小學(xué)奧數(shù)教程-容斥原理之重疊問題教師手冊

7-7-1.容斥原理之重疊問題（-）

弱單目褐

1.了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容；

2.掌握容斥原理的在組合計數(shù)等各個方面的應(yīng)用.

一、兩量重疊問題

在一些計數(shù)問題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個數(shù)的計算.求兩個集合并集的元素的個數(shù)，不能簡單地把

兩個集合的元素個數(shù)相加，而要從兩個集合個數(shù)之和中減去重復(fù)計算的元素個數(shù)，即減去交集的元素個數(shù)，

用式子可表示成：AUB=A+3-An3（其中符號“U”讀作“并”，相當(dāng)于中文“和“或者"或"的意思；符號“n”讀

作“交”，相當(dāng)于中文’且”的意思.）則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理.圖示如下:A表示小圓部

分，8表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分，記為：,即陰影面積.圖示如下：4表示小圓部

分，B表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分，記為：AQB,即陰影面積.

包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合48的并集AUB的元素的個數(shù)，可分以下兩步進(jìn)行：

第一步：分別計算集合A、8的元素個數(shù)，然后加起來，即先求A+B（意思是把48的一切元素都“包含”進(jìn)

來，加在一起）；

第二步：從上面的和中減去交集的元素個數(shù)，即減去C=AQB（意思是“排除”了重復(fù)計算的元素個數(shù)）.

二、三量重疊問題

4類、8類與C類元素個數(shù)的總和=4類元素的個數(shù)+3類元素個數(shù)+C類元素個數(shù)-既是A類又是B類

的元素個數(shù)-既是B類又是C類的元素個數(shù)-既是A類又是C類的元素個數(shù)+同時是A類、B類、C類的元

素個數(shù).用符號表示為：AlJSUC=A+B+C-AOB-BnC-AClC+AriBnC.圖示如下：

圖中小圓表示A的元素的個數(shù)，中圓表示3的元素的個數(shù)，大圓

表示C的元素的個數(shù).

CfV

1.先包含：A+B+C

dflBRc

重疊部分ADB、BDC、Cf）A重疊了2次，多加了1次.

2.再排除：A+B+C-A^B-B^C-AC\C

重疊部分ACBflC重疊了3次，但是在進(jìn)行A+8+C-

（4n8-8仆?！狝「C計算時都被減掉了.J

在解答有關(guān)包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖（韋恩圖）來幫助分析思考.

例題精講

兩量重疊問題

【例1】小明喜歡：踢足球、上網(wǎng)、游泳、音樂、語文、數(shù)學(xué)；小英喜歡：數(shù)學(xué)、英語、音樂、陶藝、跳繩。

用圓4、圓8分別表示小明、小英的愛好，如圖所示，則圖中陰影部分表示o

【考點】兩量重疊問題【難度】1星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級，二試，第3題

【解析】陰影部分是兩人都愛好的：數(shù)學(xué)、音樂

【答案】數(shù)學(xué)、音樂

【例2】四（1）班全體同學(xué)站成一排，當(dāng)從左向右報數(shù)時，小華報：18;當(dāng)從右向左報數(shù)時，小華報：13.

那么該班有學(xué)生______名。

【考點】兩量重疊問題【難度】1星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級，二試，第2題

【解析】該班學(xué)生人數(shù)為：18+13-1=30（名卜

【答案】3（）名

【例3】實驗小學(xué)四年級二班，參加語文興趣小組的有28人，參加數(shù)學(xué)興趣小組的有29人，有12人兩個小

組都參加.這個班有多少人參加了語文或數(shù)學(xué)興趣小組？

AB

【考點】兩量重疊問題【難度】1星【題型】解答

【解析】如圖所示，A圓表示參加語文興趣小組的人，8圓表示參加數(shù)學(xué)興趣小組的人，A與8重合的部分

C（陰影部分）表示同時參加兩個小組的人.圖中A圓不含陰影的部分表示只參加語文興趣小組未參

加數(shù)學(xué)興趣小組的人，有28-12=16（人）；圖中3圓不含陰影的部分表示只參加數(shù)學(xué)興趣小組未參加

語文興趣小組的人，有29-12=17（人）.

