新教材人教A版高一數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與經(jīng)典例題 第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)

新教材人教A版高一數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總

結(jié)與經(jīng)典例題第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)

學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生

新教材人教A版高一數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

【考綱要求】

序

號(hào)

1

函數(shù)的概

念

2

函數(shù)的性

質(zhì)

3募函數(shù)

4

函數(shù)的應(yīng)

用（一）

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)

考點(diǎn)

在初中用變量之間的依賴(lài)關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)

上，用集合語(yǔ)言和對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫(huà)函數(shù)，建立完整

的函數(shù)概念，體會(huì)集合語(yǔ)言和對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫(huà)函

數(shù)概念中的作用。

了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域

在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆?/p>

法（如圖像法、列表法、解析法）表示函數(shù)，理

解函數(shù)圖象的作用。

通過(guò)具體實(shí)例，了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單

應(yīng)用。

借助函數(shù)圖象，會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)

性，最大值，最小值，理解它們的作用和實(shí)際意

義

結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義

通過(guò)具體實(shí)例，結(jié)合，，，

,,的圖象，理解它們的變

化規(guī)律，了解得函數(shù)。

理解函數(shù)模型是描述客觀(guān)世界中變量關(guān)系和規(guī)律

的重要數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具，在實(shí)際情境中，會(huì)選擇

合適的函數(shù)類(lèi)型刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律。

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課標(biāo)要求

了解

了解

了解

理解

理解

了解

了解

掌握

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3.1函數(shù)的概念及其表示

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

3.1.1函數(shù)的概念

一、函數(shù)的概念

1.一般地，設(shè)是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合中的任何一

個(gè)數(shù)，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在集合中都有唯一確定的數(shù)

和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)為從集合到集合的一個(gè)函數(shù)，記作。其中

叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，

叫做函數(shù)的值域。與的值相對(duì)應(yīng)的值叫做函數(shù)值。函數(shù)值

的集合

(1)判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是不是函數(shù)：

①兩個(gè)集合均為非空數(shù)集；

②對(duì)集合中的任意一個(gè)數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)

注意：可以一對(duì)一，多對(duì)一，不可一對(duì)多。

(2)判斷一個(gè)圖形是不是函數(shù)的圖象

和它對(duì)應(yīng)。

作垂直于軸的直線(xiàn)，在定義域內(nèi)左右平移直線(xiàn)，根據(jù)直線(xiàn)

與圖形是不是僅有一個(gè)公共點(diǎn)來(lái)判斷，若是，則為函數(shù)圖象，

反之不是。

2.函數(shù)的三要素：定義域，值域，對(duì)應(yīng)關(guān)系。

3.相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全

一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等。二、區(qū)間的概念及函數(shù)定義域的求

法

1.區(qū)間的表示方法

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2.函數(shù)的定義域求法

(1)具體函數(shù)的定義域

①如果是整式，則定義域?yàn)椋?/p>

②如果是分式，則定義域是使分母不為的實(shí)數(shù)集合；

③如果是偶次根式，其定義域是使根式內(nèi)的式子不小于的

實(shí)數(shù)集合；

④如果是由以上幾部分?jǐn)?shù)學(xué)式子組成，其定義域是使各部

分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合；(2)抽象函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的定

義域

①已知的定義域?yàn)?，求的定義域，其實(shí)質(zhì)是已知的取值范

圍為，求的取值范圍。

②已知

求

的定義域?yàn)椋蟮亩x域，其實(shí)質(zhì)是已知中的取值范圍為,

的值域。

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3.簡(jiǎn)單函數(shù)的值域求法

(1)觀(guān)察法：對(duì)于一些簡(jiǎn)單的函數(shù)，通過(guò)其定義域和對(duì)

應(yīng)關(guān)系用觀(guān)察法可以確定，如

、等等；

(2)配方法：對(duì)于含二次函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題，常常根據(jù)問(wèn)

題需要，采用配方法求值域，如

等；

(3)判別式法：將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別

式求函數(shù)值的范圍，常用于一些分式函數(shù)，無(wú)理函數(shù)等，如等;

