2024屆福建省福州市八縣協(xié)作校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2024屆福建省福州市八縣協(xié)作校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)fx=xlnx-x+2a，若函數(shù)y=fx與函數(shù)A．-∞,1 B．12,1 C．1,2．定積分等于()A． B． C． D．3．已知定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞增且，若為奇函數(shù)，則不等式的解集為（）A． B． C． D．4．己知某產(chǎn)品的銷(xiāo)售額y與廣告費(fèi)用x之間的關(guān)系如下表：若求得其線性回歸方程為，其中，則預(yù)計(jì)當(dāng)廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)的銷(xiāo)售額是（）A．42萬(wàn)元 B．45萬(wàn)元 C．48萬(wàn)元 D．51萬(wàn)元5．如圖，四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形，已知小正方形的外接圓恰好是大正方形的內(nèi)切圓，現(xiàn)在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．6．的值等于（）A．7351 B．7355 C．7513 D．73157．半徑為2的球的表面積為（）A． B． C． D．8．已知的邊，的長(zhǎng)分別為20,18，，則的角平分線的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．9．為了檢查某超市貨架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要從編號(hào)依次為1到50的袋裝奶粉中抽取5袋進(jìn)行檢驗(yàn)，用每部分選取的號(hào)碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法確定所選取的5袋奶粉的編號(hào)可能是（）A．5，10，15，20，25B．2，4，8，16，32C．1，2，3，4，5D．7，17，27，37，4710．甲乙丙丁四人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，其中只有一位獲獎(jiǎng).有人走訪了四人，甲說(shuō):“乙、丁都未獲獎(jiǎng).”乙說(shuō)：“是甲或丙獲獎(jiǎng).”丙說(shuō)：“是甲獲獎(jiǎng).”丁說(shuō)：“是乙獲獎(jiǎng).”四人所說(shuō)話(huà)中只有兩位是真話(huà)，則獲獎(jiǎng)的人是()A．甲 B．乙 C．丙 D．丁11．在極坐標(biāo)系中，方程表示的曲線是（）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線12．若關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在數(shù)列1，2，3，4，5，6中，任取k個(gè)元素位置保持不動(dòng)，將其余個(gè)元素變動(dòng)位置，得到不同的新數(shù)列，記不同新數(shù)列的個(gè)數(shù)為，則的值為_(kāi)_______.14．已知變數(shù)滿(mǎn)足約束條件目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最大值，則的取值范圍為_(kāi)____________．15．將半徑為1和2的兩個(gè)鉛球，熔成一個(gè)大鉛球，那么這個(gè)大鉛球的表面積是__________.16．某校高二學(xué)生一次數(shù)學(xué)診斷考試成績(jī)（單位：分）服從正態(tài)分布，從中抽取一個(gè)同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)，記該同學(xué)的成績(jī)?yōu)槭录?，記該同學(xué)的成績(jī)?yōu)槭录?，則在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率______．（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）附參考數(shù)據(jù)：；；．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）2018年雙11當(dāng)天，某購(gòu)物平臺(tái)的銷(xiāo)售業(yè)績(jī)高達(dá)2135億人民幣．與此同時(shí)，相關(guān)管理部門(mén)推出了針對(duì)電商的商品和服務(wù)的評(píng)價(jià)體系，現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，對(duì)商品的好評(píng)率為0.9，對(duì)服務(wù)的好評(píng)率為0.75，其中對(duì)商品和服務(wù)都做出好評(píng)的交易為140次．（1）請(qǐng)完成下表，并判斷是否可以在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.5％的前提下，認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)？對(duì)服務(wù)好評(píng)對(duì)服務(wù)不滿(mǎn)意合計(jì)對(duì)商品好評(píng)140對(duì)商品不滿(mǎn)意10合計(jì)200（2）若將頻率視為概率，某人在該購(gòu)物平臺(tái)上進(jìn)行的3次購(gòu)物中，設(shè)對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)為X．①求隨機(jī)變量X的分布列；②求X的數(shù)學(xué)期望和方差．附：K2P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）已知曲線在處的切線方程為.（Ⅰ）求值.（Ⅱ）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為，上焦點(diǎn)到直線的距離為3，橢圓的離心率.（1）求橢圓的方程；（2）橢圓，設(shè)過(guò)點(diǎn)斜率存在且不為0的直線交橢圓于兩點(diǎn)，試問(wèn)軸上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.20．（12分）已知函數(shù)（且）的圖象過(guò)點(diǎn).（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）若，對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).（1）求a的值：（2）求函數(shù)的值域；（3）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.22．（10分）保險(xiǎn)公司統(tǒng)計(jì)的資料表明:居民住宅距最近消防站的距離(單位:千米)和火災(zāi)所造成的損失數(shù)額(單位:千元)有如下的統(tǒng)計(jì)資料:距消防站的距離(千米)火災(zāi)損失數(shù)額(千元)（1）請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)(精確到)說(shuō)明與之間具有線性相關(guān)關(guān)系;（2）求關(guān)于的線性回歸方程(精確到);（3）若發(fā)生火災(zāi)的某居民區(qū)距最近的消防站千米,請(qǐng)?jiān)u估一下火災(zāi)損失(精確到).參考數(shù)據(jù):參考公式:回歸直線方程為,其中

