河北省保定市長城高級中學2024屆數(shù)學高二下期末質(zhì)量檢測試題含解析

河北省保定市長城高級中學2024屆數(shù)學高二下期末質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)是雙曲線上一點，雙曲線的一條漸近線方程為、分別是雙曲線的左、右焦點，若，則（）A．1或9 B．6 C．9 D．以上都不對2．設(shè)，則的展開式中的常數(shù)項為（）A． B． C． D．3．在的展開式中，系數(shù)的絕對值最大的項為（）A． B． C． D．4．與曲線相切于處的切線方程是（其中是自然對數(shù)的底）（）A． B． C． D．5．若的展開式中第3項的二項式系數(shù)是15，則展開式中所有項系數(shù)之和為A． B． C． D．6．一名法官在審理一起珍寶盜竊案時，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下，甲說：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙說：“我沒有作案，是丙偷的”；丙說：“甲、乙兩人中有一人是小偷”；丁說：“乙說的是事實”．經(jīng)過調(diào)查核實，四人中有兩人說的是真話，另外兩人說的是假話，且這四人中只有一人是罪犯，由此可判斷罪犯是()A．乙B．甲C．丁D．丙7．已知函數(shù)在處取得極值，則的圖象在處的切線方程為（）A． B． C． D．8．拋物線上的點到直線的最短距離為()A． B． C． D．9．（）A． B． C．2 D．110．下列四個命題中，真命題的個數(shù)是（）①命題：“已知，“”是“”的充分不必要條件”；②命題：“p且q為真”是“p或q為真”的必要不充分條件；③命題：已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2，），則f（4）的值等于；④命題：若，則．A．1 B．2 C．3 D．411．已知函數(shù)，若，，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．函數(shù)的圖象在點處的切線方程為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為__________．14．設(shè)函數(shù)，若對任意的，存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是______________.15．已知復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)_________.16．已知、滿足組合數(shù)方程，則的最大值是_____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，三棱錐中，平面，，，為上一點，，，分別為，的中點.（1）證明：；（2）求平面與平面所成角的余弦值.18．（12分）已知函數(shù)f（x）=x2（x-1）．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）求f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值和最小值．19．（12分）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且．（1）求角；（2）若，的面積為，求的值．20．（12分）若存在常數(shù)（），使得對定義域內(nèi)的任意，（），都有成立，則稱函數(shù)在其定義域上是“利普希茲條件函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)是否是“利普希茲條件函數(shù)”，若是，請證明，若不是，請說明理由；（2）若函數(shù)（）是“利普希茲條件函數(shù)”，求常數(shù)的最小值；（3）若（）是周期為2的“利普希茲條件函數(shù)”，證明：對任意的實數(shù)，，都有.21．（12分）已知函數(shù).(1)當時，解不等式；(2)若不等式有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）已知，且，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為求出，由雙曲線的定義求出，判斷點在左支上，即求.【題目詳解】雙曲線的漸近線方程為，又雙曲線的一條漸近線方程為，.由雙曲線的定義可得，又，或.點在左支上，.故選：.【題目點撥】本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】

利用定積分的知識求解出，從而可列出展開式的通項，由求得，代入通項公式求得常數(shù)項.【題目詳解】展開式通項公式為：令，解得：，即常數(shù)項為：本題正確選項：【題目點撥】本題考查二項式定理中的指定項系數(shù)的求解問題，涉及到簡單的定積分的求解，關(guān)鍵是能夠熟練掌握二項展開式的通項公式的形式.3、D【解題分析】

根據(jù)最大的系數(shù)絕對值大于等于其前一個系數(shù)絕對值；同時大于等于其后一個系數(shù)絕對值；列出不等式求出系數(shù)絕對值最大的項；【題目詳解】二項式展開式為：設(shè)系數(shù)絕對值最大的項是第項，可得可得，解得在的展開式中，系數(shù)的絕對值最大的項為：故選：D.【題目點撥】本題考查二項展開式中絕對值系數(shù)最大項的求解，涉及展開式通項的應(yīng)用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題．4、B【解題分析】

求出導函數(shù)，把代入導函數(shù)，可求出切線的斜率，根據(jù)的坐標和直線的點斜式方程可得切線方程．【題目詳解】由可得，切線斜率，故切線方程是，即．故選B．【題目點撥】本題主要考查利用導數(shù)求曲線切線方程，屬于簡單題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數(shù)，即在點出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在處導數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.5、B【解題分析】由題意知：，所以，故，令得所有項系數(shù)之和為.6、A【解題分析】

