示:

BFNc

倒點(diǎn)尸是AF的中點(diǎn)，AF^EQ,

QAQ=FQ,

回四邊形ABC。是正方形，

^AD=DC,ZADC=NC=90°,ZADB=45°,

回四邊形是矩形，回M。。是等腰直角三角形,

0MN=CD=AD,MD=MQ,

團(tuán)AM=QN,

團(tuán)AAMQ^AQNF(HL),

^\ZAQM=ZQFNf

⑦/FQN+/QFN=90。，

團(tuán)//QN+ZAQM=90。，BPZAQF=90°,

團(tuán)△AQF是等腰直角三角形，

0ZAFe=45°；

(3)過點(diǎn)O作皿應(yīng)EG,交A8于點(diǎn)H,如圖所示:

團(tuán)四邊形”￡6。是平行四邊形，

aDG=HE,

（ZH/T3EG,

明宛”。，

由（1）中結(jié)論可得4/=3/，

⑦AD〃BF,AB〃CD,

⑦AAPD^FPB,4BPES4DPG,

BFBPBEBP

0--=--,--=--，

ADDPDGDP

回AB=2,BF=x,DG=y,

團(tuán)AD=AB=2,AH=BF=x,HE=DG=y,

^\BE=2-x-y,

lBEBFBPx

0-----=-----=-----=-，

DGADPD2

回)與X之間的關(guān)系式為y=±W.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、函數(shù)及等腰直角三角形的性質(zhì)與判

定，熟練掌握正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、函數(shù)及等腰直角三角形的性質(zhì)與判

定是解題的關(guān)鍵.

5.(2021?廣東越秀?一模)如圖，在四邊形ABC。中，EL4=a4￡>C=90。，AB=AD=10,CD

=15,點(diǎn)E,尸分別為線段AB,CO上的動點(diǎn)，連接EF,過點(diǎn)。作OGI3直線EF,垂足為G.點(diǎn)

E從點(diǎn)B向點(diǎn)A以每秒2個單位的速度運(yùn)動，同時點(diǎn)下從點(diǎn)。向點(diǎn)C以每秒3個單位的速

度運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到點(diǎn)A時，E,尸同時停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動時間為f秒.

⑴求BC的長；

(2)當(dāng)GE=GQ時，求4E的長；

⑶當(dāng)，為何值時，CG取最小值？請說明理由.

【答案】⑴BC=5右；

{2)AE=2y[5：

⑶當(dāng)/=2后一4時,CG取得最小值為3如-3應(yīng)，見解析

3

【分析】

（1）過點(diǎn)B作8/瘡C/）于點(diǎn)〃，則四邊形是矩形，由勾股定理可得出答案；

（2）過點(diǎn)G作MNE1A8,證明EIEMG0回GN。（A4S）,得出MG=￡W,設(shè),DN=a,GN=b,

GNNF

則MG=a,ME=b,證明回OGN3回GFM由相似三角形的性質(zhì)得出）；==,得出方程3/

DNGN

產(chǎn)

=10-Z+—,解方程求出r的值可得出答案；

10-/

（3）連接8。，交房于點(diǎn)K,證明回BE雁0OFK,得出比例線段②=普=§=],求出

DKDF3t3

BD=10日DK=642,取。K的中點(diǎn)，連接OG,點(diǎn)G在以。為圓心，r=3亞的圓弧上

運(yùn)動，連接OC,OG,求出CG的最小值和r的值即可.