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由題意首先確定函數(shù)fx的單調(diào)性和值域，然后結(jié)合題意確定實(shí)數(shù)a的取值范圍即可【題目詳解】由函數(shù)的解析式可得：f'x在區(qū)間0,1上，f'x在區(qū)間1,+∞上，f'x易知當(dāng)x→+∞時(shí)，fx→+∞，且故函數(shù)fx的值域?yàn)?a-1,+∞函數(shù)y=fx與函數(shù)y=f則函數(shù)fx在區(qū)間2a-1,+∞上的值域?yàn)?a-1,+∞結(jié)合函數(shù)的定義域和函數(shù)的單調(diào)性可得：0<2a-1≤1，解得：12故實(shí)數(shù)a的取值范圍是12本題選擇B選項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的值域，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.2、B【解題分析】

由定積分表示半個(gè)圓的面積，再由圓的面積公式可求結(jié)果?！绢}目詳解】由題意可知定積分表示半徑為的半個(gè)圓的面積，所以，選B.【題目點(diǎn)撥】1．由函數(shù)圖象或曲線圍成的曲邊圖形面積的計(jì)算及應(yīng)用，一般轉(zhuǎn)化為定積分的計(jì)算及應(yīng)用，但一定要找準(zhǔn)積分上限、下限及被積函數(shù)，且當(dāng)圖形的邊界不同時(shí)，要討論解決．(1)畫(huà)出圖形，確定圖形范圍；(2)解方程組求出圖形交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分上、下限；(3)確定被積函數(shù)，注意分清函數(shù)圖形的上、下位置；(4)計(jì)算定積分，求出平面圖形的面積．2．由函數(shù)求其定積分，能用公式的利用公式計(jì)算，有些特殊函數(shù)可根據(jù)其幾何意義，求出其圍成的幾何圖形的面積，即其定積分．有些由函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的定積分。3、D【解題分析】

因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，根據(jù)條件結(jié)合數(shù)形結(jié)合可判斷的解集.【題目詳解】是奇函數(shù)，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，在單調(diào)遞增，在也是單調(diào)遞增，，時(shí)，時(shí)，又關(guān)于對(duì)稱(chēng)，時(shí)，時(shí)的解集是.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用函數(shù)的性質(zhì)和圖像，解抽象不等式，這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，將函數(shù)的性質(zhì)和圖像結(jié)合一起，這樣會(huì)比較簡(jiǎn)單.4、C【解題分析】