方法一：由此得到參加語文或數(shù)學(xué)興趣小組的有：16+12+17=45（人）.

方法二：根據(jù)包含排除法，直接可得：

參加語文或數(shù)學(xué)興趣小組的人=參加語文興趣小組的人+參加數(shù)學(xué)興趣小組的人-兩個小

組都參加的人，即：28+29—12=45（人）.

【答案】45人

【鞏固】芳草地小學(xué)四年級有58人學(xué)鋼琴，43人學(xué)畫畫，37人既學(xué)鋼琴又學(xué)畫畫，問只學(xué)鋼琴和只學(xué)畫畫

的分別有多少人？

【考點】兩量重疊問題【難度】1星【題型】解答

【解析】解包含與排除題，畫圖是一種很直觀、簡捷的方法，可以幫助解決問題，畫圖時注意把不同的對象

與不同的區(qū)域?qū)?yīng)清楚.建議教師幫助學(xué)生畫圖分析，清楚的分析每一部分的含義.

如圖，A圓表示學(xué)畫畫的人，8圓表示學(xué)鋼琴的人，C表示既學(xué)鋼琴又學(xué)畫畫的人，圖中A圓不含陰

影的部分表示只學(xué)畫畫的人，有：43-37=6（人），圖中8圓不含陰影的部分表示只學(xué)鋼琴的人，有：

58-37=21（人）.

【答案】21人

【鞏固】四（二）班有48名學(xué)生，在一節(jié)自習(xí)課上，寫完語文作業(yè)的有30人，寫完數(shù)學(xué)作業(yè)的有20人，語文數(shù)

學(xué)都沒寫完的有6人.

⑴問語文數(shù)學(xué)都寫完的有多少人？

⑵只寫完語文作業(yè)的有多少人？

【考點】兩量重疊問題【難度】1星【題型】解答

【解析】⑴由題意，有48-6=42（人）至少完成了一科作業(yè)，根據(jù)包含排除原理，兩科作業(yè)都完成的學(xué)生有：

30+20-42=8（人）.

（2）只寫完語文作業(yè)的人數(shù)=寫完語文作業(yè)的人數(shù)-語文數(shù)學(xué)都寫完的人數(shù)，即30-8=22（人）.

【答案】22人

【鞏固】四（1）班有46人，其中會彈鋼琴的有30人，會拉小提琴的有28人，則這個班既會彈鋼琴又會拉

小提琴的至少有人。

【考點】兩量重疊問題【難度】1星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級，二試，第6題

【解析】至少一項不會的最多有(46-30)+(46-28)=34,那么兩項都會的至少有46-34=12人

【答案】12人

【例4】如圖，圓力表示1到50這50個自然數(shù)中能被3整除的數(shù)，圓8表示這50個數(shù)中能被5整除的

數(shù)，則陰影部分表示的數(shù)是O

【考點】兩量重疊問題【難度】1星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級，二試，第4題

【解析】陰影部分是2和8共有的，即1到50這50個自然數(shù)中能被3x5=15整除的數(shù)，即15,30,45

【答案】15,30,45

【例5］學(xué)校為了豐富學(xué)生的課余生活，組建了乒乓球俱樂部和籃球俱樂部，同學(xué)們踴躍報名參加，其中有

321人報名參加乒乓球俱樂部，429人報名參加了籃球俱樂部，但學(xué)校最后發(fā)現(xiàn)有50人既報名參

加了乒乓球俱樂部，又報名參加了籃球俱樂部，還有23人什么俱樂部都沒報名，問該學(xué)校共有

名學(xué)生.

【考點】兩量重疊問題【難度】1星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，4年級，第5題

【解析】321+429—50+23=723人

【答案】723人

【例6】某班共有46人，參加美術(shù)小蛆的有12人，參加音樂小組的有23人，有5人兩個小組都參加了.這

個班既沒參加美術(shù)小組也沒參加音樂小組的有多少人？

【考點】兩量重疊問題【難度】1星【題型】解答

【解析】已知全班總?cè)藬?shù)，從反面思考，找出參加美術(shù)或音樂小組的人數(shù)，只需用全班總?cè)藬?shù)減去這個人數(shù)，

就得到既沒參加美術(shù)小組也沒參加音樂小組的人數(shù).根據(jù)包含排除法知，該班至少參加了一個小組

的總?cè)藬?shù)為12+23-5=30(人).所以，該班未參加美術(shù)或音樂小組的人數(shù)是46-30=16(人).