(4)換元法：對(duì)于一些無(wú)理函數(shù)常通過(guò)換元的方法轉(zhuǎn)化

為有理函數(shù)，在通過(guò)上述方法求值域，如；

(5)分離常數(shù)法：對(duì)于一些分子和分母都是關(guān)于自變量

的一次式，常采用分離常數(shù)法求值域，如

(6)圖像法

3.1.2函數(shù)的表示法

一、三種表示法的比較

表示法優(yōu)點(diǎn)

1.簡(jiǎn)明、全面地概括了變量間的關(guān)

系；

2.通過(guò)解析式可以求出任意一個(gè)自變

量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值

不需要計(jì)算就可以直接看出與自變量

的值相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值

1.能形象、直觀(guān)地表示出函數(shù)的變化

情況；

2.便于數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用。

二、函數(shù)解析式的求法

1.待定系數(shù)法：已知函數(shù)類(lèi)型，求函數(shù)解析式;

2.配湊法

3.換元法

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,（其中為常數(shù)）。

解析法

缺點(diǎn)

不夠形象、直接、具

體，而且并不是所有的

函數(shù)都能用解析式來(lái)表

示，如每天的氣溫變化

只能表示出自變量取較

少的值時(shí)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

只能近似地求出自變量

的值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，

有時(shí)誤差較大。

列表法

圖像法

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4.消元法（解方程組法）：抽象函數(shù)解析式的求法；

5.賦值法

三、函數(shù)圖象的作法

先找出一些（有代表性）自變量的值，再計(jì)算出與這些自

1列表

變量的值相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，用表格形式表示出來(lái)

從表格中得到一系列的點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中描出這些

2

3

描點(diǎn)

點(diǎn)

連線(xiàn)用光滑的曲線(xiàn)把這些點(diǎn)按自變量由小到大的順序連接

起來(lái)四、分段函數(shù)

1.分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)；

2.寫(xiě)分段函數(shù)各段的取值范圍時(shí)，注意不重不漏；

3.處理分段函數(shù)問(wèn)題時(shí)，首先要確認(rèn)自變量的取值范圍，

再選取相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；4.分段函數(shù)的定義域是各段定義域的

并集；同樣的，值域是各段函數(shù)值域的并集；分段函數(shù)的最大

（?。┲凳歉鞫魏瘮?shù)分別求得最大（小）值之后的最大（?。?/p>

值。

考法突破

【知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的概念】

例1,下列能表示是的函數(shù)的是（）

①②③④

A.①②④

B.①③④

C.②③④

D.①②③

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變式訓(xùn)練例1

下列各式為函數(shù)解析式的是（）.

A.

B.

C.

D.

【知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的概念之圖像理解】

例2

下列四個(gè)圖象中，能表示是的函數(shù)圖象的個(gè)數(shù)是0

A.0個(gè)

B.1個(gè)

C.2個(gè)

D.3個(gè)

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變式訓(xùn)練例2下列圖象中表示函數(shù)圖象的是()

A.

B.

C.

D.

【知識(shí)點(diǎn)一相等函數(shù)的概念】

例3.下列四組函數(shù)中，表示相等函數(shù)的一組是(.)

A.

B.

C.

D.

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變式訓(xùn)練例3

下列各組中的兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)的為（）

A.與

B.與

C.與

D.與

【知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)定義域的求法】

例1.已知函數(shù)的定義域是集合，則使的集合（）

A.或

B.或

C.

D.

變式訓(xùn)練例1

已知函數(shù)的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋瑒t

答案.

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【知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)定義域的求法】

例2.

已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?

答案.

變式訓(xùn)練例2

已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是.答案.

【知識(shí)點(diǎn)二.函數(shù)定義域的求法】

例3

.函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是.

答案

變式訓(xùn)練例3

已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是()A.

B.

C.

D.

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【知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)定義域的求法】

例4

已知函數(shù)

數(shù)在

的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的值構(gòu)成的集合是;若函

上有意義，則實(shí)數(shù)的值構(gòu)成的集合是.答案；

變式訓(xùn)練例4

（2018廣西南寧高一期末）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的取值范

圍為.答案

【知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)值域的求法】

例lo函數(shù)的值域是.

答案

變式訓(xùn)練例1函數(shù)的值域是.