⑴

解：如圖1,過點(diǎn)B作3Mse。于點(diǎn)則四邊形AO//B是矩形,

l?L4B=10,CD=15,

0CW=5,

又E)BH=AO=10,

回BC=y/BH2+CH2=7102+52=5后；

⑵

解：過點(diǎn)G作如圖2,

MB

?AB〃CD、

0A/M3CD,

團(tuán)OQ3E77,

[3MMG=[3GNZ)=90°,

tHWEG+0MG￡：=9O°,

mEGM+a￡>GN=90°,

^GEM=^DGNf

?EG=DG,

雕)￡MG幽GNO(A4S),

[2MG=OM

設(shè)DN=a,GN=b,則MG=a,ME=b,

回點(diǎn)￡從點(diǎn)8向點(diǎn)A以每秒2個單位的速度運(yùn)動，同時點(diǎn)尸從點(diǎn)。向點(diǎn)C以每秒3個單位

的速度運(yùn)動，

aBE=2bAE=10-2t,DF=3t,CF=15-3t,

國AM=DV,AD=MN,

加+Z?=10,a-6=10-2/,解得a=10-f,b=t,

團(tuán)OG0EF,GN^DF,

配1DNG=M7VG=9O°,

^GDN+^DFG=^GDN+^DGN=90°,

^\DFG=^DGN,

釀DGMmJGFN,

GNNF

0m-----=------，

DNGN

國GN2=DN?NF,

,GN2t2

n0KWFr—--=---，

DN10-r

又0DF=DN+NF,

2

133r=10-t+——,

10-r

解得t=5±y/5,

又回0qS5,

回f=5->/5,

EL4E=10-2f=2后.

⑶

解：如圖3,連接BQ,交EF于點(diǎn)、K,

WBEKSSiDFK,

lBKBE2t2

0-----=-----=—=-，

DKDF3t3

又EL4B=AO=：LO,

田BD=4iAB=10y/i，

3

回OK=1。=60,

取。K的中點(diǎn)，連接OG,

0DG0￡F,

HSDGK為直角三角形，

WG=-DK=3>-J1,

2

回點(diǎn)G在以。為圓心，r=3拉的圓弧上運(yùn)動,

連接。C,OG,由圖可知CG2OC-OG,

當(dāng)點(diǎn)G在線段OC上時取等號，

0AD=AB,EL4=90°,

回骷￡>8=45°,

EBOZ）C=45。，

過點(diǎn)。作OM3QC于點(diǎn)H,

又m0。=3&，CD=15,

回。”=QH=3,

SCH=12,

回"=^OH2+CH2=3后，

則CG的最小值為3（后-夜），

當(dāng)O,G,C三點(diǎn)共線時，過點(diǎn)O作直線。施。G交CQ于點(diǎn)S,

團(tuán)OD=OG,

團(tuán)R為OG的中點(diǎn),

又DG0GF,

0OS0GF,

國點(diǎn)S是。尸的中點(diǎn)，泠nr=臺sr，

OCrSF

33

^\DS=SF=—t,SC=15---1,

22

?3

3百匕一毛

2

回二2/一4,

3

即當(dāng)f=25-4時,CG取得最小值為3a-3近.

3

【點(diǎn)睛】

此題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，

最小值問題，圓的基礎(chǔ)知識，熟記各知識點(diǎn)并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

6.(2021?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測)在平面直角坐標(biāo)系中，口。4BC如圖所示，

4(5,0),8(9,6).點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)在線段以上以每秒1個單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，同時點(diǎn)

。從點(diǎn)8出發(fā)在線段BC上以每秒2個單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動.其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，停

止運(yùn)動，連接戶。.

(1)如圖1,連接OB交PQ于點(diǎn)D,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為:

(2)如圖2,過A作于點(diǎn)兒求OH的最小值；

(3)如圖3,在PQ上取一點(diǎn)M,使得Z4MP=45。，那么點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是否存在最大值,

若存在，求出此時。P的長；若不存在，說明理由.

【答案】（1）（3,2）；（2）JT7-血；（3）存在點(diǎn)M縱坐標(biāo)的最大值，此時OP=1

【分析】

（1）有P,Q的運(yùn)動速度，設(shè)時間為f,表示出。，P的坐標(biāo)，再求出直線PQ的解析式，

直線。8的解析式，聯(lián)立即可求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（2）連接08與PQ交于點(diǎn)。，由（1）得，連接D4,取D4的中點(diǎn)M,以M為圓心，以

DM的長為半徑作圓,連接0M,先說明點(diǎn)H在。M上運(yùn)動，再由圖形得出O4N-,

三點(diǎn)共線時，取得最小值，用勾股定理，即可得出答案；

（3）連接0B,交尸。于點(diǎn)O,以為斜邊，作等腰直角△ADN,以點(diǎn)N為圓心，以2

為半徑作eN,說明點(diǎn)M在eN上,連接MM過點(diǎn)M作于點(diǎn)T,連接4V交于eN

于點(diǎn)AT,可得出用7VAM4AN+MY=AN+MN=2+2=4即/雷"=4,再求出直線

的解析式，求出與x軸的交點(diǎn)即為0尸的長.