【答案】16人

【鞏固】四年級一班有45人，其中26人參加了數(shù)學(xué)競賽，22人參加了作文比賽，12人兩項比賽都參加了.一

班有多少人兩項比賽都沒有參加？

【考點】兩量重疊問題【難度】1星【題型】解答

【解析】由包含排除法可知，至少參加一項比賽的人數(shù)是：26+22-12=36(人)，所以，兩項比賽都沒有參加

的人數(shù)為：45-36=9(A).

【答案】9人

【鞏固】實驗二校一個歌舞表演隊里，能表演獨唱的有10人，能表演跳舞的有18人，兩種都能表演的有7

人.這個表演隊共有多少人能登臺表演歌舞？

【考點】兩量重疊問題【難度】1星【題型】解答

【解析】根據(jù)包含排除法，這個表演隊能登臺表演歌舞的人數(shù)為：10+18-7=21（人）.

【答案】21人

【例7】全班50個學(xué)生，每人恰有三角板或直尺中的一種，28人有直尺，有三角板的人中，男生是14人，

若已知全班共有女生31人，那么有直尺的女生有一人。

【考點】兩量重疊問題【難度】1星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第8題

【解析】有三角板的學(xué)生共50-28=22（人），其中女生22-14=8（人），那么有直尺的女生有31-8=23

（人）。

【答案】23人

【例8】某次英語考試由兩部分蛆成，結(jié)果全班有12人得滿分，第一部分有25人做對，第二部分有19人有

錯，問兩部分都有錯的有多少人？

做

只

兩

4只做

一

分

第二

第

的

對

分的

分

兩部分都有錯的

【考點】兩量重疊問題【難度】2星【題型】解答

【解析】如圖，用長方形表示參加考試的人數(shù)，A圓表示第一部分對的人數(shù).3圓表示第二部分對的人數(shù)，

長方形中陰影部分表示兩部分都有錯的人數(shù).

已知第一部分對的有25人，全對的有12人，可知只對第一部分的有：25-12=13（人）.又因為第二

部分有19人有錯，其中第一部分對第二部分有錯的有13人，那么余下的19-13=6（人）必是第一部分

和第二部分均有錯的，兩部分都有錯的有6人.

【答案】6人

【例9］對全班同學(xué)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，會游泳的有20人，會打籃球的有25人.兩項都會的有10人，兩項都不會的

有9人.這個班一共有多少人？

\

兩項

會游

l會打

會

都

泳的

籃

u球

的/

兩項都不會的

【考點】兩量重疊問題【難度】2星【題型】解答

【解析】如圖，用長方形表示全班人數(shù)，A圓表示會游泳的人數(shù)，B圓表示會打籃球的人數(shù)，長方形中陰影

部分表示兩項都不會的人數(shù).

由圖中可以看出，全班人數(shù)=至少會一項的人數(shù)+兩項都不會的人數(shù)，至少會一項的人數(shù)為：

20+25-10=35（人）,全班人數(shù)為：35+9=44（人）.

【答案】44人

【鞏固】某班組織象棋和軍棋比賽，參加象棋比賽的有32人，參加軍棋比賽的有28人，有18人兩項比賽都

參加了，這個班參加棋類比賽的共有多少人？

角

項

仁

力

參

參

只

八

比

賽

謝H

棋

圍

象

都

參

的

賽

的

賽

加

的7

6y/

【考點】兩量重疊問題【難度】2星【題型】解答

【解析】如圖，A圓表示參加象棋比賽的人，8圓表示參加軍棋比賽的人，A與B重合的部分表示同時參加

兩項比賽的人.圖中A圓不含陰影的部分表示只參加象棋比賽不參加軍棋比賽的人，有32-18=14

（人）；圖中8圓不含陰影的部分表示只參加軍棋比賽不參加象棋比賽的人，有28-18=10（人）.由此

得到參加棋類比賽的人有14+18+10=42（人）.

或者根據(jù)包含排除法直接得：32+28-18=42（人）.

