初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

Word文檔初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、數(shù)與代數(shù)A、數(shù)與式：1、有理數(shù)：①整數(shù)正整數(shù)/0/負(fù)整數(shù)②分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)/負(fù)分?jǐn)?shù)

數(shù)軸：①畫一條水平直線，在直線上取一點(diǎn)表示0(原點(diǎn))，選取某一長(zhǎng)度作為單位長(zhǎng)度，規(guī)定直線上向右的方向?yàn)檎较?，就得到?shù)軸。②任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示。③假如兩個(gè)數(shù)惟獨(dú)符號(hào)不同，那么我們稱其中一個(gè)數(shù)為另外一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)，位于原點(diǎn)的兩側(cè)，并且與原點(diǎn)距離相等。④數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大。正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。

肯定值：①在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)的肯定值。②正數(shù)的肯定值是他的本身、負(fù)數(shù)的肯定值是他的相反數(shù)、0的肯定值是0。兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，肯定值大的反而小。

有理數(shù)的運(yùn)算：加法：①同號(hào)相加，取相同的符號(hào)，把肯定值相加。②異號(hào)相加，肯定值相等時(shí)和為0;肯定值不等時(shí)，取肯定值較大的數(shù)的符號(hào)，并用較大的肯定值減去較小的肯定值。③一個(gè)數(shù)與0相加不變。

減法：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。

乘法：①兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，肯定值相乘。②任何數(shù)與0相乘得0。③乘積為1的兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)。

除法：①除以一個(gè)數(shù)等于乘以一個(gè)數(shù)的倒數(shù)。②0不能作除數(shù)。

乘方：求N個(gè)相同因數(shù)A的積的運(yùn)算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫冪，A叫底數(shù)，N叫次數(shù)。

混合挨次：先算乘法，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)要先算括號(hào)里的。

2、實(shí)數(shù)無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)

平方根：①假如一個(gè)正數(shù)X的平方等于A，那么這個(gè)正數(shù)X就叫做A的算術(shù)平方根。②假如一個(gè)數(shù)X的平方等于A，那么這個(gè)數(shù)X就叫做A的平方根。③一個(gè)正數(shù)有2個(gè)平方根/0的平方根為0/負(fù)數(shù)沒有平方根。④求一個(gè)數(shù)A的平方根運(yùn)算，叫做開平方，其中A叫做被開方數(shù)。

立方根：①假如一個(gè)數(shù)X的立方等于A，那么這個(gè)數(shù)X就叫做A的立方根。②正數(shù)的立方根是正數(shù)、0的立方根是0、負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)。③求一個(gè)數(shù)A的立方根的運(yùn)算叫開立方，其中A叫做被開方數(shù)。

實(shí)數(shù)：①實(shí)數(shù)分有理數(shù)和無理數(shù)。②在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)，倒數(shù)，肯定值的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)，倒數(shù)，肯定值的意義徹低一樣。③每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以在數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示。

3、代數(shù)式

代數(shù)式：?jiǎn)为?dú)一個(gè)數(shù)或者一個(gè)字母也是代數(shù)式。

合并同類項(xiàng)：①所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)，叫做同類項(xiàng)。②把同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)就叫做合并同類項(xiàng)。③在合并同類項(xiàng)時(shí)，我們把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變。

4、整式與分式

整式：①數(shù)與字母的乘積的代數(shù)式叫單項(xiàng)式，幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫多項(xiàng)式，單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式。②一個(gè)單項(xiàng)式中，全部字母的指數(shù)和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。③一個(gè)多項(xiàng)式中，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。

整式運(yùn)算：加減運(yùn)算時(shí)，假如碰到括號(hào)先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)。

冪的運(yùn)算：AM+AN=A(M+N)

(AM)N=AMN

(A/B)N=AN/BN除法一樣。

整式的乘法：①單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母的冪分離相乘，其余字母連同他的指數(shù)不變，作為積的因式。②單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是按照分配律用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。③多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另外一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。

公式兩條：平方差公式/徹低平方公式

整式的除法：①單項(xiàng)式相除，把系數(shù)，同底數(shù)冪分離相除后，作為商的因式;對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同他的指數(shù)一起作為商的一個(gè)因式。②多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分離除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加。

分解因式：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變化叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。

辦法：提公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法、十字相乘法。

分式：①整式A除以整式B，假如除式B中含有分母，那么這個(gè)就是分式，對(duì)于任何一個(gè)分式，分母不為0。②分式的分子與分母同乘以或除以同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。

初中數(shù)學(xué)學(xué)問點(diǎn)：直線的位置與常數(shù)的關(guān)系

①k0則直線的傾斜角為銳角

②k0則直線的傾斜角為鈍角

③圖像越陡，|k|越大

④b0直線與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方

⑤b0直線與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方

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1

歸一問題

在解題時(shí)，先求出一份是多少(即單一量)，然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問題。

總量份數(shù)=1份數(shù)量

1份數(shù)量所占份數(shù)=所求幾份的數(shù)量

另一總量(總量份數(shù))=所求份數(shù)

先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。

例1

買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢?

解

(1)買1支鉛筆多少錢?0.65=0.12(元)

(2)買16支鉛筆需要多少錢?0.1216=1.92(元)

列成綜合算式0.6516=0.1216=1.92(元)

答：需要1.92元。

例2

3臺(tái)拖拉機(jī)3天耕地90公頃，照這樣計(jì)算，5臺(tái)拖拉機(jī)6天耕地多少公頃?

解

(1)1臺(tái)拖拉機(jī)1天耕地多少公頃?9033=10(公頃)

(2)5臺(tái)拖拉機(jī)6天耕地多少公頃?1056=300(公頃)

列成綜合算式903356=1030=300(公頃)

答：5臺(tái)拖拉機(jī)6天耕地300公頃。

例3

5輛汽車4次可以運(yùn)輸100噸鋼材，假如用同樣的7輛汽車運(yùn)輸105噸鋼材，需要運(yùn)幾次?

解

(1)1輛汽車1次能運(yùn)多少噸鋼材?10054=5(噸)

(2)7輛汽車1次能運(yùn)多少噸鋼材?57=35(噸)

(3)105噸鋼材7輛汽車需要運(yùn)幾次?10535=3(次)

列成綜合算式105(100547)=3(次)

答：需要運(yùn)3次。

2

歸總問題

解題時(shí)，經(jīng)常先找出總數(shù)量，然后再按照其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂總數(shù)量是指貨物的總價(jià)、幾小時(shí)(幾天)的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時(shí)行的總路程等。

1份數(shù)量份數(shù)=總量

總量1份數(shù)量=份數(shù)

總量另一份數(shù)=另一每份數(shù)量

先求出總數(shù)量，再按照題意得出所求的數(shù)量。

例1

服裝廠本來做一套衣服用布3.2米，改進(jìn)裁剪辦法后，每套衣服用布2.8米。本來做791套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套?

解

(1)這批布總共有多少米?3.2791=2531.2(米)

(2)現(xiàn)在可以做多少套?2531.22.8=904(套)

列成綜合算式3.27912.8=904(套)

答：現(xiàn)在可以做904套。

例2

小華天天讀24頁(yè)書，12天讀完了《紅巖》一書。小明天天讀36頁(yè)書，幾天可以讀完《紅巖》?