答案

【知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)值域的求法】

例2o已知集合

,，求

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答案，

變式訓(xùn)練例2

函數(shù)的定義域?yàn)?值域?yàn)?

答案；.

【知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)值域的求法】

例3已知函數(shù)滿(mǎn)足方程，則函數(shù)的值域?yàn)?答

變式訓(xùn)練例3

已知函數(shù)滿(mǎn)足方程，那么函數(shù)的值域是.答案

【知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)值域的求法】

例4函數(shù)的值域?yàn)?

答案

變式訓(xùn)練例4

函數(shù)的值域?yàn)?

答案

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【知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)值域的求法】

例5函數(shù)的值域?yàn)?

答案

變式訓(xùn)練例5函數(shù)

答案.

在的值域?yàn)?

【知識(shí)點(diǎn)四函數(shù)表示法】

例1?？谙闾堑纳a(chǎn)已有很長(zhǎng)的歷史，咀嚼口香糖有很多

益處，但其殘留物也會(huì)帶來(lái)污染.為了研究口香糖的黏附力與

溫度的關(guān)系，一位同學(xué)通過(guò)實(shí)驗(yàn)，測(cè)定了不同溫度下口香糖與

瓷磚地面的黏附力，得到了如表所示的一組數(shù)據(jù)：

(1)請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，繪制出口香糖黏附力隨溫度變化

的圖像.

(2)根據(jù)上述數(shù)據(jù)以及得到的圖像，你能得到怎樣的實(shí)

驗(yàn)結(jié)論呢？

(3)如果口香糖不小心粘在衣服上，用什么辦法清理最

干凈？

變式訓(xùn)練例1

根據(jù)下表寫(xiě)出函數(shù)解析式()

A.

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B.

C.

D.

【知識(shí)點(diǎn)四函數(shù)表示法】

例2。某電信公司推出兩種手機(jī)收費(fèi)方式：種方式是月租

月的本地網(wǎng)內(nèi)打出電話(huà)時(shí)間

這兩種方式的電話(huà)費(fèi)相差0

元，種方式是月租元.一個(gè)

時(shí)，與電話(huà)費(fèi)(元)的函數(shù)關(guān)系如圖所示，當(dāng)電話(huà)

A.元

B.元

C.元

D.元

變式訓(xùn)練例2

下列所給4個(gè)圖象中，與所給3件事吻合最好的順序?yàn)?)

(1)我離開(kāi)家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，于

是立刻返回家里取了作業(yè)本再上學(xué)；

(2)我騎著車(chē)一路以常速行駛，只是在途中遇到一次交

通堵塞，耽擱了一些時(shí)間；

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(3)我出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進(jìn)，后來(lái)為了趕時(shí)間

開(kāi)始加速.

A.(1)(2)(4)

B.(4)(2)(3)

C.(4)(1)(3)

D.(4)(1)(2)

【知識(shí)點(diǎn)四函數(shù)表示法】

例3。某種杯子每只

的函數(shù)

元，買(mǎi)只，所需錢(qián)數(shù)為元，用解析法將表示成

答案。

變式訓(xùn)練例3

某商場(chǎng)新進(jìn)了

臺(tái)彩電，每臺(tái)售價(jià)元，試求售出臺(tái)數(shù)與收款數(shù)之間的函數(shù)

關(guān)系，分別用列表法、圖象法、解析法表示出來(lái).

【知識(shí)點(diǎn)五函數(shù)解析式的求法】

例1已知二次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，則二次函數(shù)的解析式為

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答案

變式訓(xùn)練例1

拋物線(xiàn)上有三點(diǎn)，此拋物線(xiàn)的解析式為

答案

【知識(shí)點(diǎn)五函數(shù)解析式的求法】

例2已知，則.

答案。

變式訓(xùn)練例2

函數(shù)滿(mǎn)足,,則的最小值為-.

答案.

【知識(shí)點(diǎn)五函數(shù)解析式的求法】

例3已知，求.

答案

變式訓(xùn)練例3

若

,求.

答案。.

【知識(shí)點(diǎn)五函數(shù)解析式的求法】

第15頁(yè)，共48頁(yè)

學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生

例4已知

答案。

變式訓(xùn)練例4

設(shè)滿(mǎn)足，求.

答案.