【解析】

（1）回四邊形A8C。是平行四邊形，

回04=6。,。4回8（7,

自A(5,0),

SAO=BC=5,

回點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4,6）,

回點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)以每秒1個單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒2個單位的速

度向點(diǎn)C運(yùn)動，

回設(shè)時間為m,則OP=m,BQ=2m,

E0(9-2m,6),P[m,0),

設(shè)直線PQ的解析式為y=米+優(yōu)人工0),

2x2m

代入解得y

3—m3—m

設(shè)直線OB的解析式為y="伏工0),

2

代入點(diǎn)B的坐標(biāo)，求得y=

2x2m

y=---------------

3-7?z3—

聯(lián)立

2

y=-x

3

x=3

解得

J=2,

故點(diǎn)。的坐標(biāo)為(3,2),

故答案為(3,2)；

(2)連接03與PQ交于點(diǎn)￡>,由(1)得，點(diǎn)D(3,2),

連接。A,取D4的中點(diǎn)例，以M為圓心，以。例的長為半徑作圓,

團(tuán)點(diǎn)。(3,2),點(diǎn)A(5,0),

回點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,1),AD="(5-3>+(2-0)2=272,

0(?M=V42+12=V17-

EIZAHD=90o,

回點(diǎn)H在QM上運(yùn)動，

;.HM=LAD=6

2

連接”M,

由圖可知，

OH>OM-HM,

當(dāng)三點(diǎn)共線時，取得最小值，

於OH=OM-HM=歷-0,

故。，的最小值為J萬-0;

(3)存在，理由如下，

連接OB,交PQ于點(diǎn)。，以AD為斜邊，作等腰直角△ADN,以點(diǎn)N為圓心，以2為半徑

作eN,則￡)在圓上，eN與x軸相切，

0ZAMP=45°,ZAND=90°,

團(tuán)點(diǎn)M在eN上，

回eN與x軸相切，A在eN上,

回AN_LQ4

連接MM過點(diǎn)M作MTJ.OA于點(diǎn)T,連接AN交于eN于點(diǎn)AT,

SMT<AM<AN+MN=AN+M'N=2+2=4

=4

團(tuán)”(5,4),

連接MD交x軸于點(diǎn)Pl交于BC與點(diǎn)Q',

設(shè)直線MD的解析式為丫=履+6/工0),

代入點(diǎn)M'(5,4),0(3,2),

解得直線的解析式為y=x-l,

回當(dāng)y=0時，x=l,

回存在點(diǎn)M縱坐標(biāo)的最大值，此時0P=l.

【點(diǎn)睛】

本題考查菱形的性質(zhì)，一次函數(shù)問題，構(gòu)造三角形求線段最小值，圓的知識，三角形三邊關(guān)

系，坐標(biāo)與圖形，解題關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)，能夠構(gòu)造圓進(jìn)行求解.

7.(2021?浙江?杭州市十三中教育集團(tuán)(總校)二模)如圖，正方形A8C。中，點(diǎn)E在邊AB

上運(yùn)動(不與點(diǎn)A,E重合)，連結(jié)EC,過點(diǎn)E作所，EC,EF=EC,過點(diǎn)F作EFL直

線A8,尸為垂足，連結(jié)CF,與A。相交于點(diǎn)G.