解

(1)《紅巖》這本書總共多少頁(yè)?2412=288(頁(yè))

(2)小明幾天可以讀完《紅巖》?28836=8(天)

列成綜合算式241236=8(天)

答：小明8天可以讀完《紅巖》。

例3

食堂運(yùn)來一批蔬菜，原方案天天吃50千克，30天漸漸消費(fèi)完這批蔬菜。后來按照大家的看法，天天比原方案多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天?

解

(1)這批蔬菜共有多少千克?5030=1500(千克)

(2)這批蔬菜可以吃多少天?1500(50+10)=25(天)

列成綜合算式5030(50+10)=150060=25(天)

答：這批蔬菜可以吃25天。

3

和差問題

已知兩個(gè)數(shù)量的和與差，求這兩個(gè)數(shù)量各是多少，這類應(yīng)用題叫和差問題。

大數(shù)=(和+差)2

小數(shù)=(和-差)2

容易的題目可以直接套用公式;復(fù)雜的題目變通后再用公式。

例1

甲乙兩班共有同學(xué)98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人?

解

甲班人數(shù)=(98+6)2=52(人)

乙班人數(shù)=(98-6)2=46(人)

答：甲班有52人，乙班有46人。

例2

長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬之和為18厘米，長(zhǎng)比寬多2厘米，求長(zhǎng)方形的面積。

解

長(zhǎng)=(18+2)2=10(厘米)

寬=(18-2)2=8(厘米)

長(zhǎng)方形的面積=108=80(平方厘米)

答：長(zhǎng)方形的面積為80平方厘米。

例3

有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩袋共重30千克，甲丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。

解

甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多(32-30)=2千克，且甲是大數(shù)，丙是小數(shù)。由此可知

甲袋化肥分量=(22+2)2=12(千克)

丙袋化肥分量=(22-2)2=10(千克)

乙袋化肥分量=32-12=20(千克)

答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。

例4

甲乙兩車本來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐，兩車本來各裝蘋果多少筐?

解

從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐，這說明甲車是大數(shù)，乙車是小數(shù)，甲與乙的差是(142+3)，甲與乙的和是97，因此甲車筐數(shù)=(97+142+3)2=64(筐)

乙車筐數(shù)=97-64=33(筐)

答：甲車本來裝蘋果64筐，乙車本來裝蘋果33筐。

4

和倍問題

已知兩個(gè)數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍(或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾)，要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做和倍問題。

總和(幾倍+1)=較小的數(shù)

總和-較小的數(shù)=較大的數(shù)

較小的數(shù)幾倍=較大的數(shù)

容易的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例1

果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵?

解

(1)杏樹有多少棵?248(3+1)=62(棵)

(2)桃樹有多少棵?623=186(棵)

答：杏樹有62棵，桃樹有186棵。

例2

東西兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)共存糧480噸，東庫(kù)存糧數(shù)是西庫(kù)存糧數(shù)的1.4倍，求兩庫(kù)各存糧多少噸?

解

(1)西庫(kù)存糧數(shù)=480(1.4+1)=200(噸)

(2)東庫(kù)存糧數(shù)=480-200=280(噸)

答：東庫(kù)存糧280噸，西庫(kù)存糧200噸。

例3

甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若天天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍?

解

天天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，相當(dāng)于天天從甲站開往乙站(28-24)輛。把幾天以后甲站的車輛數(shù)當(dāng)作1倍量，這時(shí)乙站的車輛數(shù)就是2倍量，兩站的車輛總數(shù)(52+32)就相當(dāng)于(2+1)倍，

那么，幾天以后甲站的車輛數(shù)削減為

(52+32)(2+1)=28(輛)

所求天數(shù)為(52-28)(28-24)=6(天)

答：6天以后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍。

例4

甲乙丙三數(shù)之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數(shù)各是多少?

解

乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關(guān)系，因此把甲數(shù)作為1倍量。

由于乙比甲的2倍少4，所以給乙加上4，乙數(shù)就變成甲數(shù)的2倍;

又由于丙比甲的3倍多6，所以丙數(shù)減去6就變?yōu)榧讛?shù)的3倍;

這時(shí)(170+4-6)就相當(dāng)于(1+2+3)倍。那么，

甲數(shù)=(170+4-6)(1+2+3)=28

乙數(shù)=282-4=52

丙數(shù)=283+6=90

答：甲數(shù)是28，乙數(shù)是52，丙數(shù)是90。

5

差倍問題

已知兩個(gè)數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍(或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾)，要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做差倍問題。

兩個(gè)數(shù)的差(幾倍-1)=較小的數(shù)

較小的數(shù)幾倍=較大的數(shù)

容易的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例1

果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵?

解

(1)杏樹有多少棵?124(3-1)=62(棵)

(2)桃樹有多少棵?623=186(棵)

答：果園里杏樹是62棵，桃樹是186棵。

例2

爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲?

解

(1)兒子年齡=27(4-1)=9(歲)

(2)爸爸年齡=94=36(歲)

答：父子二人今年的年齡分離是36歲和9歲。

例3

商場(chǎng)改革經(jīng)營(yíng)管理方法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個(gè)月盈利各是多少萬元?

解

假如把上月盈利作為1倍量，則(30-12)萬元就相當(dāng)于上月盈利的(2-1)倍，因此

上月盈利=(30-12)(2-1)=18(萬元)

本月盈利=18+30=48(萬元)

答：上月盈利是18萬元，本月盈利是48萬元。

例4

糧庫(kù)有94噸小麥和138噸玉米，假如天天運(yùn)出小麥和玉米各是9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍?

解

因?yàn)樘焯爝\(yùn)出的小麥和玉米的數(shù)量相等，所以剩下的數(shù)量差等于本來的數(shù)量差(138-94)。把幾天后剩下的小麥看作1倍量，則幾天后剩下的玉米就是3倍量，那么，(138-94)就相當(dāng)于(3-1)倍，因此

剩下的小麥數(shù)量=(138-94)(3-1)=22(噸)

運(yùn)出的小麥數(shù)量=94-22=72(噸)

運(yùn)糧的天數(shù)=729=8(天)

答：8天以后剩下的玉米是小麥的3倍。

6

倍比問題

有兩個(gè)已知的同類量，其中一個(gè)量是另一個(gè)量的若干倍，解題時(shí)先求出這個(gè)倍數(shù)，再用倍比的辦法算出要求的數(shù)，這類應(yīng)用題叫做倍比問題。

總量一個(gè)數(shù)量=倍數(shù)

另一個(gè)數(shù)量倍數(shù)=另一總量

先求出倍數(shù)，再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。

例1

100千克油菜籽可以榨油40千克，現(xiàn)在有油菜籽3700千克，可以榨油多少?