【知識(shí)點(diǎn)五函數(shù)解析式的求法】

例5設(shè)是上的函數(shù)，且滿(mǎn)足，并且對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有

，求，的值及的解析式.

變式訓(xùn)練例5

已知函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)都有成立，且

(1)求的值；

(2)求的解析式.

答案(1);(2)

【知識(shí)點(diǎn)六函數(shù)圖象作法】

例1

作出函數(shù)的圖象.

變式訓(xùn)練例1

第16頁(yè)，共48頁(yè)

學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生

研究下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并分別畫(huà)出它們的圖象:

(1)；

(2).

(1)圖略，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，.

(2)圖略，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是.

【知識(shí)點(diǎn)七分段函數(shù)的概念和性質(zhì)】

例E已知函數(shù)，則()

A.

B.

C.

D.

變式訓(xùn)練例1

設(shè)

答案

,求的值.

【知識(shí)點(diǎn)七分段函數(shù)的概念和性質(zhì)】

第17頁(yè)，共48頁(yè)

學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生

例2.設(shè)函數(shù)，若，則.答案。

變式訓(xùn)練例2

設(shè)函數(shù)

答案。或

,若,則.

3.2函數(shù)的基本性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

3.2.1單調(diào)性與最大（?。┲?/p>

1.增函數(shù)與減函數(shù)定義

（1）一般地，設(shè)函數(shù)

①如果

增。即函數(shù)

,當(dāng)

的定義域?yàn)?，區(qū)間

時(shí)，都有

,那么就稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞

在區(qū)間上具有嚴(yán)格的單調(diào)性，區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間。

特別地，當(dāng)函數(shù)

或

②如果

在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，我們就稱(chēng)它是增函數(shù)。（注

意：當(dāng)

時(shí)，函數(shù)

,當(dāng)時(shí)，都有

單調(diào)遞增。）

,那么就稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減。即函數(shù)在區(qū)間上具有

嚴(yán)格的單調(diào)性，區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間。特別地，當(dāng)函數(shù)

或

在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們就稱(chēng)它是減函數(shù)。（注

意：當(dāng)

時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減。）

（2）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法

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學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生

①定義法

i.設(shè)符合定義域的

ii.作差與變形：

,且；

.常見(jiàn)變形方法有：分解因式，配方，通分，有理化等。

造.判號(hào)

iv.得出結(jié)論

②配湊法（適用于判斷抽象函數(shù)單調(diào)性）

③圖像法

作函數(shù)圖象，通過(guò)圖象直觀(guān)的判斷函數(shù)的單調(diào)性

④性質(zhì)法

i.直接利用函數(shù)的性質(zhì)：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例

函數(shù)等等

ii.單調(diào)性運(yùn)算性質(zhì)

增+增=增

增-減二增

減+減=減

減-增=減

若為增函數(shù)，則為減函數(shù)；

若在定義域上成立，則與的單調(diào)性相同；

函數(shù)的單調(diào)性滿(mǎn)足“同增異減”的法則。

2.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

(1)利用單調(diào)性解不等式

若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增。則不等式

若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。則不等式

(2)利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范圍

①將參數(shù)看成已知數(shù)，對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)

間，再與已知條件對(duì)比，求出參數(shù)范圍;

②根據(jù)已知條件，將參數(shù)分離放置不等號(hào)左端，右端化為

已知函數(shù)，再通過(guò)求已知函數(shù)的值域從而確定參數(shù)的取值范圍。

第19頁(yè)，共48頁(yè)

學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生

3.函數(shù)的最大（小）值

設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間，如果存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足:

（1）對(duì)于，都有

最大值

（2）對(duì)于，都有

最小值。

4.函數(shù)最大（?。┲档那蠓?/p>

（1）單調(diào)性法

（2）函數(shù)圖象的性質(zhì)

（3）均值不等式

5.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

,且存在，使得，則稱(chēng)是函數(shù)的

,且存在，使得，則稱(chēng)是函數(shù)的

第20頁(yè)，共48頁(yè)

學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生

對(duì)于二次函數(shù)在區(qū)間上的最值可進(jìn)行如下討論：(1)函

數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間

O

左側(cè),即時(shí),

(2)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間之間，即時(shí)，。當(dāng)時(shí)，；