AC

(2)當(dāng)E是A3的中點(diǎn)時，求黑的值;

DG

(3)設(shè)*=笠，y=W，求>關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

EDGD

2

【答案】（1）見解析；（2）2；（3）>'=-

x

【分析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得138=90°,再由Ef0EC,EF=EC,即可證明ElPEFia犯CE,即可

得出答案；

（2）過點(diǎn)尸作尸M3AO于”，設(shè)正方形ABC。的邊長為“，證明四邊形APF”是正方形，再

證明回尸GHaaCG/）,應(yīng)用相似三角形性質(zhì)即可求出答案；

(3)設(shè)BE=b,則AE=bx,AB=h+bx,再由回尸GM30CGO,得出型=型="處=l+x,

GHFHh

進(jìn)而求得G〃=4,AG=2（,x）JDG="+叫再根據(jù)y=黑，即可求得答案.

2+尢2+x2+xDG

【解析】

解：（1）回正方形A8CD,

033=90°,

團(tuán)團(tuán)BEC+國BCE=90°,

^\PEF+^BEC=90°,

WPEF=^BCE,

團(tuán)FPHAB,

團(tuán)團(tuán)￡7>/=90。，

團(tuán)團(tuán)石尸尸=回8,

0EF=EC,

^PE^BCE(A4S),

田PF=BE；

(2)如圖，過點(diǎn)尸作尸舊財(cái)。于”,

3C

設(shè)正方形ABCD的邊長為a,

SE是AB的中點(diǎn)，

SAE=BE=；AB=ya,

由(1)知朋￡7睡1BCE,

?PF=BE=gA8=ga,PE=BC=a,

^PA=PE-AE=a-^a=^af

WFAD=BAPF=^\AHF=90°,PA=PF,

團(tuán)四邊形APfTZ是正方形，

^AH=PF=^a9FH=PA=^a,

回。”=g〃，

^FHG=^D=90\回FGH=^CGD,

^IFGHWCGD,

j_

aGHFH=50J,

~GD~~CD~^a~2

cGD2

0=一,

DH3

^GD=-DH=—x^-a=-af

3323

2

^\AG=AD-DG=-a

39

2

人廠一a

0—=^—=2；

DG%

3

(3)設(shè)BE=b,貝!|AE=fer,AB=b+bx,

?PE=BC=CD=AB=b+bx,AP=BE=PF=AH=FH=b,

^\DH=AE=hxf

^BFGH^CGD,

DGCDh+bx

回----=----=l+x,

GHFHb

團(tuán)。G=(1+x)GH,

@GH+DG=DH,

0GH+(1+x)GH=bx,

bx

團(tuán)G〃=

2+7

^AG=AH+GH=b+^=^^,DG=(1+x)GH=^^

2+x2+x2+x

2(1+x)b

c4G_2+x_2

0y=——

DGx(l+x)b%

2+x

,一2

0y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=—.

x

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟

練掌握全等三角形判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等相關(guān)知識，合理添加輔助線構(gòu)造

全等三角形和相似三角形.

8.(2021海南三亞?一模)如圖，在矩形ABC￡)中，AD=4,AB=5,P為邊AB上一點(diǎn)，

連接C尸，過點(diǎn)P作尸Q，CP交于點(diǎn)Q,連接CQ,當(dāng)C。平分NOCP時：

(1)證明：^PCQ^DCQ；

(2)求四邊形PQDC的面積；

(3)M為直線0c或直線DA上一點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使以P,C,M,N為頂點(diǎn)

的四邊形為矩形？若存在，請直接寫出。M的長度：若不存在，請說明理由.

25

【答案】(1)見解析；(2)y；(3)存在點(diǎn)M、N,使得以P、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形

為矩形，此時DW的長度分別為2、與或春.

【分析】

(1)根據(jù)CQ平分NDCP,可得4CQ=NDCQ,再利用AAS證明即可；

(2)設(shè)QO=x,根據(jù)勾股定理可得關(guān)于x的方程，解出x,再求出I3QOC的面積，即可；

(3)存在，①當(dāng)PC為矩形的對角線時，可求出。M=2；②當(dāng)PC為矩形的邊時，分三種

情況討論，畫出示意圖，解出。M即可；

【解析】

解：(1)由題可知NQPC=90。，

回矩形A88,

回NQ￡)C=90°,即NQPC=NQDC,

回。。平分/。叱，

0ZPC0=ZDCe,

在△PC。和AOCQ中，

ZQPC=ZQDC

-NPCQ=NDCQ,

QC=QC

0APCQ”ADCQ(AAS)