解

(1)3700千克是100千克的多少倍?3700100=37(倍)

(2)可以榨油多少千克?4037=1480(千克)

列成綜合算式40(3700100)=1480(千克)

答：可以榨油1480千克。

例2

今年植樹節(jié)這天，某學(xué)校300名師生共植樹400棵，照這樣計(jì)算，全縣48000名師生共植樹多少棵?

解

(1)48000名是300名的多少倍?48000300=160(倍)

(2)共植樹多少棵?400160=64000(棵)

列成綜合算式400(48000300)=64000(棵)

答：全縣48000名師生共植樹64000棵。

例3

鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計(jì)算，全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元?全縣16000畝果園共收入多少元?

解

(1)800畝是4畝的幾倍?8004=200(倍)

(2)800畝收入多少元?11111200=2222200(元)

(3)16000畝是800畝的幾倍?16000800=20(倍)

(4)16000畝收入多少元?222220220=44444000(元)

答：全鄉(xiāng)800畝果園共收入2222200元，全縣16000畝果園共收入44444000元。

7

相遇問題

兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體同時(shí)由兩地動(dòng)身相向而行，在途中相遇。這類應(yīng)用題叫做相遇問題。

相遇時(shí)光=總路程(甲速+乙速)

總路程=(甲速+乙速)相遇時(shí)光

容易的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。

例1

南京到上海的水路長(zhǎng)392千米，同時(shí)從兩港各開出一艘輪船相對(duì)而行，從南京開出的船每小時(shí)行28千米，從上海開出的船每小時(shí)行21千米，經(jīng)過幾小時(shí)兩船相遇?

解

392(28+21)=8(小時(shí))

答：經(jīng)過8小時(shí)兩船相遇。

例2

小李和小劉在周長(zhǎng)為400米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)動(dòng)身，反向而跑，那么，二人從動(dòng)身到其次次相遇需多長(zhǎng)時(shí)光?

解

其次次相遇可以理解為二人跑了兩圈。

因此總路程為4002

相遇時(shí)光=(4002)(5+3)=100(秒)

答：二人從動(dòng)身到其次次相遇需100秒時(shí)光。

例3

甲乙二人同時(shí)從兩地騎自行車相向而行，甲每小時(shí)行15千米，乙每小時(shí)行13千米，兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇，求兩地的距離。

解

兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇是正確理解本題題意的關(guān)鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點(diǎn)3千米，乙距中點(diǎn)3千米，就是說甲比乙多走的路程是(32)千米，因此，

相遇時(shí)光=(32)(15-13)=3(小時(shí))

兩地距離=(15+13)3=84(千米)

答：兩地距離是84千米。

8

追及問題

兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體在不同地點(diǎn)同時(shí)動(dòng)身(或者在同一地點(diǎn)而不是同時(shí)動(dòng)身，或者在不同地點(diǎn)又不是同時(shí)動(dòng)身)作同向運(yùn)動(dòng)，在后面的，行進(jìn)速度要快些，在前面的，行進(jìn)速度較慢些，在一定時(shí)光之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就叫做追及問題。

追準(zhǔn)時(shí)間=追及路程(迅速-慢速)

追及路程=(迅速-慢速)追準(zhǔn)時(shí)間

容易的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例1

好馬天天走120千米，劣馬天天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬?

解

(1)劣馬先走12天能走多少千米?7512=900(千米)

(2)好馬幾天追上劣馬?900(120-75)=20(天)

列成綜合算式7512(120-75)=90045=20(天)

答：好馬20天能追上劣馬。

例2

小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)動(dòng)身，同向而跑。小明第一次追上小亮?xí)r跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。

解

小明第一次追上小亮?xí)r比小亮多跑一圈，即200米，此時(shí)小亮跑了(500-200)米，要知小亮的速度，須知追準(zhǔn)時(shí)間，即小明跑500米所用的時(shí)光。又知小明跑200米用40秒，則跑500米用[40(500200)]秒，所以小亮的速度是

(500-200)[40(500200)]

=300100=3(米)

答：小亮的速度是每秒3米。

例3

我人民解放軍追擊一股逃跑的敵人，敵人在下午16點(diǎn)開頭從甲地以每小時(shí)10千米的速度逃竄，解放軍在晚上22點(diǎn)接到命令，以每小時(shí)30千米的速度開頭從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問解放軍幾個(gè)小時(shí)可以追上敵人?

解

敵人逃竄時(shí)光與解放軍追擊時(shí)光的時(shí)差是(22-16)小時(shí)，這段時(shí)光敵人逃竄的路程是[10(22-6)]千米，甲乙兩地相距60千米。由此推知

追準(zhǔn)時(shí)間=[10(22-6)+60](30-10)

=22022=11(小時(shí))

答：解放軍在11小時(shí)后可以追上敵人。

例4

一輛客車從甲站開往乙站，每小時(shí)行48千米;一輛貨車同時(shí)從乙站開往甲站，每小時(shí)行40千米，兩車在距兩站中點(diǎn)16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。

解

這道題可以由相遇問題轉(zhuǎn)化為追及問題來解決。從題中可知客車落后于貨車(162)千米，客車追上貨車的時(shí)光就是前面所說的相遇時(shí)光，

這個(gè)時(shí)光為162(48-40)=4(小時(shí))

所以兩站間的距離為(48+40)4=352(千米)

列成綜合算式(48+40)[162(48-40)]

=884

=352(千米)

答：甲乙兩站的距離是352千米。

9

植樹問題

按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數(shù)這三個(gè)量之間，已知其中的兩個(gè)量，要求第三個(gè)量，這類應(yīng)用題叫做植樹問題。

線形植樹棵數(shù)=距離棵距+1

環(huán)形植樹棵數(shù)=距離棵距

方形植樹棵數(shù)=距離棵距-4

三角形植樹棵數(shù)=距離棵距-3

面積植樹棵數(shù)=面積(棵距行距)

先弄清晰植樹問題的類型，然后可以利用公式。

例1

一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳?

解

1362+1=68+1=69(棵)

答：一共要栽69棵垂柳。

例2

一個(gè)圓形池塘周長(zhǎng)為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹?

解

4004=100(棵)

答：一共能栽100棵白楊樹。

例3

一個(gè)正方形的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)，每邊長(zhǎng)220米，每隔8米安裝一個(gè)照明燈，一共可以安裝多少個(gè)照明燈?

解

22048-4=110-4=106(個(gè))

答：一共可以安裝106個(gè)照明燈。

例4

給一個(gè)面積為96平方米的住所鋪設(shè)地板磚，所用地板磚的長(zhǎng)和寬分離是60厘米和40厘米，問至少需要多少塊地板磚?

解

96(0.60.4)=960.24=400(塊)

答：至少需要400塊地板磚。

例5

一座大橋長(zhǎng)500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔50米有一個(gè)電桿，每個(gè)電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈?

解

(1)橋的一邊有多少個(gè)電桿?50050+1=11(個(gè))

(2)橋的兩邊有多少個(gè)電桿?112=22(個(gè))

(3)大橋兩邊可安裝多少盞路燈?222=44(盞)

答：大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。

10

年齡問題

這類問題是按照題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點(diǎn)是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長(zhǎng)在發(fā)生變化。

年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問題的解題思路是全都的，要緊緊抓住年齡差不變這個(gè)特點(diǎn)。

可以利用差倍問題的解題思路和辦法。

例1

爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍?明年呢?