由已知求得樣本點(diǎn)的中心的坐標(biāo)，代入線性回歸方程求得，則線性回歸方程可求，取求得y值即可．【題目詳解】，，樣本點(diǎn)的中心的坐標(biāo)為，代入，得．關(guān)于x得線性回歸方程為．取，可得萬(wàn)元．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查線性回歸方程的求法，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．5、B【解題分析】分析：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為1，其內(nèi)切圓的直徑為1，則小正方形的邊長(zhǎng)為，從而陰影部分的面積為，由此利用幾何概型能求出在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率.詳解：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為1，其內(nèi)切圓的直徑為1，則小正方形的邊長(zhǎng)為，所以大正方形的面積為1，圓的面積為，小正方形的面積為，則陰影部分的面積為，所以在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率.點(diǎn)睛：本題主要考查了面積比的幾何概型及其概率的計(jì)算問(wèn)題，其中根據(jù)題意，準(zhǔn)確求解陰影部分的面積是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，以及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】原式等于，故選D.7、D【解題分析】

根據(jù)球的表面積公式，可直接得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)榍虻陌霃綖?，所以該球的表面積為.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查球的表面積，熟記公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.8、C【解題分析】

利用角平分線定理以及平面向量的線性運(yùn)算法則可得，兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)即可得結(jié)果.【題目詳解】如圖，因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，所以，所以，即.兩邊平方得，所以，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算法則，以及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，屬于中檔題.向量數(shù)量積的運(yùn)算主要掌握兩點(diǎn)：一是數(shù)量積的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.9、D【解題分析】此題考查系統(tǒng)抽樣系統(tǒng)抽樣的間隔為：k=50答案D點(diǎn)評(píng)：掌握系統(tǒng)抽樣的過(guò)程10、C【解題分析】

本題利用假設(shè)法進(jìn)行解答.先假設(shè)甲獲獎(jiǎng)，可以發(fā)現(xiàn)甲、乙、丙所說(shuō)的話(huà)是真話(huà)，不合題意；然后依次假設(shè)乙、丙、丁獲獎(jiǎng)，結(jié)合已知，選出正確答案.【題目詳解】解:若是甲獲獎(jiǎng)，則甲、乙、丙所說(shuō)的話(huà)是真話(huà)，不合題意；若是乙獲獎(jiǎng)，則丁所說(shuō)的話(huà)是真話(huà)，不合題意；若是丙獲獎(jiǎng)，則甲乙所說(shuō)的話(huà)是真話(huà)，符合題意；若是丁獲獎(jiǎng)，則四人所說(shuō)的話(huà)都是假話(huà)，不合題意.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了的數(shù)學(xué)推理論證能力，假設(shè)法是經(jīng)常用到的方法.11、B【解題分析】方程，可化簡(jiǎn)為：，即.整理得，表示圓心為(0,，半徑為的圓.故選B.12、D【解題分析】

根據(jù)一元二次不等式與二次函數(shù)之間的關(guān)系，可得出一元二次不等式的解集為的等價(jià)條件.【題目詳解】由于關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則二次函數(shù)的圖象恒在軸的下方，所以其開(kāi)口向下，且圖象與軸無(wú)公共點(diǎn)，所以，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查一元不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立，要充分利用二次函數(shù)的開(kāi)口方向和與軸的位置關(guān)系進(jìn)行分析，考查推理能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、720【解題分析】

根據(jù)題意，只需分別計(jì)算出即可.【題目詳解】故答案為：720【題目點(diǎn)撥】本題考查排列與組合的應(yīng)用以及組合數(shù)的計(jì)算，考查學(xué)生的邏輯思想，是一道中檔題.14、【解題分析】

試題分析：由題意知滿(mǎn)足條件的線性區(qū)域如圖所示：，點(diǎn)，而目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最大值，所以考點(diǎn)：線性規(guī)劃、最值問(wèn)題.15、【解題分析】

設(shè)大鉛球的半徑為，則，求出，由此能求出這個(gè)大鉛球的表面積．【題目詳解】解：設(shè)大鉛球的半徑為，

則，

解得，

∴這個(gè)大鉛球的表面積

故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查球的表面積的求法，考查球的體積、表面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