由題意，這個問題的關(guān)鍵是四人中有兩人說真話，另外兩人說了假話，通過這一突破口，進行分析，推理即可得到結(jié)論.【題目詳解】在甲、乙、丙、丁四人的供詞中，可以得出乙、丁兩人的觀點是一致的，因此乙丁兩人的供詞應(yīng)該是同真同假（即都是真話或都是假話，不會出現(xiàn)一真一假的情況）；假設(shè)乙、丁兩人所得都是真話，那么甲、丙兩人說的是假話，由乙說真話可推出丙是犯罪的結(jié)論；由甲說假話，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的結(jié)論；顯然這兩人是相互矛盾的；所以乙、丁兩人說的是假話，而甲、丙兩人說的是真話，由甲、丙的供詞可以斷定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的，由丁說假話，丙說真話推出乙是犯罪的，綜上可得乙是犯罪的，故選A.【題目點撥】本題主要考查了推理問題的實際應(yīng)用，其中解答中結(jié)合題意，進行分析，找出解決問題的突破口，然后進行推理是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力.7、A【解題分析】

利用列方程，求得的值，由此求得，進而求得的圖象在處的切線方程.【題目詳解】，函數(shù)在處取得極值，，解得，，于是，可得的圖象在處的切線方程為，即．故選：A【題目點撥】本小題主要考查根據(jù)極值點求參數(shù)，考查利用導數(shù)求切線方程，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】分析：設(shè)拋物線上點，由點到直線距離公式，得點A到直線的距離，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可求最小距離.詳解：設(shè)拋物線上的任意一點，由拋物線的性質(zhì)點A到直線的距離易得由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當時，最小距離.故選B.點睛：本題考查拋物線的基本性質(zhì)，點到直線距離公式，考查學生轉(zhuǎn)化能力和計算能力.9、A【解題分析】

根據(jù)定積分表示直線與曲線圍成的圖像面積，即可求出結(jié)果.【題目詳解】因為定積分表示直線與曲線圍成的圖像面積，又表示圓的一半，其中；因此定積分表示圓的，其中，故.故選A【題目點撥】本題主要考查定積分的幾何意義，熟記定積分幾何意義即可，屬于基礎(chǔ)題型.10、C【解題分析】

命題①單位圓x2+y2＝1上或圓外任取一點P（a，b），滿足“a2+b2≥1”，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，一定有“|a|+|b|≥1”，在單位圓內(nèi)任取一點M（a，b），滿足“|a|+|b|≥1”，但不滿足“a2+b2≥1”，從而判斷命題的真假性；命題②先由“p且q為真”推出p、q的真假，然后判斷“p或q”的真假，反之再加以判斷；命題③直接把點的坐標代入冪函數(shù)求出α，然后把x＝4代入求值即可；命題④構(gòu)造函數(shù)f（x）＝x﹣1+lnx，其中x＞0，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷命題的真假性；【題目詳解】命題①如圖在單位圓x2+y2＝1上或圓外任取一點P（a，b），滿足“a2+b2≥1”，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，一定有“|a|+|b|≥1”，在單位圓內(nèi)任取一點M（a，b），滿足“|a|+|b|≥1”，但不滿足，“a2+b2≥1”，故a2+b2≥1是“|a|+|b|≥1”的充分不必要條件，故命題①正確；命題②“p且q為真”，則命題p、q均為真，所以“p或q為真”．反之“p或q為真”，則p、q都為真或p、q一真一假，所以不一定有“p且q為真”.所以命題“p且q為真”是“p或q為真”的充分不必要條件，故命題②不正確；命題③由冪函數(shù)f（x）＝xα的圖象經(jīng)過點（2，），所以2α＝，所以α＝﹣，所以冪函數(shù)為f（x）＝，所以f（4）＝，所以命題③正確；命題④若x+lnx＞1，則x﹣1+lnx＞0，設(shè)f（x）＝x﹣1+lnx，其中x＞0，∴＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且f（1）＝0，∴f（x）＞0時x＞1，即x+lnx＞1時x＞1，所以命題④正確.故選：C【題目點撥】本題考查命題的真假判斷，充分不必要條件，冪函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查學生的計算能力，知識綜合性強，屬于中檔題．11、D【解題分析】