【答案】42人

【例10］在46人參加的采摘活動中，只采了櫻桃的有18人，既采了櫻桃又采了杏的有7人，既沒采櫻桃又

沒采杏的有6人，問：只采了杏的有多少人？

、

采

既

櫻桃

A8

又

采

杏

的

既沒采燃漢沒林的

【考點】兩量重疊問題【難度】2星【題型】解答

【解析】如圖，用長方形表示全體采摘人員46人，A圓表示采了櫻桃的人數(shù)，8圓表示采了杏的人數(shù).長方

形中陰影部分表示既沒采櫻桃又沒采杏的人數(shù).

由圖中可以看出，全體人員是至少采了一種的人數(shù)與兩種都沒采的人數(shù)之和，則至少采了一種的人

數(shù)為：46-6=40（人），而至少采了一種的人數(shù)=只采了櫻桃的人數(shù)+兩種都采了的人數(shù)+只采了杏

的人數(shù)，所以，只采了杏的人數(shù)為：40-18-7=15（人）.

【答案】15人

【例11】甲、乙、丙三個小組學(xué)雷鋒，為學(xué)校擦玻璃，其中68塊玻璃不是甲組擦的，52塊玻璃不是乙組擦

的，且甲組與乙組一共擦了6（）塊玻璃.那么，甲、乙、丙三個小組各擦了多少塊玻璃？

【考點】兩量重疊問題【難度】2星【題型】解答

【解析】68塊玻璃不是甲組擦的，說明這68塊玻璃是乙、丙兩組擦的；52塊玻璃不是乙組擦的，說明這52

塊玻璃是甲、丙兩組擦的.

如圖，用圓A表示乙、丙兩組擦的68塊玻璃，8圓表示甲、丙兩組擦的52塊玻璃.因甲乙兩組共擦

了60塊玻璃，那么68+52-60=60（塊），這是兩個丙組擦的玻璃數(shù).60+2=30（塊）.丙組擦了30塊

玻璃.乙組擦了：68-30=38（塊）玻璃，甲組擦了：52-30=22（塊）玻璃.

【答案】甲組擦了：52-30=22（塊）玻璃，乙組擦了：68-30=38（塊）玻璃，丙組擦了30塊玻璃。

【例12】育才小學(xué)畫展上展出了許多幅畫，其中有16幅畫不是六年級的，有15幅畫不是五年級的，五、六

年級共展出25幅畫，其他年級的畫共有多少幅？

【考點】兩量重疊問題【難度】2星【題型】解答

【解析】通過16幅畫不是六年級的可以知道，五年級和其他年級的畫作數(shù)量之和是16，通過15幅畫不是五

年級的可以知道六年級和其他年級的畫作數(shù)量之和是15,那也就是說五年級的畫比六年級多1幅,

我們還知道五、六年級共展出25幅畫，進(jìn)而可以求出五年級畫作有13幅，六年級畫作有12幅，

那么久可以求出其他年級的畫作共有3幅.

【答案】3幅

【例13】47名學(xué)生參加數(shù)學(xué)和語文考試，其中語文得分95分以上的14人，數(shù)學(xué)得分95分以上的21人，兩

門都不在95分以上的有22人.問：兩門都在95分以上的有多少人？

網(wǎng)4

數(shù)

學(xué)

分

9595分

以

以95

以

上

上

的

y的B

兩門都不在95分以上的

【考點】兩量重疊問題【難度】2星【題型】解答

【解析】如圖，用長方形表示這47名學(xué)生，A圓表示語文得分95分以上的人數(shù)，8圓表示數(shù)學(xué)得95分以上

的人數(shù)，A與8重合的部分表示兩門都在95分以上的人數(shù)，長方形內(nèi)兩圓外的部分表示兩門都不在

95分以上的人數(shù).

由圖中可以看出，全體人數(shù)是至少一門在95分以上的人數(shù)與兩門都不在95分以上的人數(shù)之和，則至

少一門在95分以上的人數(shù)為：47-22=25（人）.根據(jù)包含排除法，兩門都在95分以上的人數(shù)為：

14+21-25=10（人）.