計(jì)算出和，然后利用條件概率公式可得出的值.【題目詳解】由題意可知，，事件為，，，所以，，，由條件概率公式得，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查條件概率的計(jì)算，同時(shí)也考查了正態(tài)分布原則計(jì)算概率，解題時(shí)要將相應(yīng)的事件轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布事件，充分利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱(chēng)性計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）詳見(jiàn)解析（2）①詳見(jiàn)解析②E(X)=2110【解題分析】

(1)補(bǔ)充列聯(lián)表，根據(jù)公式計(jì)算卡方值，進(jìn)行判斷；（2）（?。┟看钨?gòu)物時(shí)，對(duì)商品和服務(wù)都好評(píng)的概率為710，且X的取值可以是0，1，2，3，x符合二項(xiàng)分布，按照二項(xiàng)分布的公式進(jìn)行計(jì)算即可得到相應(yīng)的概率值；（ⅱ）按照二項(xiàng)分布的期望和方差公式計(jì)算即可【題目詳解】（1）由題意可得關(guān)于商品和服務(wù)評(píng)價(jià)的2×2列聯(lián)表：對(duì)服務(wù)好評(píng)對(duì)服務(wù)不滿(mǎn)意合計(jì)對(duì)商品好評(píng)14040180對(duì)商品不滿(mǎn)意101020合計(jì)15050200則K2由于7.407＜7.879，則不可以在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.5％的前提下，認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)．（2）（?。┟看钨?gòu)物時(shí)，對(duì)商品和服務(wù)都好評(píng)的概率為710且X的取值可以是0，1，2，3，則P(X=0)=(310P(X=2)=C32故X的分布列為X0123P27189441343（ⅱ）由于X～B（3，710），則E(X)=3×710【題目點(diǎn)撥】求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見(jiàn)的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨(dú)立事件的概率積公式，以及對(duì)立事件的概率公式等)，求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步是“寫(xiě)分布列”，即按規(guī)范形式寫(xiě)出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確.18、(Ⅰ)；(Ⅱ)【解題分析】

（Ⅰ）利切點(diǎn)為曲線和直線的公共點(diǎn)，得出，并結(jié)合列方程組求出實(shí)數(shù)、的值；（Ⅱ）解法1：由，得出，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求出實(shí)數(shù)的取值范圍，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，借助數(shù)形結(jié)合思想得出實(shí)數(shù)的取值范圍；解法2：利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的極小值為，并利用極限思想得出當(dāng)時(shí)，，結(jié)合題意得出，從而得出實(shí)數(shù)的取值范圍．【題目詳解】（Ⅰ），，；（Ⅱ）解法1：，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，相當(dāng)于曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn).，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，時(shí)，取得極小值，又時(shí)，；時(shí)，，；解法2：，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，時(shí)，取得極小值，又時(shí)，，.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，對(duì)于直線與函數(shù)曲線相切的問(wèn)題，一般要抓住以下兩點(diǎn)：（1）切點(diǎn)為切線和函數(shù)曲線的公共點(diǎn)，于此可列等式；（2）導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率．19、(1)(2)存在點(diǎn)使得.【解題分析】分析：（1）根據(jù)已知列方程組，解方程組即得橢圓的方程.(2)先假設(shè)存在，再化簡(jiǎn)已知得到，所以存在.詳解：（1）由已知橢圓方程為，設(shè)橢圓的焦點(diǎn)，由到直線的距離為3，得，又橢圓的離心率，所以，又，求得，.橢圓方程為.（2）存在.理由如下：由（1）得橢圓，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得..設(shè)，，則，.假設(shè)存在點(diǎn)滿(mǎn)足條件，由于，所以平分.易知直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，∴.即，即.（*）將，代入（*）并整理得，∴，整理得，即，∴當(dāng)時(shí)，無(wú)論取何值均成立.∴存在點(diǎn)使得.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查橢圓的方程，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力及分析推理計(jì)算能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是對(duì)的轉(zhuǎn)化，由它畫(huà)圖可得平分，所以直線與直線的傾