(2)回矩形ABC。，

S1BC=AD=4,

由(1)知PC=DC=AB=5,PQ=QD,

在RIABPC,BC=4,PC=5,

由勾股定理可得8P=3,

13Ap=2,

設(shè)8=x,則AQ=4—x,PQ=x,

在RtAAPQ中，由勾股定理得：

AQ2+AP2=PQ2,

即(4-x)2+22=x2,

解得x=|,

1525

Spq邊形PQDC尸2sA00c=2x—x—x5=—.

曬邊形PQDC的面積為g25.

2

(3)存在，理由如下：

①當(dāng)PC為矩形的對角線時，

如圖，過點(diǎn)P作PMLDC于點(diǎn)點(diǎn)N與點(diǎn)B重合，則四邊形PNCM是矩形,

此時E)M=AP=2.

②當(dāng)PC為矩形的邊時，

(0)如圖，分別過點(diǎn)尸、C作戶必，?。交4)于點(diǎn)必，

作。2，尸。且。乂=戶加］,連接

則四邊形PMNC與。重合）是矩形，

此時叫=OQ=|；

（回）如圖，延長PQ交C。的延長線于點(diǎn)M「過點(diǎn)c作CM，PC且CM=P%,連接MM,

則四邊形PA/戶2c是矩形,

可證Z.QM2D=Z.PCB,

團(tuán)tanZQM?D=tanNPCB,

DQPB3

即甌=前2，

0￡>2=|.

團(tuán)DM）=—；

23

（團(tuán)）如圖，過點(diǎn)C作CM,_LPC交AD的延長線于點(diǎn)〃3,延長P。至M使得PM=CM3,

連接M3N3,

則四邊形PMA/C是矩形，

可證ZDCM3=NPCB,

團(tuán)tan/DCM3=tanZ.PCB,

也=歿=3

DCBC4

0DC=5,

0DM,=—.

34

綜上所述，存在點(diǎn)M、N,使得以P、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，此時O0的長度分

.51015

f別lll為20、—■.可或彳.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形

的性質(zhì)和判定，銳角三角函數(shù)，掌握矩形的判定定理和性質(zhì)定理以及畫出示意圖是解題的關(guān)

鍵.

9.（202L江蘇?蘇州吳中區(qū)木瀆實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）已知：如圖，在中，NC=90。，

AC=3j5cm,BC=3,點(diǎn)尸由B點(diǎn)出發(fā)沿84方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，速度為2cm/s,點(diǎn)。由

點(diǎn)4出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，速度為Gcm/s；若設(shè)運(yùn)動的時間為r(s)(0<r<3),

解答下列問題：

(1)如圖①，連接PC,當(dāng)f為何值時，以A、P、。為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似？并說

明理由；

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P,。運(yùn)動時，是否存在某一時刻「，使得點(diǎn)尸在線段QC的垂直平分線

上，請說明理由；

(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)P,。運(yùn)動時，線段BC上是否存在一點(diǎn)G,使得四邊形尸QGB為菱形？

若存在，試求3G長；若不存在請說明理由.

【答案】(1)當(dāng)，=2,以A、P、。為頂點(diǎn)的三角形與S4cB相似；證明見解析；(2)當(dāng)，=

1存在，證明見解析；(3)不存在；見解析

【分析】

(1)先根據(jù)勾股定理求出A-分兩種情形分別構(gòu)建方程求解即可.

(2)先用垂直平分線的性質(zhì)得出。何=CM=gcQ=g(36-百八，然后用平行線分線

段成比例建立方程求出結(jié)論.

(3)先由平行四邊形的性質(zhì)建立方程求出時間力即求出PQ,PB,即可得到PQHPB判斷

出四邊形PQGB不可能是菱形.

