北京市西城區(qū)西城外國語學校2024屆高二數學第二學期期末統考試題含解析

北京市西城區(qū)西城外國語學校2024屆高二數學第二學期期末統考試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若向量，，則向量與（）A．相交 B．垂直 C．平行 D．以上都不對2．已知函數與的圖象上存在關于對稱的點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知某批零件的長度誤差(單位:毫米)服從正態(tài)分布，從中隨機取一件.其長度誤差落在區(qū)間內的概率為（）(附:若隨機變量服從正態(tài)分布N，則，)A． B． C． D．4．設滿足約束條件，則的最大值是（）A．-3 B．2 C．4 D．65．在棱長為1的正方體中，E，F分別為線段CD和上的動點，且滿足，則四邊形所圍成的圖形（如圖所示陰影部分）分別在該正方體有公共頂點的三個面上的正投影的面積之和（）A．有最小值 B．有最大值 C．為定值3 D．為定值26．利用獨立性檢驗的方法調查高中生的寫作水平與離好閱讀是否有關，隨機詢問120名高中生是否喜好閱讀，利用2×2列聯表，由計算可得K2＝4.236P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參照附表，可得正確的結論是（）A．有95%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀有關”B．有97.5%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀有關”C．有95%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀無關”D．有97.5%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀無關”7．如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點P，則點P恰好取自陰影部分的概率為A． B． C． D．8．已知e1，e2是單位向量，且e1?e2=0，向量a與eA．定值－1 B．定值1C．最大值1，最小值－1 D．最大值0，最小值－19．已知隨機變量,且,則與的值分別為A．16與0.8 B．20與0.4C．12與0.6 D．15與0.810．設是定義域為的偶函數，且在單調遞減，則（）A．B．C．D．11．已知是拋物線上一點，則到拋物線焦點的距離是（）A．2 B．3 C．4 D．612．已知復數是純虛數是虛數單位)，則實數等于（）A．-2 B．2 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線上一點到點的距離為9，則點到點的距離______.14．已知，則________．15．展開式中的常數項是____________(用數字作答)16．中，，則邊上中線的長為_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（1）求方程的非負整數解的個數；（2）某火車站共設有4個“安檢”入口，每個入口每次只能進1個旅客求—個小組4人進站的不同方案種數，要求寫出計算過程.18．（12分）選修4-4：坐標系與參數方程．已知直線（為參數），曲線（為參數）．(1)設與相交于兩點，求；(2)曲線為（為參數），點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最小值．19．（12分）已知向量，函數．（1）求函數的最小正周期及單調遞增區(qū)間；（2）在中，三內角的對邊分別為，已知函數的圖像經過點，成等差數列，且，求a的值．20．（12分）已知，不等式的解集是．（）求的值．（）若存在實數解，求實數的取值范圍．21．（12分）用數學歸納法證明：22．（10分）已知函數．（1）討論的單調性；（2）若恒成立，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據向量平行的坐標關系得解.【題目詳解】，所以向量與平行.【題目點撥】本題考查向量平行的坐標表示，屬于基礎題.2、D【解題分析】

由題意可知有解，即在有解，求導數，確定函數的單調性，可知m的范圍.【題目詳解】∵函數與的圖象上存在關于對稱的點，∴有解，∴，∴在有解，，∴函數在上單調遞增，在上單調遞增，∴，故選D.【題目點撥】本題考查利用導數求最值，考查對稱性的運用，關鍵是轉化為在有解，屬于中檔題．3、B【解題分析】

利用原則，分別求出的值，再利用對稱性求出.【題目詳解】正態(tài)分布中，，所以，，所以，故選B.【題目點撥】本題考查正態(tài)分布知識，考查利用正態(tài)分布曲線的對稱性求隨機變量在給定區(qū)間的概率.4、D【解題分析】

先由約束條件畫出可行域，再利用線性規(guī)劃求解.【題目詳解】如圖即為，滿足約束條件的可行域，由，解得，由得，由圖易得：當經過可行域的時，直線的縱截距最大，z取得最大值，所以的最大值為6，故選．【題目點撥】本題主要考查線性規(guī)劃求最值，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.5、D【解題分析】

分別在后，上，左三個平面得到該四邊形的投影，求其面積和即可．【題目詳解】依題意，設四邊形D1FBE的四個頂點在后面，上面，左面的投影點分別為D'，F'，B'，E'，則四邊形D1FBE在上面，后面，左面的投影分別如上圖．所以在后面的投影的面積為S后=1×1=1，在上面的投影面積S上=D'E'×1=DE×1=DE，在左面的投影面積S左=B'E'×1=CE×1=CE，所以四邊形D1FBE所圍成的圖形（如圖所示陰影部分）分別在該正方體有公共頂點的三個面上的正投影的面積之和S=S后+S上+S左=1+DE+CE=1+CD=1．故選D．【題目點撥】本題考查了正方體中四邊形的投影問題，考查空間想象能力．屬于中檔題．6、A【解題分析】

根據題意知觀測值，對照臨界值得出結論.【題目詳解】利用獨立性檢驗的方法求得，對照臨界值得出：有95%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀有關”．故選A項．【題目點撥】本題考查了獨立性檢驗的應用問題，是基礎題．7、C【解題分析】試題分析：由三角形面積為，，所以陰影部分面積為，所求概率為考點：定積分及幾何概型概率8、A【解題分析】

由題意可設e1=(1,0),e【題目詳解】由題意設e1=(1,0),e2=(0,1)所以a-所以(x-1)2又a-2所以數量積a?故選：A．【題目點撥】本題考查平面向量基本定理以及模長問題，用解析法，設出向量的坐標，用坐標運算會更加方便。9、D【解題分析】因為隨機變量，且，且，解得，故選D.10、C【解題分析】