第21頁(yè)，共48頁(yè)

學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，

在區(qū)間

右側(cè)，即時(shí)，，(3)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸

O

3.2.2函數(shù)的奇偶性

1.奇函數(shù)與偶函數(shù)

奇函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)

那么函數(shù)

的定義域?yàn)?如果，都有，且，

就叫做奇函數(shù)；

偶函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)

么函數(shù)就叫做偶函數(shù)；

的定義域?yàn)?如果，都有，且，那2.奇函數(shù)與偶函數(shù)的性

質(zhì)

(1)對(duì)稱(chēng)性：奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且若定義域包

含，則

軸對(duì)稱(chēng)；

(2)單調(diào)性：奇函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)單調(diào)性相同；偶函數(shù)在

軸兩側(cè)單調(diào)性相反；

(3)函數(shù)奇偶性的判定

①定義法

i求定義域：觀(guān)察是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。若是則進(jìn)行下一步

判斷，若不是，則函數(shù)偶；

ii判斷

奇函數(shù)。

②圖像法

與的關(guān)系：，則為偶函數(shù)；，則為

非奇非

；偶函數(shù)圖象關(guān)于

第22頁(yè)，共48頁(yè)

學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生

i圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則為奇函數(shù)；

ii圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則為偶函數(shù)。

③性質(zhì)法

i奇奇奇

ii奇奇偶

道偶偶偶

iv偶偶偶

v奇偶奇

3.函數(shù)周期性

(1)周期函數(shù):對(duì)于定義域中任意的和一個(gè)非零常數(shù)

為周期的周期函數(shù).

，恒成立是以⑵最小正周期:如果在周期函數(shù)

就叫做

的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)

一般都是最小正周期)?的最小正周期(若不特別說(shuō)明，

下列條件可推出具有周期性：

⑴若，則是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期.

⑵若

個(gè)周期為.

或或，那么函數(shù)是周期函數(shù),其中一(3)若，那么函數(shù)是周期函

數(shù)，其中一個(gè)周期為.(4)若已知函數(shù)圖象具有對(duì)稱(chēng)性，可將其轉(zhuǎn)化

為函數(shù)的周期情況，具體如下：

第23頁(yè)，共48頁(yè)

學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生

①若的圖象在定義城內(nèi)有兩條對(duì)稱(chēng)軸,，則的一個(gè)周期為;②

若的圖象在定義域內(nèi)有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心,，則的一個(gè)周期為;③若的

圖象在定義域內(nèi)有對(duì)稱(chēng)軸

和對(duì)稱(chēng)中心，則的一個(gè)周期為4.關(guān)于函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)性的常

見(jiàn)結(jié)論

在定義域內(nèi)滿(mǎn)足條件

考法突破

圖象的對(duì)稱(chēng)軸(中心)

直線(xiàn)

直線(xiàn)

點(diǎn)

點(diǎn)

點(diǎn)

點(diǎn)

點(diǎn)

【知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)單調(diào)性的判斷】

例1求函數(shù)

答案，定義法。

變式訓(xùn)練例1

用定義證明：函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間.

單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.

在上是減函數(shù).

【知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)單調(diào)性的判斷】

第24頁(yè)，共48頁(yè)

學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生

例2.(2018湖南郴州高一聯(lián)考)已知函數(shù).

(1)畫(huà)出函數(shù)的大致圖像；

(2)寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

答案(1)見(jiàn)解析;(2)

變式訓(xùn)練例2

求函數(shù)的遞增區(qū)間

答案，圖像法。.

【知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)單調(diào)性的判斷】

例3。下列函數(shù)在區(qū)間上不是增函數(shù)的是()

A.

B.

C.

第25頁(yè)，共48頁(yè)

學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生

D.

變式訓(xùn)練例3

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是

__________.答案，

【知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)單調(diào)性的判斷】

例4.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

變式訓(xùn)練例4

已知函數(shù).

(1)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.

【知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)單調(diào)性的判斷】

例5.函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)一切，，都有

時(shí)，總有.

(1)求的值；

(2)判斷的單調(diào)性并證明；

(3)若，解不等式.

答案(1);

第26頁(yè)，共48頁(yè)

,當(dāng)

學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生

(2)是上的增函數(shù)，證明略；

(3).