解

355=7(倍)

(35+1)(5+1)=6(倍)

答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍，

明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。

例2

母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍?

解

(1)母親比女兒的年齡大多少歲?37-7=30(歲)

(2)幾年后母親的年齡是女兒的4倍?30(4-1)-7=3(年)

列成綜合算式(37-7)(4-1)-7=3(年)

答：3年后母親的年齡是女兒的4倍。

例3

甲對(duì)乙說：當(dāng)我的歲數(shù)曾經(jīng)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你才4歲。乙對(duì)甲說：當(dāng)我的歲數(shù)未來是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你將61歲。求甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)各是多少?

解

這里涉及到三個(gè)年份：過去某一年、今年、未來某一年。列表分析：

過去某一年今年未來某一年

甲□歲△歲61歲

乙4歲□歲△歲

表中兩個(gè)□表示同一個(gè)數(shù)，兩個(gè)△表示同一個(gè)數(shù)。

由于兩個(gè)人的年齡差總相等：□-4=△-□=61-△，也就是4，□，△，61成等差數(shù)列，所以，61應(yīng)當(dāng)比4大3個(gè)年齡差，

因此二人年齡差為(61-4)3=19(歲)

甲今年的歲數(shù)為△=61-19=42(歲)

乙今年的歲數(shù)為□=42-19=23(歲)

答：甲今年的歲數(shù)是42歲，乙今年的歲數(shù)是23歲。

11

行船問題

行船問題也就是與航行有關(guān)的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度;水速是水流的速度，船只順?biāo)叫械乃俣仁谴倥c水速之和;船只逆水航行的速度是船速與水速之差。

(順?biāo)俣?逆水速度)2=船速

(順?biāo)俣?逆水速度)2=水速

順?biāo)?船速2-逆水速=逆水速+水速2

逆水速=船速2-順?biāo)?順?biāo)?水速2

大多數(shù)狀況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。

例1

一只船順?biāo)?20千米需用8小時(shí)，水流速度為每小時(shí)15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時(shí)?

解

由條件知，順?biāo)?船速+水速=3208，而水速為每小時(shí)15千米，所以，船速為每小時(shí)3208-15=25(千米)

船的逆水速為25-15=10(千米)

船逆水行這段路程的時(shí)光為32022=32(小時(shí))

答：這只船逆水行這段路程需用32小時(shí)。

例2

甲船逆水行360千米需18小時(shí)，返回原地需10小時(shí);乙船逆水行同樣一段距離需15小時(shí)，返回原地需多少時(shí)光?

解

由題意得甲船速+水速=36010=36

甲船速-水速=36018=20

可見(36-20)相當(dāng)于水速的2倍，

所以，水速為每小時(shí)(36-20)2=8(千米)

又由于，乙船速-水速=36015，

所以，乙船速為36015+8=32(千米)

乙船順?biāo)贋?2+8=40(千米)

所以，乙船順?biāo)叫?60千米需要

36040=9(小時(shí))

答：乙船返回原地需要9小時(shí)。

12

列車問題

這是與列車行駛有關(guān)的一些問題，解答時(shí)要注重列車車身的長(zhǎng)度。

火車過橋：過橋時(shí)光=(車長(zhǎng)+橋長(zhǎng))車速

火車追及：追準(zhǔn)時(shí)間=(甲車長(zhǎng)+乙車長(zhǎng)+距離)

(甲車速-乙車速)

火車相遇：相遇時(shí)光=(甲車長(zhǎng)+乙車長(zhǎng)+距離)

(甲車速+乙車速)

大多數(shù)狀況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。

例1

一座大橋長(zhǎng)2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長(zhǎng)多少米?

解

火車3分鐘所行的路程，就是橋長(zhǎng)與火車車身長(zhǎng)度的和。

(1)火車3分鐘行多少米?9003=2700(米)

(2)這列火車長(zhǎng)多少米?2700-2400=300(米)

列成綜合算式9003-2400=300(米)

答：這列火車長(zhǎng)300米。

例2

一列長(zhǎng)200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒鐘時(shí)光，求大橋的長(zhǎng)度是多少米?

解

火車過橋所用的時(shí)光是2分5秒=125秒，所走的路程是(8125)米，這段路程就是(200米+橋長(zhǎng))，所以，橋長(zhǎng)為

8125-200=800(米)

答：大橋的長(zhǎng)度是800米。

例3

一列長(zhǎng)225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長(zhǎng)140米的快車以每秒22米的速度在后面追逐，求快車從追上到追過慢車需要多長(zhǎng)時(shí)光?

解

從追上到追過，快車比慢車要多行(225+140)米，而快車比慢車每秒多行(22-17)米，因此，所求的時(shí)光為

(225+140)(22-17)=73(秒)

答：需要73秒。

例4

一列長(zhǎng)150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個(gè)扳道工人以每秒3米的速度迎面走來，那么，火車從工人身旁駛過需要多少時(shí)光?

解

假如把人看作一列長(zhǎng)度為零的火車，原題就相當(dāng)于火車相遇問題。

150(22+3)=6(秒)

答：火車從工人身旁駛過需要6秒鐘。

13

時(shí)鐘問題

就是討論鐘面上時(shí)針與分針關(guān)系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時(shí)鐘問題可與追及問題相類比。

分針的速度是時(shí)針的12倍，

二者的速度差為11/12。

通常按追及問題來對(duì)待，也可以按差倍問題來計(jì)算。

變通為追及問題后可以直接利用公式。

例1

從時(shí)針指向4點(diǎn)開頭，再經(jīng)過多少分鐘時(shí)針正巧與分針重合?

解

鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時(shí)走60格;時(shí)針每小時(shí)走5格，每分鐘走5/60=1/12格。每分鐘分針比時(shí)針多走(1-1/12)=11/12格。4點(diǎn)整，時(shí)針在前，分針在后，兩針相距20格。所以

分針追上時(shí)針的時(shí)光為20(1-1/12)22(分)

答：再經(jīng)過22分鐘時(shí)針正巧與分針重合。

例2

四點(diǎn)和五點(diǎn)之間，時(shí)針和分針在什么時(shí)候成直角?

解

鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時(shí)候相差15格(包括分針在時(shí)針的前或后15格兩種狀況)。四點(diǎn)整的時(shí)候，分針在時(shí)針后(54)格，假如分針在時(shí)針后與它成直角，那么分針就要比時(shí)針多走(54-15)格，假如分針在時(shí)針前與它成直角，那么分針就要比時(shí)針多走(54+15)格。再按照1分鐘分針比時(shí)針多走(1-1/12)格就可以求出二針成直角的時(shí)光。

(54-15)(1-1/12)6(分)

(54+15)(1-1/12)38(分)

答：4點(diǎn)06分及4點(diǎn)38分時(shí)兩針成直角。

例3

六點(diǎn)與七點(diǎn)之間什么時(shí)候時(shí)針與分針重合?