【答案】10人

【鞏固】有100位旅客，其中有10人既不懂英語又不懂俄語，有75人懂英語，83人僮俄語.問既懂英語又懂

俄語的有多少人？

【考點】兩量重疊問題【難度】2星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】迎春杯

【解析】方法一：在1（）（）人中懂英語或俄語的有：l（X）-10=90（人）.又因為有75人懂英語，所以只懂俄語的

有：90-75=15（人）.從83位懂俄語的旅客中除去只懂俄語的人，剩下的83-15=68（人）就是既懂

英語又懂俄語的旅客.

方法二：學(xué)會把公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，由包含與排除原理，得：

AU8=A+8—408=75+83—90=68（人）.

【答案】68人

[例14]一個班48人，完成作業(yè)的情況有三種：一種是完成語文作業(yè)沒完成數(shù)學(xué)作業(yè)；一種是完成數(shù)學(xué)作業(yè)

沒完成語文作業(yè)；一種是語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成了.已知做完語文作業(yè)的有37人；做完數(shù)學(xué)作業(yè)的

有42人.這些人中語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的有多少人？

【考點】兩量重疊問題【難度】2星【題型】解答

【解析】不妨用下圖來表示：

完成語文作業(yè)的人數(shù)

完成數(shù)學(xué)作業(yè)的人數(shù)

線段表示全班人數(shù)，線段AC表示做完語文作業(yè)的人數(shù)，線段。3表示做完數(shù)學(xué)作業(yè)的人數(shù)，重

疊部分ZJC則表示語文、數(shù)學(xué)都做完的人數(shù).

根據(jù)題意，做完語文作業(yè)的有37人，即AC=37.做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有42人，即。8=42.

AC+￡>B=37+42=79（人）........①

AB=48（人）........②

①式減②式，就有。C=79-48=31（人），所以，數(shù)學(xué)、語文作業(yè)都做完的有31人.

【答案】31人

【鞏固】四年級科技活動組共有63人.在一次剪貼汽車模型和裝配飛機模型的定時科技活動比賽中，老師到

時清點發(fā)現(xiàn)：剪貼好一輛汽車模型的同學(xué)有42人，裝配好一架飛機模型的同學(xué)有34人.每個同學(xué)

都至少完成了一項活動.問：同時完成這兩項活動的同學(xué)有多少人？

【考點】兩量重疊問題【難度】2星【題型】解答

【解析】因42+34=76,76>63，所以必有人同時完成了這兩項活動.由于每個同學(xué)都至少完成了一項活動，

根據(jù)包含排除法知，42+34-（完成了兩項活動的人數(shù)）=全組人數(shù)，即76-（完成了兩項活動的人數(shù)）

=63.由減法運算法則知，完成兩項活動的人數(shù)為76-63=13（人）.也可畫圖分析.

【答案】13人

【鞏固】科技活動小組有55人.在一次制作飛機模型和制作艦艇模型的定時科技活動比賽中，老師到時清點

發(fā)現(xiàn)：制作好一架飛機模型的同學(xué)有4（）人，制作好一艘艦艇的同學(xué)有32人.每個同學(xué)都至少完成

了一項制作.問兩項制作都完成的同學(xué)有多少人？

【考點】兩量重疊問題【難度】2星【題型】解答

【解析】因為40+32=72,72>55,所以必有人兩項制作都完成了.由于每個同學(xué)都至少完成了一項制作，

根據(jù)包含排除法可知：全組人數(shù)=40+32-完成了兩項制作的人數(shù)，即55=72-完成了兩項制作的

人數(shù).所以，完成了兩項制作的人數(shù)為：72-55=17（人）.

【答案】17人

【例15】一次數(shù)學(xué)測驗，甲答錯題目總數(shù)的1,乙答錯3道題，兩人都答偌的題目是題目總數(shù)的1.求甲、

46

乙都答對的題目數(shù).

【考點】兩量重疊問題【難度】3星【題型】解答

a+c=—(1)

4

【解析】(法一)設(shè)共有〃道題.由右圖知d即為所求，并有關(guān)系式0+方=3(2)由①③知，〃是4和6的公倍

c="3)

L6

數(shù)，即12的倍數(shù).將③代入②，有6=3-弓，由于。是非負(fù)整數(shù)，所以方12,由此求出c=2,

6

廿1,小1.又由a+8hd=n,得至ijd=n-(a+/H-c)=8(法二)顯然兩人都答錯的題目不多于3道，所

以題目總數(shù)只可能是6、12、18,其中只有12,能使甲答錯題目總數(shù)是整數(shù).