變式訓(xùn)練例5

已知定義在

時(shí)

上的函數(shù)

,判斷

對(duì)任意

在

,恒有

上的單調(diào)性.

,且當(dāng)答案在上單調(diào)遞減.證明略

【知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用】

例1。若函數(shù)在上是減函數(shù)，則下列關(guān)系式一定成立的是

().

A.

B.

C.

D.

變式訓(xùn)練例1已知，是正實(shí)數(shù)，則下列式子中能使恒成立的

是()

A.

B.

C.

第27頁(yè)，共48頁(yè)

學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生

D.

【知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用】

例2o已知

是定義在區(qū)間上的增函數(shù)，且，則的取值范圍為答案。

變式訓(xùn)練例2

函數(shù)在上是增函數(shù)，且，則的取值范圍為.答

案。

【知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用】

例3.已知函數(shù)在上遞增，則的取值范圍是（）

A.

B.

C.

D.

變式訓(xùn)練例3

若函數(shù)

答案。

在

上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

第28頁(yè)，共48頁(yè)

學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生

【知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)的最大（?。┲怠?/p>

例1,函數(shù)在區(qū)間上的最小值為,最大值為

__________.答案；.

變式訓(xùn)練例1

已知函數(shù)，.

（1）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；

（2）求函數(shù)的最大值與最小值.

答案（1）略；（2）

【知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)的最大（?。┲怠?/p>

例2.函數(shù)在上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最小值、最大

值分別是OA.,

B.,

C.,

第29頁(yè)，共48頁(yè)

學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生

D.,

變式訓(xùn)練例2

函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的最大值，最小值分別為（）

A.,

B.,

C.,

D.,

【知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)的最大（?。┲怠?/p>

例3.當(dāng)

A.

時(shí)，的最小值為()

B.

C.

D.

變式訓(xùn)練例3

第30頁(yè)，共48頁(yè)

學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生

函數(shù)的最大值為()

A.

B.

C.

D.

【知識(shí)點(diǎn)四二次函數(shù)的值域和最值】

例1。函數(shù)，在的最大值為.

答案。

變式訓(xùn)練例1

二次函數(shù)在區(qū)間的最大值為

答案。

【知識(shí)點(diǎn)四二次函數(shù)的值域和最值】

例2.已知函數(shù)在時(shí)有最大值，則的值為.答案。

變式訓(xùn)練例2

函數(shù)在上有最大值，那么實(shí)數(shù)

第31頁(yè)，共48頁(yè)

學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生

答案?；?/p>

【知識(shí)點(diǎn)五函數(shù)奇偶性的判斷】

例1

已知函數(shù)

(1)證明：

是奇函數(shù)；

(2)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：

變式訓(xùn)練例1

下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()

在上是增函數(shù)。

A.

B.

c.

D.

【知識(shí)點(diǎn)五函數(shù)奇偶性的判斷】

例2.

下列函數(shù)圖象中，是奇函數(shù)的圖象；

是偶函數(shù)；在定義域內(nèi)是增函數(shù).

第32頁(yè)，共48頁(yè)

學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生

答案A.；B.；C.

變式訓(xùn)練例2

函數(shù)，的圖像如圖，則函數(shù)的圖像可能是()

A.B.

C.Do

第33頁(yè)，共48頁(yè)

學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生

【知識(shí)點(diǎn)五函數(shù)奇偶性的判斷】

例3。已知函數(shù)()是奇函數(shù)，那么函數(shù)()()

A是奇函數(shù)

B是偶函數(shù)

C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

D既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

變式訓(xùn)練例3函數(shù)的奇偶性是()

A.奇函數(shù)

B.偶函數(shù)

C.既奇又偶函數(shù)

D.非奇非偶函數(shù)

【知識(shí)點(diǎn)六函數(shù)奇偶性的應(yīng)用】

例1。已知函數(shù)，且，則()

A.

B.

C.

D.

第34頁(yè)，共48頁(yè)

學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生

變式訓(xùn)練例1

已知函數(shù)，若，則等于0

A.

B.2

C.1

D.