【解析】

解：(1)在RtEL4cB中，0C=9O°,AC=30“M,BC=3cm,

EL4B=6,

由運(yùn)動知，BP=2t,AQ=t,

團(tuán)AP=6-2t,

當(dāng)財(cái)pcrnzwa?,

ACAP

團(tuán)-------,

ABAC

向3G_6-2f

團(tuán)一產(chǎn)-，

6373

3

團(tuán)m，=一；

4

當(dāng)PQ^ABf則酎

AQAP

團(tuán)---=---，

ABAC

即畫=、￡,

63V3

解得：仁寺(大于3舍去),

故當(dāng)f=2,以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與0ACB相似,

(2)存在，

理由：如圖②，

由運(yùn)動知，BP=2t,AQ=y/3t>

0AP=6-2t,CQ=3y/3-y/3t,

團(tuán)點(diǎn)尸是CQ的垂直平分線上,

%M=CM=；CQ=；(3也-也t)=9(3-f),

2.Z,2

財(cái)M=AQ+QM=&f+；(3>/3-6)=正33)

22

過點(diǎn)P作PMMC,

眼ACB=90°,

回PM3BC,

0-A-P=-B-P

AMCM

6-2f

W=1

（3）不存在，

理由：由運(yùn)動知，BP=2t,AQ=6h

團(tuán)AP=6-2r,

假設(shè)線段BC上是存在一點(diǎn)G,使得四邊形PQGB為平行四邊形,

團(tuán)PQMG,PQ=BG,

IMAPQm鉆C,

APAQPQ

回瓦一三一茄，

心2=卑=絲，

62G3

33

物=；,PQ=~,

22

團(tuán)B尸=2f=3,

團(tuán)尸QwBP,

回平行四邊形PQGB不可能是菱形.

即：線段8c上不存在一點(diǎn)G,使得四邊形PQGB為菱形

【點(diǎn)睛】

此題是相似形綜合題，主要考查了勾股定理，線段的垂直平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定

和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，解本題的關(guān)鍵是用方程的思想解決問題.

10.(2021?黑龍江?哈爾濱市第六十九中學(xué)校一模)如圖，矩形Q4BC在平面直角坐標(biāo)系中，

A(0,4),C(5,0),點(diǎn)。為A8的中點(diǎn)，連接OO.

(1)求直線的解析式；

(2)點(diǎn)E在。。的延長線上，連接AE、EB,設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，，AEAB的面積為S,求

S與，的函數(shù)解析式；

(3)延長EB交點(diǎn)C右側(cè)x軸于一點(diǎn)尸，在A8的延長線上取一點(diǎn)G,使BG=BE,連接GE、

GF,若GE=GF,求點(diǎn)E的坐標(biāo).

【答案】⑴y=(2)S=4r-10；(3)E愕，制

【分析】

(1)由四邊形。45c是矩形，可得A、3兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，B、C兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，B(5,

4),由點(diǎn)。為A8的中點(diǎn)，。(鏟4),用待定系數(shù)法求直線。。的解析式為y=即可；

OQO

(2)點(diǎn)E在。。上，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為/，可求丫￡=不產(chǎn)二1,求出三角形的高EW=-t-4,

利用三角形面積公式S4ABE=2t-5；

(3)延長E4交x軸于點(diǎn)K,AB//KF,可證△AECEBKEO與△&)8回回EOF,可得?—=—,

OKOF

可得OK=O。AK=人尸，可證AG平分團(tuán)"AF,可得GH=GM,可證Rt\GEH^Rt\GFM(HL),

可證/GEF=NGFE=/EGA,在即中，由勾股定理b=3,可求0/=8,利用待定

8

y=-x

系數(shù)法求FE解析式為y=-?4x+當(dāng)32，再求兩直線^5^交點(diǎn)即可.

y=——x-\—

1/33

【解析】

解：(1)回四邊形0ABe是矩形，

SOA=BC,AB=OB,ABav軸，BCHy軸，

04、B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，B、C兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，