【答案】8道題

【例16】小趙、小錢、小孫、小李、小周、小吳、小鄭、小王，這8名同學(xué)站成一排.其中小孫和小周不能

相鄰，小錢和小吳也不能相鄰，小李必須在小鄭和小王之間(可相鄰也可不相鄰).則不同的排列方

法共有種.

【考點】兩量重疊問題【難度】3星【題型】填空

【解析】8名同學(xué)站成一排，所有的排法共有8!=40320種，其中小孫和小周相鄰的排法，根據(jù)“捆綁法”有

2x7!=10080種，小錢和小吳相鄰的也有10080種，這兩對都相鄰的有2x2x6!=2880種.根據(jù)容

斥原理，符合前兩個條件的排法有40320-2x10080+2880=23040種.在這23040種排法里面，小

李、小鄭、小王3個人的排列中每個人在中間的可能性都相等，所以小李在小鄭和小王之間的排法占

其中的！,即有23040x^=7680種.

33

【答案】7680種

7-7-2.容斥原理之重疊問題（二）

弱單目褐

3.了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容；

4.掌握容斥原理的在組合計數(shù)等各個方面的應(yīng)用.

一、兩量重疊問題

在一些計數(shù)問題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個數(shù)的計算.求兩個集合并集的元素的個數(shù)，不能簡單地把

兩個集合的元素個數(shù)相加，而要從兩個集合個數(shù)之和中減去重復(fù)計算的元素個數(shù)，即減去交集的元素個數(shù)，

用式子可表示成：AUB=A+3-An3（其中符號“U”讀作“并”，相當(dāng)于中文“和“或者"或"的意思；符號“n”讀

作“交”，相當(dāng)于中文’且”的意思.）則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理.圖示如下:A表示小圓部

分，8表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分，記為：,即陰影面積.圖示如下：4表示小圓部

分，B表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分，記為：AQB,即陰影面積.

包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合48的并集AUB的元素的個數(shù)，可分以下兩步進(jìn)行：

第一步：分別計算集合A、8的元素個數(shù)，然后加起來，即先求A+B（意思是把48的一切元素都“包含”進(jìn)

來，加在一起）；

第二步：從上面的和中減去交集的元素個數(shù)，即減去C=AQB（意思是“排除”了重復(fù)計算的元素個數(shù)）.

二、三量重疊問題

4類、8類與C類元素個數(shù)的總和=4類元素的個數(shù)+3類元素個數(shù)+C類元素個數(shù)-既是A類又是B類

的元素個數(shù)-既是B類又是C類的元素個數(shù)-既是A類又是C類的元素個數(shù)+同時是A類、B類、C類的元

素個數(shù).用符號表示為：AlJSUC=A+B+C-AOB-BnC-AClC+AriBnC.圖示如下：

圖中小圓表示A的元素的個數(shù)，中圓表示3的元素的個數(shù)，大圓

表示C的元素的個數(shù).

CfV

先包含：A+B+C

dflBRc1.

重疊部分ADB、BDC、Cf)A重疊了2次，多加了1次.

2.再排除：A+B+C-A^B-B^C-AC\C

重疊部分ACBflC重疊了3次，但是在進(jìn)行A+8+C-

(4n8-8仆?！狝「C計算時都被減掉了.J

在解答有關(guān)包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來幫助分析思考.