【知識(shí)點(diǎn)六函數(shù)奇偶性的應(yīng)用】

例2.函數(shù)y=(x+1)(x—a)為偶函數(shù)，則a等于()

A.-2

B.-1

C.1

D.2

變式訓(xùn)練例2已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的值是()

A.1

B.2

C.3

D.4

第35頁(yè)，共48頁(yè)

學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生

【知識(shí)點(diǎn)六函數(shù)奇偶性的應(yīng)用】

例3.是定義在上的奇函數(shù)，時(shí),，則當(dāng)時(shí),答案。

變式訓(xùn)練例3

已知為奇函數(shù)，當(dāng)，，則時(shí)，等于()

A.

B.

C.

D.

【知識(shí)點(diǎn)六函數(shù)奇偶性的應(yīng)用】

例4.已知定義在

等式

上的函數(shù)

的解集為（）

的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),且函數(shù)在上單調(diào)遞減，則不A.

B.

C.

D.

第36頁(yè)，共48頁(yè)

學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生

變式訓(xùn)練例4

已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)增加，則滿(mǎn)足的的取值范圍是（）A.

B.

C.

D.

3.3幕函數(shù)

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、黑函數(shù)的概念

1.嘉函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)

2.嘉函數(shù)的特征：

(1)寨函數(shù)

(2)早函數(shù)

(3)一函數(shù)

的系數(shù)是；

的底數(shù)是自變量；

的指數(shù)是常數(shù)。

叫做嘉函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)。二、常見(jiàn)的募函數(shù)

圖像和性質(zhì)

第37頁(yè)，共48頁(yè)

學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生

三、一般得函數(shù)的性質(zhì)

(1)所有魯函數(shù)在上都有意義，并且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)。

(2)時(shí)，嘉函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函

數(shù)。

(3)時(shí)，嘉函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，當(dāng)

從右向左趨近于

時(shí)，圖象在軸上方無(wú)限趨近于時(shí)，圖象在軸右側(cè)無(wú)限趨近

于軸正半軸，當(dāng)趨近于

軸正半軸。

(4)任何第函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸僅相交于原點(diǎn)，或不相交,

任何氟函數(shù)的圖象都不過(guò)第四象限。

(5)任何兩個(gè)福函數(shù)的圖象最多有三個(gè)公共點(diǎn)，除

何一個(gè)點(diǎn)都不是兩個(gè)黑函數(shù)的公共點(diǎn)。

,其他任

第38頁(yè)，共48頁(yè)

學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生

四、上凸函數(shù)與下凸函數(shù)

(1)上凸函數(shù)：設(shè)函數(shù)

(2)下凸函數(shù)：設(shè)函數(shù)

在

在上有定義，若對(duì)于中任意不同的兩數(shù)

在上是上凸函數(shù)。都成立，則稱(chēng)

上有定義，若對(duì)于中任意不同的兩數(shù)

在上是下凸函都成立，則稱(chēng)

數(shù)。

(3)嘉函數(shù)圖象的上凸、下凸：在第一象限內(nèi)，①當(dāng)時(shí),

曲線(xiàn)上凸；②當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)下凸；③當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)下凸。如圖

考法突破

【知識(shí)點(diǎn)一早函數(shù)的概念】

例1。已知黑函數(shù)，

(1)求實(shí)數(shù)的值；

(2)求寨函數(shù)的定義域.

答案。(1);

第39頁(yè)，共48頁(yè)

學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生

(2)

變式訓(xùn)練例1

已知寨函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)答案。

【知識(shí)點(diǎn)二嘉函數(shù)圖象及應(yīng)用】

例1。給出下列說(shuō)法：

(1)募函數(shù)的圖像都過(guò)點(diǎn)；(2)嘉函數(shù)的圖像不可能是一條

直線(xiàn);

（3）時(shí)，函數(shù)的圖像是一條直線(xiàn)；（4）嘉函數(shù)當(dāng)時(shí)，是增函

數(shù)；（5）嘉函數(shù)當(dāng)時(shí)，在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨值的增大而減

少.其中正確說(shuō)法的序號(hào)為.