解

六點(diǎn)整的時(shí)候，分針在時(shí)針后(56)格，分針要與時(shí)針重合，就得追上時(shí)針。這實(shí)際上是一個(gè)追及問題。

(56)(1-1/12)33(分)

答：6點(diǎn)33分的時(shí)候分針與時(shí)針重合。

14

盈虧問題

按照一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余(盈)，一次不足(虧)，或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧問題。

普通地說，在兩次分配中，假如一次盈，一次虧，則有：

參與分配總?cè)藬?shù)=(盈+虧)分配差

假如兩次都盈或都虧，則有：

參與分配總?cè)藬?shù)=(大盈-小盈)分配差

參與分配總?cè)藬?shù)=(大虧-小虧)分配差

大多數(shù)狀況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。

例1

給幼兒園小伴侶分蘋果，若每人分3個(gè)就余11個(gè);若每人分4個(gè)就少1個(gè)。問有多少小伴侶?有多少個(gè)蘋果?

解

根據(jù)參與分配的總?cè)藬?shù)=(盈+虧)分配差的數(shù)量關(guān)系：

(1)有小伴侶多少人?(11+1)(4-3)=12(人)

(2)有多少個(gè)蘋果?312+11=47(個(gè))

答：有小伴侶12人，有47個(gè)蘋果。

例2

修一條馬路，假如天天修260米，修徹低長(zhǎng)就得延伸8天;假如天天修300米，修徹低長(zhǎng)仍得延伸4天。這條路全長(zhǎng)多少米?

解

題中原定完成任務(wù)的天數(shù)，就相當(dāng)于參與分配的總?cè)藬?shù)，根據(jù)參與分配的總?cè)藬?shù)=(大虧-小虧)分配差的數(shù)量關(guān)系，可以得知

原定完成任務(wù)的天數(shù)為

(2608-3004)(300-260)=22(天)

這條路全長(zhǎng)為300(22+4)=7800(米)

答：這條路全長(zhǎng)7800米。

例3

小學(xué)組織踏青，假如每輛車坐40人，就余下30人;假如每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車?多少人?

解

本題中的車輛數(shù)就相當(dāng)于參與分配的總?cè)藬?shù)，于是就有

(1)有多少車?(30-0)(45-40)=6(輛)

(2)有多少人?406+30=270(人)

答：有6輛車，有270人。

15

工程問題

工程問題主要討論工作量、工作效率和工作時(shí)光三者之間的關(guān)系。這類問題在已知條件中，經(jīng)常不給出工作量的詳細(xì)數(shù)量，只提出一項(xiàng)工程、一塊土地、一條水渠、一件工作等，在解題時(shí)，經(jīng)常用單位1表示工作總量。

解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作1，這樣，工作效率就是工作時(shí)光的倒數(shù)(它表示單位時(shí)光內(nèi)完成工作總量的幾分之幾)，進(jìn)而就可以按照工作量、工作效率、工作時(shí)光三者之間的關(guān)系列出算式。

工作量=工作效率工作時(shí)光

工作時(shí)光=工作量工作效率

工作時(shí)光=總工作量(甲工作效率+乙工作效率)

變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。

例1

一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需要10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需要15天完成，現(xiàn)在兩隊(duì)合作，需要幾天完成?

解

題中的一項(xiàng)工程是工作總量，因?yàn)闆]有給出這項(xiàng)工程的詳細(xì)數(shù)量，因此，把此項(xiàng)工程看作單位1。因?yàn)榧钻?duì)獨(dú)做需10天完成，那么天天完成這項(xiàng)工程的1/10;乙隊(duì)單獨(dú)做需15天完成，天天完成這項(xiàng)工程的1/15;兩隊(duì)合做，天天可以完成這項(xiàng)工程的(1/10+1/15)。

由此可以列出算式：1(1/10+1/15)=11/6=6(天)

答：兩隊(duì)合做需要6天完成。

例2

一批零件，甲獨(dú)做6小時(shí)完成，乙獨(dú)做8小時(shí)完成?，F(xiàn)在兩人合做，完成任務(wù)時(shí)甲比乙多做24個(gè)，求這批零件共有多少個(gè)?

解一

設(shè)總工作量為1，則甲每小時(shí)完成1/6，乙每小時(shí)完成1/8，甲比乙每小時(shí)多完成(1/6-1/8)，二人合做時(shí)每小時(shí)完成(1/6+1/8)。由于二人合做需要[1(1/6+1/8)]小時(shí)，這個(gè)時(shí)光內(nèi)，甲比乙多做24個(gè)零件，所以

(1)每小時(shí)甲比乙多做多少零件?

24[1(1/6+1/8)]=7(個(gè))

(2)這批零件共有多少個(gè)?

7(1/6-1/8)=168(個(gè))

答：這批零件共有168個(gè)。

解二

上面這道題還可以用另一種辦法計(jì)算：

兩人合做，完成任務(wù)時(shí)甲乙的工作量之比為1/6∶1/8=4∶3

由此可知，甲比乙多完成總工作量的4-3/4+3=1/7

所以，這批零件共有241/7=168(個(gè))

例3

一件工作，甲獨(dú)做12小時(shí)完成，乙獨(dú)做10小時(shí)完成，丙獨(dú)做15小時(shí)完成?，F(xiàn)在甲先做2小時(shí)，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時(shí)才干完成?

解

必需先求出各人每小時(shí)的工作效率。假如能把效率用整數(shù)表示，就會(huì)給計(jì)算帶來便利，因此，我們?cè)O(shè)總工作量為12、10、和15的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù)60，則甲乙丙三人的工作效率分離是

6012=56010=66015=4

因此余下的工作量由乙丙合做還需要

(60-52)(6+4)=5(小時(shí))

答：還需要5小時(shí)才干完成。

例4

一個(gè)水池，底部裝有一個(gè)常開的排水管，上部裝有若干個(gè)同樣粗細(xì)的進(jìn)水管。當(dāng)打開4個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要5小時(shí)才干注滿水池;當(dāng)打開2個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要15小時(shí)才干注滿水池;現(xiàn)在要用2小時(shí)將水池注滿，至少要打開多少個(gè)進(jìn)水管?

解：

注(排)水問題是一類特別的工程問題。往水池注水或從水池排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程，水的流量就是工作量，單位時(shí)光內(nèi)水的流量就是工作效率。

要2小時(shí)內(nèi)將水池注滿，即要使2小時(shí)內(nèi)的進(jìn)水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進(jìn)水管、排水管的工作效率及總工作量(一池水)。只要設(shè)某一個(gè)量為單位1，其余兩個(gè)量便可由條件推出。

我們?cè)O(shè)每個(gè)同樣的進(jìn)水管每小時(shí)注水量為1，則4個(gè)進(jìn)水管5小時(shí)注水量為(145)，2個(gè)進(jìn)水管15小時(shí)注水量為(1215)，從而可知

每小時(shí)的排水量為(1215-145)(15-5)=1

即一個(gè)排水管與每個(gè)進(jìn)水管的工作效率相同。由此可知

一池水的總工作量為145-15=15

又由于在2小時(shí)內(nèi)，每個(gè)進(jìn)水管的注水量為12，

所以，2小時(shí)內(nèi)注滿一池水

至少需要多少個(gè)進(jìn)水管?(15+12)(12)

=8.59(個(gè))

答：至少需要9個(gè)進(jìn)水管。

16

正反比例問題

兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，假如這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比的比值一定(即商一定)，那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意義和解比例等學(xué)問的綜合運(yùn)用。

兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，假如這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等學(xué)問的綜合運(yùn)用。

推斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決，而且比較簡(jiǎn)捷。

解決這類問題的重要辦法是：把分率(倍數(shù))轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。

正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。

例1

修一條馬路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條馬路總長(zhǎng)是多少米?