團(tuán)在平面直角坐標(biāo)系中，A(0,4),C(5,0),

(5,4),

國點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，AB=5-0=5,

SAD^BD^-AB=-,

22

0D(-,4),

2

設(shè)0。解析式為丫=日，

則4=|k,

Q

解得上，

Q

回直線0。的解析式為y=1x,

(2)點(diǎn)E在。。上，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為f,

0yEJx=lz

55

Q

^EW=EV-WV=-t-4,

?△ABE=，A8.EW=L5x(§8f_4]=4f-10；

22155J

(3)延長￡4交x軸于點(diǎn)K,ABHKF,

團(tuán)AB〃KE

團(tuán)團(tuán)E4B二團(tuán)EKO,0EBD=0EFO,

盟lAEQfflKEO,

ADED

團(tuán)----==----，

OKEO

⑦AB//KF,

WiEDB^EOF,^EDA=^EOKf

甌ED應(yīng)團(tuán)EOF,

EDBD

團(tuán)----=----

EOOF

ADDB

R]------

OKOF

團(tuán)AD=DB，

^OK=OF,AK=AFf

設(shè)NK=a,則NAFK=a,

0A應(yīng)AT,

團(tuán)團(tuán)”AG二團(tuán)4KE團(tuán)GAF=0AOK,

^\ZEAG=ZFAB=a,

酎G平分回〃4F,

過點(diǎn)G作G"_LAE,GM±AF,

團(tuán)GH=GM,

在RmGEH和Rt^GFM中，

jGE=GF

[GH=GM

則△GEW/△GF/H(HL),

0ZEGF=ZHGM=1S0-2a,GE=GF,BE=BG,

aNGEF=/GFE=/EGA=a,

⑦EG//AF,ZAFB=a,

^AB=BF=5,BC=4,

在RdBCF中，

⑦CFHBF-BC?=J5?—42=3,

國OF=OC+CF=8,

設(shè)bE解析式為》=履+3過點(diǎn)尸(8,0),B(5,4),

8k+b=0

5左+。=4'

432

FE解析式為y=---^+―,

8

y=

y=——x+

3

40

x——

解得::

64

y=—

4064

所以ETT'TT

【點(diǎn)睛】

本題考查待定系數(shù)法求直線解析式，函數(shù)值，三角形面積，三角形相似判定與性質(zhì)，角平分

判定與性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理應(yīng)用，兩直線解析式組成方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)，

掌握定系數(shù)法求直線解析式，函數(shù)值，三角形面積，三角形相似判定與性質(zhì)，角平分判定與

性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理應(yīng)用，兩直線解析式組成方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)是解題

關(guān)鍵.

11.（2021?黑龍江南崗?三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線丫=履+6

分別交X軸，y軸于點(diǎn)A,B,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,0).

(1)求％的值；

(2)點(diǎn)C是線段OA上一點(diǎn)(不與點(diǎn)0,A重合)，點(diǎn)。是08的延長線上一點(diǎn)，連接CD交

于點(diǎn)E,且CE=DE,設(shè)OC的長為"8。的長為d,求d與＞之間的函數(shù)解析式(不

要求寫出自變量，的取值范圍)；

(3)在(2)的條件下，過點(diǎn)E作砂，CD交》軸于點(diǎn)尸，點(diǎn)G在線段OE上，且EG=EF,

93

連接8G并延長交正的延長線于點(diǎn)〃，若BF=}_7d,求點(diǎn)E的坐標(biāo).

24

【答案】(1)k=-l;(2)d=6-t；(3)￡(2,4)

【分析】

(1)將點(diǎn)A(6,0)代入直線丫=米+6中求解即可；

(2)根據(jù)題意證明△CEK絲△DEB,進(jìn)一步計(jì)算可得d與，之間的函數(shù)解析式；

(3)過E作EP,的交y軸于點(diǎn)P,ERLBH,垂足為K,連接C￡A4,CH,OH,先證明

△BEG經(jīng)APEF,然后證明△DEF經(jīng)△HEG,然后證明。4HB是正方形，利用正方形性質(zhì)

及勾股定理列方程求解.

【解析】

解：(1)回直線丫=爪+6經(jīng)過點(diǎn)A(6,0)

回0=6憶+6,解得％=—1；

(2)如圖1,

回直線y=r+6交y軸于點(diǎn)6