答案。（5）

變式訓(xùn)練例1

下列結(jié)論中，正確的是（）

A.氟函數(shù)的圖象都通過(guò)點(diǎn)

B.當(dāng)寨指數(shù)時(shí)，嘉函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)第一、三象限

C.當(dāng)寨指數(shù)時(shí)，嘉函數(shù)是增函數(shù)

D.當(dāng)倦指數(shù)時(shí)，嘉函數(shù)在其整個(gè)定義域上是減函數(shù)

第40頁(yè)，共48頁(yè)

學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生

【知識(shí)點(diǎn)三賽函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用】

例1。嘉函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的值為（）

A.

B.

C.

D.或

變式訓(xùn)練例1

嘉函數(shù)在上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)

答案。.

【知識(shí)點(diǎn)三早函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用】

例2.比較下列各組數(shù)中兩個(gè)數(shù)的大小.

⑴與；

⑵與.

答案(1);

(2).

第41頁(yè)，共48頁(yè)

的值是.

學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生

變式訓(xùn)練例2

比較大小：.

【知識(shí)點(diǎn)三募函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用】

例3.已知，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

答案。

變式訓(xùn)練例3

若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

答案。實(shí)數(shù)的取值范圍為.

【知識(shí)點(diǎn)四寨函數(shù)的奇偶性】

例1。已知嘉函數(shù)0的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且在

⑴求的值；

⑵求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.

答案(1)

(2)

變式訓(xùn)練例1

第42頁(yè)，共48頁(yè)

上是減函數(shù).

學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生

已知函數(shù)

(1)求實(shí)數(shù)的值；

為募函數(shù)，且為奇函數(shù).

(2)求函數(shù)在上的值域.

答案(1);

(2),

【知識(shí)點(diǎn)四寨函數(shù)的奇偶性】

例2,已知,若時(shí),，則的取值范圍是()A.

B.

C.

D.

變式訓(xùn)練例2

已知黑函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且在

的的范圍是__________

上是減函數(shù)，則滿(mǎn)足答案?；?/p>

第43頁(yè)，共48頁(yè)

學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生

3.4函數(shù)的應(yīng)用（一）

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

幾類(lèi)常見(jiàn)的函數(shù)模型

1.一次函數(shù)模型：為常數(shù)，

2.二次函數(shù)模型：為常數(shù)，

（注：求解二次函數(shù)模型問(wèn)題時(shí)，常利用二次函數(shù)的圖象

或配方法、判別式法、換元法、函數(shù)單調(diào)性等求函數(shù)的最值，

從而解決實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題。）

3.對(duì)勾函數(shù)模型：

對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)

性質(zhì)：（1）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

為常數(shù)，

（2）增區(qū)間為；減區(qū)間為

（3）在上有最小值，為在上有最大值，為

第44頁(yè)，共48頁(yè)

學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生

4.分段函數(shù)模型：這個(gè)模型實(shí)質(zhì)是兩種或多種模型的綜合,

應(yīng)用十分廣泛。

考法突破

【知識(shí)點(diǎn)一利用一次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題】

例1。甲、乙兩車(chē)從

離

城出發(fā)勻速行駛至城，在整個(gè)行駛過(guò)程中，甲、乙兩車(chē)離開(kāi)

城的距

兩城相（千米）與甲車(chē)行駛的時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系如

圖所示，則下列結(jié)論:①

距千米；②乙車(chē)出發(fā)后小時(shí)追上甲車(chē)；③當(dāng)甲、乙兩車(chē)相

距千米時(shí)，或，或或（單位為小時(shí)）其中正確的結(jié)論有（）

A.①②

B.②③

C.①③

D.①②③

變式訓(xùn)練例1

某商家有一種商品，成本費(fèi)為元，如果月初售出可獲利

100元，再將本利都存入銀行，已知銀行月息為2.4%,如果

月末售出可獲利120元，但要付保管費(fèi)5元，試就的取值說(shuō)明

這種商品是月初售出好，還是月末售出好？

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學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生

【知識(shí)點(diǎn)二利用二次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題】

例1。共享單車(chē)給市民出行帶來(lái)了諸多便利,某公司購(gòu)買(mǎi)了

一批單車(chē)投放到某地給市民使用.據(jù)市場(chǎng)分析，每輛單車(chē)的營(yíng)運(yùn)

累計(jì)收入(單位:元)與營(yíng)運(yùn)天數(shù)

(1)要使?fàn)I