根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為，記，從而在上單調(diào)遞增，從而在上恒成立，利用分離參數(shù)法可得，結(jié)合題意可得即可.【題目詳解】設(shè)，因為，所以.記，則在上單調(diào)遞增，故在上恒成立，即在上恒成立，整理得在上恒成立.因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故有.因為，所以，即.故選：D【題目點撥】本題考查了導數(shù)在不等式恒成立中的應(yīng)用、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題.12、C【解題分析】f′(x)＝，則f′(1)＝1，故函數(shù)f(x)在點(1，－2)處的切線方程為y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.故選C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】該同學通過測試的概率為，故答案為.14、【解題分析】

由任意的，存在，使得，可得在的值域為在的值域的子集，構(gòu)造關(guān)于實數(shù)的不等式，可得結(jié)論?！绢}目詳解】由題可得：，令，解得：，令，解得：，令，解得：所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，故在的值域為；，所以在為偶函數(shù)；當時，，由于，則，，由，即當時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，，故在的值域為；由任意的，存在，使得，可得在的值域為在的值域的子集，則，解得：；所以實數(shù)的取值范圍是【題目點撥】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件分析出在的值域為在的值域的子集，屬于中檔題。15、【解題分析】

將化簡為的形式，根據(jù)復數(shù)是純虛數(shù)求得的值.【題目詳解】因為為純虛數(shù)，所以.【題目點撥】本小題主要考查復數(shù)乘法運算，考查純虛數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

由組合數(shù)的性質(zhì)得出或，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式求出的最大值，并比較大小可得出結(jié)論.【題目詳解】、滿足組合數(shù)方程，或，當時，則；當時，.因此，當時，取得最大值.故答案為：.【題目點撥】本題考查組合數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用，同時也考查了兩數(shù)乘積最大值的計算，考查了二次函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析；（2）見解析.【解題分析】分析：由PA=AC=AB，N為AB上一點，AB=4AN，我們不妨令PA=1，然后以A為原點，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標系．由此不難得到各點的坐標（1）要證明CM⊥SN，我們可要證明即可，根據(jù)向量數(shù)量積的運算，我們不難證明；（2）要求平面與平面CMN所成角的大小，我們只要利用求向量夾角的方法，求出平面與平面CMN的法向量的夾角，再由它們之間的關(guān)系，易求出平面與平面CMN所成角的大?。斀猓涸O(shè)PA＝1，以A為原點，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標系(如圖)．則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，又AN＝AB，M、S分別為PB、BC的中點，∴N(，0,0)，M(1,0，)，S(1，，0)，(1)＝(1，－1，)，＝(－，－，0)，∴·＝(1，－1，)·(－，－，0)＝0，[來源:Z.X.X.K]因此CM⊥SN.＝(－，1,0)，設(shè)a＝(x，y，z)為平面CMN的一個法向量，∴·a＝0，·a＝0.則∴取y＝1，則得＝(2,1，－2)．平面NBC的法向量，因為平面NBC與平面CMN所成角是銳二面角所以平面NBC與平面CMN所成角的余弦值為.點睛：空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應(yīng)點的坐標，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.18、(1)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．(2)最大值，最小值．【解題分析】分析：（1）求導數(shù)后，由可得增區(qū)間，由可得減區(qū)間．（2）根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)的極值和區(qū)間的端點值，比較后可得最大值和最小值．詳解：（1）∵，∴．由，解得或；由，解得，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．（2）由（1）知是的極大值點，是的極小值點，所以極大值，極小值，又，，所以最大值，最小值．點睛：（1）求單調(diào)區(qū)間時，由可得增區(qū)間，由可得減區(qū)間，解題時注意導函數(shù)的符號與單調(diào)性的關(guān)系．（2）求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時，可先求出函數(shù)的極值和區(qū)間的端點值，通過比較后可得最大值和最小值．19、（1）；（2）【解題分析】

（1）可通過化簡計算出的值，然后解出的值。（2）可通過計算和的值來計算的值?！绢}目詳解】（1）由得，又，所以，得，所以。（2）由的面積為及得，即，又，從而由余弦定理得，所以，所以?！绢}目點撥】本題考察的是對解三角函數(shù)的綜合運用，需要對相關(guān)的公式有著足夠的了解。20、（1）不是；詳見解析（2）；（3）證明見解析.【解題分析】

（1）利用特殊值,即可驗證是不是“利普希茲條件函數(shù)”.（2）分離參數(shù),將不等式變?yōu)殛P(guān)于,