解

由條件知，馬路總長(zhǎng)不變。

原已修長(zhǎng)度∶總長(zhǎng)度=1∶(1+3)=1∶4=3∶12

現(xiàn)已修長(zhǎng)度∶總長(zhǎng)度=1∶(1+2)=1∶3=4∶12

比較以上兩式可知，把總長(zhǎng)度當(dāng)作12份，則300米相當(dāng)于(4-3)份，從而知馬路總長(zhǎng)為300(4-3)12=3600(米)

答：這條馬路總長(zhǎng)3600米。

例2

張晗做4道應(yīng)用題用了28分鐘，照這樣計(jì)算，91分鐘可以做幾道應(yīng)用題?

解

做題效率一定，做題數(shù)量與做題時(shí)光成正比例關(guān)系

設(shè)91分鐘可以做X應(yīng)用題則有28∶4=91∶X

28X=914X=91428X=13

答：91分鐘可以做13道應(yīng)用題。

例3

孫亮看《十萬個(gè)為什么》這本書，天天看24頁(yè)，15天看完，假如天天看36頁(yè)，幾天就可以看完?

解

書的頁(yè)數(shù)一定，天天看的頁(yè)數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關(guān)系

設(shè)X天可以看完，就有24∶36=X∶15

36X=2415X=10

答：10天就可以看完。

17

按比例分配問題

所謂按比例分配，就是把一個(gè)數(shù)根據(jù)一定的比分成若干份。這類題的已知條件普通有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)。

從條件看，已知總量和幾個(gè)部重量的比;從問題看，求幾個(gè)部重量各是多少?？偡輸?shù)=比的前后項(xiàng)之和

先把各部重量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項(xiàng)相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾(以總份數(shù)作分母，比的前后項(xiàng)分離作分子)，再根據(jù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的計(jì)算辦法，分離求出各部重量的值。

例1

小學(xué)把植樹560棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五班級(jí)三個(gè)班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個(gè)班各植樹多少棵?

解

總份數(shù)為47+48+45=140

一班植樹56047/140=188(棵)

二班植樹56048/140=192(棵)

三班植樹56045/140=180(棵)

答：一、二、三班分離植樹188棵、192棵、180棵。

例2

用60厘米長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)三角形，三角形三條邊的比是3∶4∶5。三條邊的長(zhǎng)各是多少厘米?

解

3+4+5=12603/12=15(厘米)

604/12=20(厘米)

605/12=25(厘米)

答：三角形三條邊的長(zhǎng)分離是15厘米、20厘米、25厘米。

例3

先前有個(gè)牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個(gè)兒子，大兒子分總數(shù)的1/2，二兒子分總數(shù)的1/3，三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個(gè)兒子各分多少只羊。

解

假如用總數(shù)乘以分率的辦法解答，明顯得不到符合題意的整數(shù)解。假如用按比例分配的辦法解，則很簡(jiǎn)單得到

1/2∶1/3∶1/9=9∶6∶2

9+6+2=17179/17=9

176/17=6172/17=2

答：大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。

例4

某工廠第一、二、三車間人數(shù)之比為8∶12∶21，第一車間比其次車間少80人，三個(gè)車間共多少人?

解

80(12-8)(8+12+21)=820(人)

答：三個(gè)車間一共820人。

18

百分?jǐn)?shù)問題

百分?jǐn)?shù)是表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分?jǐn)?shù)是一種特別的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)經(jīng)?？梢酝ǚ帧⒓s分，而百分?jǐn)?shù)則無需;分?jǐn)?shù)既可以表示率，也可以表示量，而百分?jǐn)?shù)只能表示率;分?jǐn)?shù)的分子、分母必需是自然數(shù)，而百分?jǐn)?shù)的分子可以是小數(shù);百分?jǐn)?shù)有一個(gè)特地的記號(hào)%。

在實(shí)際中和常用到百分點(diǎn)這個(gè)概念，一個(gè)百分點(diǎn)就是1%，兩個(gè)百分點(diǎn)就是2%。

把握百分?jǐn)?shù)、標(biāo)準(zhǔn)量比較量三者之間的數(shù)量關(guān)系：

百分?jǐn)?shù)=比較量標(biāo)準(zhǔn)量

標(biāo)準(zhǔn)量=比較量百分?jǐn)?shù)

普通有三種基本類型：

(1)求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾;

(2)已知一個(gè)數(shù)，求它的百分之幾是多少;

(3)已知一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)。

例1

倉(cāng)庫(kù)里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原分量的百分之幾?

解

(1)用去的占720(720+6480)=10%

(2)剩下的占6480(720+6480)=90%

答：用去了10%，剩下90%。

例2

紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數(shù)比女職工少百分之幾?

解

本題中女職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，男職工比女職工少的人數(shù)是比較量所以(525-420)525=0.2=20%

或者1-420525=0.2=20%

答：男職工人數(shù)比女職工少20%。

例3

紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數(shù)多百分之幾?

解

本題中以男職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，女職工比男職工多的人數(shù)為比較量，因此

(525-420)420=0.25=25%

或者525420-1=0.25=25%

答：女職工人數(shù)比男職工多25%。

例4

紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工總數(shù)的百分之幾?

解

(1)男職工占420(420+525)=0.444=44.4%

(2)女職工占525(420+525)=0.556=55.6%

答：男職工占全廠職工總數(shù)的44.4%，女職工占55.6%。

19

牛吃草問題

牛吃草問題是大科學(xué)家牛頓提出的問題，也叫牛頓問題。這類問題的特點(diǎn)在于要考慮草邊吃邊長(zhǎng)這個(gè)因素。

草總量=原有草量+草天天生長(zhǎng)量天數(shù)

解這類題的關(guān)鍵是求出草天天的生長(zhǎng)量。

例1

一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完?

