復(fù)變函數(shù)第一章講義

引言復(fù)數(shù)理論的產(chǎn)生、發(fā)展經(jīng)歷了漫長而又艱難的歲月。復(fù)數(shù)是16世紀人們在解代數(shù)方程時引入的。1545年意大利數(shù)學(xué)物理學(xué)家在所著《重要的藝術(shù)》一書中列出并解出將分成兩部分，使其積為的問題，即求方程的根。他求出形式的根為和，積為。但由于這只是單純從形式上推廣而引進，并且人們原先就已斷言負數(shù)開平方是沒有意義的。因而復(fù)數(shù)在歷史上長期不能為人們所接受?！疤摂?shù)”這一名詞就恰好反映了這一點。直到十八世紀，，等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義與物理意義，建立了系統(tǒng)的復(fù)數(shù)理論，從而使人們綞接受并理解了復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)函數(shù)和理論基礎(chǔ)是在十九世紀奠定的，主要是圍繞、和三人的工作進行的。到本世紀，復(fù)數(shù)函數(shù)論是數(shù)學(xué)的重要分支之一，隨著它的領(lǐng)域不斷擴大而發(fā)展成龐大的一門學(xué)科，在自然科學(xué)其它學(xué)科及數(shù)學(xué)的其它分支中，復(fù)數(shù)函數(shù)論都有著重要應(yīng)用。第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)教學(xué)重點：復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性教學(xué)難點：復(fù)平面上點集的個概念教學(xué)基本要求：1、了解復(fù)數(shù)定義及其幾何意義，熟練掌握復(fù)數(shù)運算2、知道無窮遠點鄰域3、了解單連通區(qū)域與復(fù)連通區(qū)域4、理解復(fù)變函數(shù)、極限與連續(xù)§1復(fù)數(shù)1、復(fù)數(shù)域形如或的數(shù)，稱為復(fù)數(shù)，其中和均是實數(shù)，分別稱為的實部和虛部，記作，；稱為虛單位。兩個復(fù)數(shù)，，.虛部為零的復(fù)數(shù)可看作實數(shù)。因此，全體實數(shù)是全體復(fù)數(shù)的一部分。和稱為互為共軛復(fù)數(shù)，記為或.復(fù)數(shù)四則運算規(guī)定為：易驗證復(fù)數(shù)的四則運算滿足與實數(shù)的四則運算相應(yīng)的運算規(guī)律。全體復(fù)數(shù)并引進上述運算后稱為復(fù)數(shù)域，必須特別提出的是，在復(fù)數(shù)域中，復(fù)數(shù)是不能比較大小的。2、復(fù)平面一個復(fù)數(shù)實際上是由一對有序?qū)崝?shù)唯一確定，因此，若平面上的點與復(fù)數(shù)對應(yīng)，就建立了平面上全部的點和全體復(fù)數(shù)間的一一對應(yīng)關(guān)系。由于軸上的點和軸上非原點的點分別對應(yīng)著實數(shù)和純虛數(shù)，因而通常稱軸為實軸，軸為虛軸，這樣表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面或平面。3、復(fù)數(shù)的模與幅角由圖1-1中可以知道，與從原點到點所引的向量也構(gòu)成一一對應(yīng)關(guān)系。從而，我們能夠借助于的極坐標和來確定點，的長度稱為復(fù)數(shù)的模，記為根據(jù)向量的運算及幾何知識，得到兩個重要的不等式：與實軸正向間的夾角滿足稱為的幅角（），記作，任一非復(fù)數(shù)均有無窮多個幅角，以表示其中一個特定值，并稱滿足條件的一個值為的主值或的主幅角，則有注：當(dāng)時，，幅角無意義從直角坐標與極坐標關(guān)系有（三角形式）（1）若引進著名的公式：，則（1）可化為（指數(shù)形式）（2），由（2）及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可推得,因此，，,特別地，當(dāng)時，有，當(dāng)時，有（公式）例1.1求及用與表示的式子。4、曲線的復(fù)數(shù)方程例1.2連接及兩點的線段的參數(shù)方程為：連接及兩點的直線的參數(shù)方程為：例1.3平面上以原點心，為半徑的圓周的方程為，平面上以為心，為半徑的圓周的方程為例1.4平面上實軸的方程為虛軸的方程為§2復(fù)平面上的點集1、幾個基本概念定義1.1滿足不等式的所有點組成的平面點集稱為的-鄰域，記為.定義1.2設(shè)為一平面點集，若點的任意鄰域內(nèi)均有的無窮多個點，則稱為的聚點；若使得則稱為的內(nèi)點。定義1.3若上的每個聚點都屬于，則稱為閉集；若的所有點均為內(nèi)點，則稱為開集。定義1.4若，均有，則稱為有界集，否則稱為無界集。2、區(qū)域與曲線定義1.5若非空點集滿足下列兩個條件：（1）為開集（2）中任意兩點均可用全在中的折線連接起來，則稱為區(qū)域。得也是一條射線.且與射線L重合。

(3)設(shè).因，故，因故u=4，又當(dāng)Z在雙曲線上變動時在（-∞，+∞）上變動。因此.Z的象是這樣的點：其實部U恒為4.其實部∈（-∞，+∞），因此滿足上述條件的點所成立之集是平行于虛軸的一條直線U=4。2.復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性定義1.16設(shè)于點集上有定義，為的聚點。如果存在一復(fù)數(shù)，使對任給的，有，只要,。就有則稱函數(shù)沿于有極限。并記為。注極限與趨于的方式無關(guān)。即要沿從四面八方通向的任何路徑趨于。這是與實函數(shù)的極限的不同之處。

下述定理給出了復(fù)變函數(shù)極限與其實部和虛部極限的關(guān)系

定理1.2設(shè)函數(shù)于點集上有定義，，則

的充要條件是

證由極限定義易證。

下面再引入復(fù)變函數(shù)連續(xù)性的概念，其定義與實函數(shù)的連續(xù)性是相似的。

定義1.17設(shè)子點集上有定義，為的聚點，且。若

即對任給的，只要，，就有

則稱沿于連續(xù)。

定理1.3設(shè)函數(shù)于點集上有定義，，則沿在點連續(xù)的充要條件是：二元實變函數(shù)，沿于點連續(xù)。

上述定理告訴我們：判斷復(fù)變函數(shù)是否連續(xù)，只需看其實部、虛部是否連續(xù)。例設(shè)試證在原點無極限，從而在原點不連續(xù)。

證令變點，則

從而（沿正實軸）而沿第一象限的平分角線，時，。故在原點無確定的極限，從而在原點不連續(xù)。例試證不存在。證設(shè)，則，于是顯然，k取不同值時，值也不同，故極限不存在。定義1.18如函數(shù)在點集上各點均連續(xù)，則稱在上連續(xù)。例設(shè)在點連續(xù)，且，則在點的某以鄰域內(nèi)恒不為0.

證因在點連續(xù)，則，只要，就有特別，取，則由上面的不等式得

因此，在鄰域內(nèi)就恒不為0。在數(shù)學(xué)分析中，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有三個重要性質(zhì)：有界性、達到最值及一致連續(xù)性，對復(fù)變函數(shù)也有類似性質(zhì)。定理1.4聚點定理：每一個有界無窮點集至少有一個聚點。定理1.5閉集套定理：無窮閉集列至少有一個為有界且是的直徑,則必有唯一的一點。定理1.6覆蓋定理：設(shè)有界閉集的每一點