由已知函數為偶函數，把，轉化為同一個單調區(qū)間上，再比較大小．【題目詳解】是R的偶函數，．，又在(0，+∞)單調遞減，∴，，故選C．【題目點撥】本題主要考查函數的奇偶性、單調性，解題關鍵在于利用中間量大小比較同一區(qū)間的取值．11、B【解題分析】分析：直接利用拋物線的定義可得：點到拋物線焦點的距離．詳解：由拋物線方程可得拋物線中，則利用拋物線的定義可得點到拋物線焦點的距離．故選B.點睛：本題考查了拋物線的定義標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．12、C【解題分析】

化簡復數，根據復數為純虛數得到答案.【題目詳解】知復數是純虛數且故答案選C【題目點撥】本題考查了復數計算，屬于簡單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解題分析】

先根據雙曲線方程求出焦點坐標，再結合雙曲線的定義可得到，進而可求出的值，得到答案.【題目詳解】雙曲線，，，，和為雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上，，解或，，或，故答案為：或.【題目點撥】本題主要考查的是雙曲線的定義，屬于基礎題.求雙曲線上一點到某一焦點的距離時，若已知該點的橫、縱坐標，則根據兩點間距離公式可求結果；若已知該點到另一焦點的距離，則根據求解，注意對所求結果進行必要的驗證，負數應該舍去，且所求距離應該不小于.14、【解題分析】分析：由題意，利用目標角和已知角之間的關系，現利用誘導公式，在結合二倍角公式，即可求解．詳解：由題意，又由，所以．點睛：本題主要考查了三角函數的化簡求值問題，其中解答中正確構造已知角與求解角之間的關系，合理選擇三角恒等變換的公式是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力．15、【解題分析】

將二項式變形為，得出其展開式通項為，再利用，求出，不存在，再將代入可得出所求常數項?！绢}目詳解】，所以，展開式的通項為，令，可得，不存在，因此，展開式中的常數項是，故答案為：?！绢}目點撥】本題考查二項式定理，考查指定項系數的求解，解這類問題一般是利用二項式定理將展開式表示為通項，利用指數求出參數，考查計算能力，屬于中等題。16、【解題分析】

通過余弦定理可以求出的長，而，用余弦定理求出的表達式，代入上式可以直接求出的長．【題目詳解】由余弦定理可知：,設，由余弦定理可知：而，即解得，故邊上中線的長為．【題目點撥】本題考查了利用余弦定理求三角形中線長的問題．本題也可以應用中點三角形來求解，過程如下：延長至，使得,易證出,,由余弦定理可得：.．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）56；（2）840種，計算過程見解析【解題分析】

（1）利用隔板法求結果；（2）將問題分4種情況分別得出其方案數，可求得結果，注意需考慮從同一個安檢口的旅客的通過順序.【題目詳解】（1）若定義，其中，則是從方程的非負整數解集到方程的正整數解集的映射，利用隔板法得，方程正整數解得個數是從而方程的非負整數解得個數也是56；（2）這4名旅客通過安檢口有4種情況：從1個安檢口通過，從2個安檢口通過，從3個安檢口通過，從4個安檢口通過。從1個安檢口通過共有：種方案；從2個安檢口通過，可能有1個安檢口通過1人，另一個安檢口通過3人有：種方案；從2個安檢口通過，可能每一個安檢口都通過2人有：種方案；從3個安檢口通過，可能有2個安檢口各通過1人，有1個安檢口通過2人有：種方案；從4個安檢口通過共有：種方案，所以這4個旅客進站的不同方案有：種.【題目點撥】本題考查利用隔板法解決不定方程非負整數解問題，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.18、（1）1；（2）．【解題分析】分析：(1)由題意，，求得直線的普通方程，聯立方程組，求得兩點的坐標，即可求得的長；(2)根據曲線的方程，設點的坐標是，利用點到直線的距離公式，求得點到直線的距離，再利用三角函數的性質，即可求解結果．詳解：(1)直線的普通方程為，的普通方程為．聯立方程組，解得與的交點為，則．………5分(2)曲線為（為參數），故點的坐標是，從而點到直線的距離是，由此當時，取得最小值，且最小值為．…10分點睛：本題主要考查了參數方程與普通方程的互化，以及曲線的參數方程的應用，把直線和曲線的參數方程轉化為普通方程，利用點到直線的距離公式求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力．19、（1），（2）【解題分析】

（1）利用向量的數量積和二倍角公式化簡得，故可求其周期與單調性；（2）根據圖像過得到，故可求得的大小，再根據數量積得到的乘積，最后結合余弦定理和構建關于的方程即可．【題目詳解】（1），最小正周期：，由得，所以的單調遞增區(qū)間為；（2）由可得：，所以．又因為成等差數列，所以而，．20、(1),(2).【解題分析】試題分析：（1）通過討論a的范圍，求出不等式的解集，根據對應關系求出a的值即可；（2）根據不等式的性質求出最小值，得到關于k的不等式，解出即可．解析：（1）由，得，即，當時，，所以，解得；當時，，所以無解.所以.(2)因為，所以要使存在實數解，只需，所以實數的取值范圍是.點睛：本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想以及轉化思想，以及函數恒成立求參的方法．21、證明見解析【解題分析】

利用數學歸納法的證明標準，驗證時成立，假設時成立，證明時等式也成立即可.【題目詳解】證明：（1）當時，左邊，右邊，等式成立.

（2）假設當時，等式成立，即，

那么，當時，左邊＝，

這就是說，當時等式也成立.

根據（1）和（2），可知等式對任何都成立.【題目點撥】本題是