解

草是勻稱生長(zhǎng)的，所以，草總量=原有草量+草天天生長(zhǎng)量天數(shù)。求多少頭牛5天可以把草吃完，就是說5天內(nèi)的草總量要5天吃完的話，得有多少頭牛?設(shè)每頭牛天天吃草量為1，按以下步驟解答：

(1)求草天天的生長(zhǎng)量

由于，一方面20天內(nèi)的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即(11020);另一方面，20天內(nèi)的草總量又等于原有草量加上20天內(nèi)的生長(zhǎng)量，所以

11020=原有草量+20天內(nèi)生長(zhǎng)量

同理11510=原有草量+10天內(nèi)生長(zhǎng)量

由此可知(20-10)天內(nèi)草的生長(zhǎng)量為

11020-11510=50

因此，草天天的生長(zhǎng)量為50(20-10)=5

(2)求原有草量

原有草量=10天內(nèi)總草量-10內(nèi)生長(zhǎng)量=11510-510=100

(3)求5天內(nèi)草總量

5天內(nèi)草總量=原有草量+5天內(nèi)生長(zhǎng)量=100+55=125

(4)求多少頭牛5天吃完草

由于每頭牛天天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。

因此5天吃完草需要牛的頭數(shù)1255=25(頭)

答：需要5頭牛5天可以把草吃完。

例2

一只船有一個(gè)漏洞，水以勻稱速度進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)覺漏洞時(shí)已經(jīng)進(jìn)了一些水。假如有12個(gè)人淘水，3小時(shí)可以淘完;假如惟獨(dú)5人淘

水，要10小時(shí)才干淘完。求17人幾小時(shí)可以淘完?

解

這是一道變相的牛吃草問題。與上題不同的是，最后一問給出了人數(shù)(相當(dāng)于牛數(shù))，求時(shí)光。設(shè)每人每小時(shí)淘水量為1，按以下步驟計(jì)算：

(1)求每小時(shí)進(jìn)水量

由于，3小時(shí)內(nèi)的總水量=1123=原有水量+3小時(shí)進(jìn)水量

10小時(shí)內(nèi)的總水量=1510=原有水量+10小時(shí)進(jìn)水量

所以，(10-3)小時(shí)內(nèi)的進(jìn)水量為1510-1123=14

因此，每小時(shí)的進(jìn)水量為14(10-3)=2

(2)求淘水前原有水量

原有水量=1123-3小時(shí)進(jìn)水量=36-23=30

(3)求17人幾小時(shí)淘完

17人每小時(shí)淘水量為17，由于每小時(shí)漏進(jìn)水為2，所以實(shí)際上船中每小時(shí)削減的水量為(17-2)，所以17人淘完水的時(shí)光是

30(17-2)=2(小時(shí))

答：17人2小時(shí)可以淘完水。

20

雞兔同籠問題

這是古典的算術(shù)問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做其次雞兔同籠問題。

第一雞兔同籠問題：

假設(shè)一致是雞，則有

兔數(shù)=(實(shí)際腳數(shù)-2雞兔總數(shù))(4-2)

假設(shè)一致是兔，則有

雞數(shù)=(4雞兔總數(shù)-實(shí)際腳數(shù))(4-2)

其次雞兔同籠問題：

假設(shè)一致是雞，則有

兔數(shù)=(2雞兔總數(shù)-雞與兔腳之差)(4+2)

假設(shè)一致是兔，則有

雞數(shù)=(4雞兔總數(shù)+雞與兔腳之差)(4+2)

解答此類題目普通都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假設(shè)都是兔。假如先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞;假如先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設(shè)，再置換，使問題得到解決。

例1

長(zhǎng)毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五，腳數(shù)共有九十四。請(qǐng)你認(rèn)真算一算，多少兔子多少雞?

解

假設(shè)35只全為兔，則

雞數(shù)=(435-94)(4-2)=23(只)

兔數(shù)=35-23=12(只)

也可以先假設(shè)35只全為雞，則

兔數(shù)=(94-235)(4-2)=12(只)

雞數(shù)=35-12=23(只)

答：有雞23只，有兔12只。

例2

2畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝?

解

此題實(shí)際上是改頭換面的雞兔同籠問題。每畝菠菜施肥(12)千克與每只雞有兩個(gè)腳相對(duì)應(yīng)，每畝白菜施肥(35)千克與每只兔有4只腳相對(duì)應(yīng)，16畝與雞兔總數(shù)相對(duì)應(yīng)，9千克與雞兔總腳數(shù)相對(duì)應(yīng)。假設(shè)16畝一致是菠菜，則有

白菜畝數(shù)=(9-1216)(35-12)=10(畝)

答：白菜地有10畝。

例3

李教師用69元給小學(xué)買作業(yè)本和日記本共45本，作業(yè)本每本3.20元，日記本每本0.70元。問作業(yè)本和日記本各買了多少本?

解

此題可以變通為雞兔同籠問題。假設(shè)45本一致是日記本，則有

作業(yè)本數(shù)=(69-0.7045)(3.20-0.70)=15(本)

日記本數(shù)=45-15=30(本)

答：作業(yè)本有15本，日記本有30本。

例4

(其次雞兔同籠問題)雞兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只?

解

假設(shè)100只一致是雞，則有

兔數(shù)=(2100-80)(4+2)=20(只)

雞數(shù)=100-20=80(只)

答：有雞80只，有兔20只。

例5

有100個(gè)饃100個(gè)和尚吃，大和尚一人吃3個(gè)饃，小和尚3人吃1個(gè)饃，問大小和尚各多少人?

解

假設(shè)全為大和尚，則共吃饃(3100)個(gè)，比實(shí)際多吃(3100-100)個(gè)，這是由于把小和尚也算成了大和尚，因此我們?cè)诒ＷC和尚總數(shù)100不變的狀況下，以小換大，一個(gè)小和尚換掉一個(gè)大和尚可削減饃(3-1/3)個(gè)。因此，共有小和尚

(3100-100)(3-1/3)=75(人)

共有大和尚100-75=25(人)

答：共有大和尚25人，有小和尚75人。

21

方陣問題

將若干人或物依一定條件排成正方形(簡(jiǎn)稱方陣)，按照已知條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù)，這類問題就叫做方陣問題。

(1)方陣每邊人數(shù)與四面人數(shù)的關(guān)系：

四面人數(shù)=(每邊人數(shù)-1)4

每邊人數(shù)=四面人數(shù)4+1

(2)方陣總?cè)藬?shù)的求法：

實(shí)心方陣：總?cè)藬?shù)=每邊人數(shù)每邊人數(shù)

空心方陣：總?cè)藬?shù)=(外邊人數(shù))?-(內(nèi)邊人數(shù))?

內(nèi)邊人數(shù)=外邊人數(shù)-層數(shù)2

(3)若將空心方陣分成四個(gè)相等的矩形計(jì)算，則：

總?cè)藬?shù)=(每邊人數(shù)-層數(shù))層數(shù)4

方陣問題有實(shí)心與空心兩種。實(shí)心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘;空心方陣的變化較多，其解答辦法應(yīng)按照詳細(xì)狀況確定。

例1

在育才學(xué)校的運(yùn)動(dòng)會(huì)上，舉行體操表演的學(xué)生排成方陣，每行22人，參與體操表演的學(xué)生一共有多少人?

解

2222=484(人)

答：參與體操表演的學(xué)生一共有484人。

例2

有一個(gè)3層中空方陣，最外邊一層有10人，求全方陣的人數(shù)。

解

10-(10-32)?

=84(人)

答：全方陣84人。

例3

有一隊(duì)同學(xué)，排成一個(gè)中空方陣，最外層人數(shù)是52人，最內(nèi)層人數(shù)是28人，這隊(duì)同學(xué)共多少人?

解

(1)中空方陣外層每邊人數(shù)=524+1=14(人)

(2)中空方陣內(nèi)層每邊人數(shù)=284-1=6(人)

(3)中空方陣的總?cè)藬?shù)=1414-66=160(人)

答：這隊(duì)同學(xué)共160人。

例4

一堆棋子，羅列成正方形，多余4棋子，若正方形縱橫兩個(gè)方向各增強(qiáng)一層，則缺少9只棋子，問有棋子多少個(gè)?

解

(1)縱橫方向各增強(qiáng)一層所需棋子數(shù)=4+9=13(只)

(2)縱橫增強(qiáng)一層后正方形每邊棋子數(shù)=(13+1)2=7(只)

(3)原有棋子數(shù)=77-9=40(只)

答：棋子有40只。

例5

有一個(gè)三角形樹林，頂點(diǎn)上有1棵樹，以下每排的樹都比前一排多1棵，最下面一排有5棵樹。這個(gè)樹林一共有多少棵樹?

解

第一種辦法：1+2+3+4+5=15(棵)

其次種辦法：(5+1)52=15(棵)

答：這個(gè)三角形樹林一共有15棵樹。

信息技術(shù)基礎(chǔ)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)

本頁(yè)是我最新發(fā)布的《信息技術(shù)基礎(chǔ)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)》的具體范文參考文章，好的范文應(yīng)當(dāng)跟大家共享，重新收拾了一下發(fā)到這里。

篇一：《基礎(chǔ)》學(xué)問點(diǎn)匯總第一章信息與信息技術(shù)學(xué)問點(diǎn)

二、信息的基本特征

1．傳遞性；2．分享性；3．依附性和可處理性；4．價(jià)值相對(duì)性；5．時(shí)效性；6．真?zhèn)涡?。[自學(xué)探索]1．什么是信息技術(shù)

?信息技術(shù)是指有關(guān)信息的收集、識(shí)別、提取、變換、存儲(chǔ)、處理、檢索、檢測(cè)、分析和利用等的

技術(shù)。

?信息技術(shù)是指利用電子和現(xiàn)代通訊手段獵取、傳遞、存儲(chǔ)、處理、顯示信息和分配信息的

技術(shù)。

?我國(guó)有些專家學(xué)者認(rèn)為，信息技術(shù)是指討論信息如何產(chǎn)生、獵取、傳輸、變換、識(shí)別和應(yīng)用的科

學(xué)技術(shù)。

2

3

4．信息技術(shù)的進(jìn)展趨勢(shì)

1．多元化；2．網(wǎng)絡(luò)化；3．多媒體化；4．智能化；5．虛擬化5．信息技術(shù)的影響

(1)信息技術(shù)產(chǎn)生的樂觀影響。

①對(duì)社會(huì)進(jìn)展的影響；②對(duì)科技長(zhǎng)進(jìn)的影響；③對(duì)人們生活與學(xué)習(xí)的影響。(2)信息技術(shù)可能帶來的一些消極影響。

①信息泛濫；②信息污染；③信息犯罪；④對(duì)身心健康帶來的不良影響6．迎接信息社會(huì)的挑戰(zhàn)

(1)培養(yǎng)良好的信息意識(shí)；(2)樂觀主動(dòng)地學(xué)習(xí)和使用現(xiàn)代信息技術(shù)，提高信息處理能力；(3)養(yǎng)成健康使用信息技術(shù)的習(xí)慣；(4)遵守信息規(guī)矩。

學(xué)問補(bǔ)充：

計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的組成：（由硬件和軟件組成）硬件組成：

運(yùn)算器

CpU(中央處理器)

控制器

存儲(chǔ)器ROM、RAM、軟盤、硬盤、光盤

輸入設(shè)備鍵盤、鼠標(biāo)、掃描儀、手寫筆、觸摸屏

輸出設(shè)備顯示器、打印機(jī)、繪圖儀、音箱軟件系統(tǒng)：

其次章信息獵取學(xué)問點(diǎn)

1.獵取信息的基本過程（p18）

2.信息來源示例（p20）：親手探索事物本身、與他人溝通、檢索媒體3.采集信息的辦法（p20）：親手探索事物本身、與他人溝通、檢索媒體4.采集信息的工具（p20）：掃描儀、照相機(jī)、攝像機(jī)、錄音設(shè)備、計(jì)算機(jī)6.常用下載工具（p29）：網(wǎng)際快車（flashget）、p、.TIF、.GIF和.JpG。.GIF和.JpG格式的文件因?yàn)槭褂昧藞D像數(shù)據(jù)

壓縮技術(shù)，容量較少，所以是網(wǎng)頁(yè)上常用的兩種圖像格式。（5）采集數(shù)字化圖像的工具：掃描儀、數(shù)碼照相機(jī)2、音頻信息的加工

（1）音頻信息加工常使用的軟件是CoolEditpro（2）常見音頻信息文件格式：.L、pDF、TXT、JpG、Sl

協(xié)議服務(wù)器名稱路徑文件名

ovD．我和你.wav

以上就是這篇范文的具體內(nèi)容，主要描述信息、技術(shù)、文件、加工、計(jì)算機(jī)、搜尋引擎、使用、處理，覺得好就請(qǐng)（CTRL+D）保藏下。

初三數(shù)學(xué)學(xué)問點(diǎn)歸納總結(jié)

一、相像三角形(7個(gè)考點(diǎn))

考點(diǎn)1：相像三角形的概念、相像比的意義、畫圖形的放大和縮小

考核要求：(1)理解相像形的概念;(2)把握相像圖形的特點(diǎn)以及相像比的意義，能將已知圖形根據(jù)要求放大和縮小.

考點(diǎn)2：平行線分線段成比例定理、三角形一邊的平行線的有關(guān)定理

考核要求：理解并利用平行線分線段成比例定理解決一些幾何證實(shí)和幾何計(jì)算.

注重：被判定平行的一邊不行以作為條件中的對(duì)應(yīng)線段成比例使用.

考點(diǎn)3：相像三角形的概念

考核要求：以相像三角形的概念為基礎(chǔ)，抓住相像三角形的特征，理解相像三角形的定義.

考點(diǎn)4：相像三角形的判定和性質(zhì)及其應(yīng)用

考核要求：嫻熟把握相像三角形的判定定理(包括準(zhǔn)備定理、三個(gè)判定定理、直角三角形相像的判定定理)和性質(zhì)，并能較好地應(yīng)用.

考點(diǎn)5：三角形的重心

考核要求：知道重心的定義并初步應(yīng)用.

考點(diǎn)6：向量的有關(guān)概念

考點(diǎn)7：向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量相乘、向量的線性運(yùn)算

考核要求：把握實(shí)數(shù)與向量相乘、向量的線性運(yùn)算

二、銳角三角比(2個(gè)考點(diǎn))

考點(diǎn)8：銳角三角比(銳角的正弦、余弦、正切、余切)的概念，30度、45度、60度角的三角比值.

考點(diǎn)9：解直角三角形及其應(yīng)用

考核要求：(1)理解