例題精講

模塊一、三量重疊問題

【例17】一棟居民樓里的住戶每戶都訂了2份不同的報紙。如果該居民樓的住戶只訂了甲、乙、丙三種報紙，

其中甲報30份，乙報34份，丙報40份，那么既訂乙報又訂丙報的有戶。

【考點】三量重疊問題【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，1試

【解析】總共有(30+34+40)+2=52戶居民，訂丙和乙的有52-30=22戶。

【答案】22戶

【例181某班學(xué)生手中分別拿紅、黃、藍(lán)三種顏色的小旗，已知手中有紅旗的共有34人，手中有黃旗的共有

26人，手中有藍(lán)旗的共有18人.其中手中有紅、黃、藍(lán)三種小旗的有6人.而手中只有紅、黃兩種

小旗的有9人，手中只有黃、藍(lán)兩種小旗的有4人，手中只有紅、藍(lán)兩種小旗的有3人，那么這個

班共有多少人？

【考點】三量重疊問題【難度】3星【題型】解答

【解析】如圖，用A圓表示手中有紅旗的，8圓表示手中有黃旗的，C圓表示手中有藍(lán)旗的.如果用手中有

紅旗的、有黃旗的與有藍(lán)旗的相加，發(fā)現(xiàn)手中只有紅、黃兩種小旗的各重復(fù)計算了一次，應(yīng)減去，

手中有三種顏色小旗的重復(fù)計算了二次，也應(yīng)減去，那么，全班人數(shù)為：

G4+26+18)-(9+4+3)-6x2=50(人).

【答案】50人

【鞏固】某班有42人，其中26人愛打籃球，17人愛打排球，19人愛踢足球，9人既愛打籃球又愛踢足球，

4人既愛打排球又愛踢足球，沒有一個人三種球都愛好，也沒有一個人三種球都不愛好.問：既愛

打籃球又愛打排球的有幾人？

【考點】三量重疊問題【難度】3星【題型】解答

【解析】由于全班42人沒有一個人三種球都不愛好，所以全班至少愛好一種球的有42人.根據(jù)包含排除法,

42=(26+17+19)-(9+4+既愛打籃球又愛打排球的人數(shù))+0,得到既愛打籃球又愛打排球的人數(shù)

為：49-42=7(A).

【答案】7人

［例19］四年級一班有46名學(xué)生參加3項課外活動其中有24人參加了數(shù)學(xué)小組2。人參加了語文小組，

參加文藝小組的人數(shù)是既參加數(shù)學(xué)小組也參加文藝小組人數(shù)的3.5倍，又是3項活動都參加人數(shù)

的7倍，既參加文藝小組也參加語文小組的人數(shù)相當(dāng)于3項都參加的人數(shù)的2倍，既參加數(shù)學(xué)小

組又參加語文小組的有10人.求參加文藝小組的人數(shù).

【考點】三量重疊問題【難度】3星【題型】解答

【解析】設(shè)參加數(shù)學(xué)小組的學(xué)生組成集合力，參加語文小組的學(xué)生組成集合B,參加文藝小組的學(xué)生組成集

合G.三者都參加的學(xué)生有z人有|AU3UC|=46，同=24川=20,|C|=3.5,|AAC|=7|AQ5nc|,

忸nc|=2|AnBnc|,|AA用=1。.

因為|AU8uq=|A|+忸|+|c|—|An8|—|ArKH8nq+|An6nc|,

所以46=24+20+7x-10-2*2x+x,解得A=3,

即三者的都參加的有3人.那么參加文藝小組的有3x7=21人.

【答案】21人

【鞏固】五年級三班學(xué)生參加課外興趣小組，每人至少參加一項.其中有25人參加自然興趣小組，35

人參加美術(shù)興趣小組27人參加語文興趣小組，參加語文同時又參加美術(shù)興趣小組的有12人，

參加自然同時又參加美術(shù)興趣小組的有8人，參加自然同時又參加語文興趣小蛆的有9人，

語文、美術(shù)、自然3科興趣小組都參加的有4人.求這個班的學(xué)生人數(shù).

【考點】三量重疊問題【難度】3星【題型】解答

【解析】設(shè)參加自然興趣小組的人組成集合Z,參加美術(shù)興趣小組的人組成集合日，參加語文興趣小組的人

組成集合C.

同=25,\B\=35,|C|=27,|BAC|=12,\AQB\=8,|初中9,何如中文

|AUBUC|=|A|+|B|+|C|-|AnB|-|Anc|-|snc|+|AnBnc|.

所以，這個班中至少參加一項活動的人有25+35+27-12-8-9+4=62，而這個班每人至少參加一項.即

這個班有62人.

【答案】62人

【鞏固】光明小學(xué)組織棋類比賽，分成圍棋、中國象棋和國際象棋三個組進(jìn)行，參加圍棋比賽的有42

人，參加中國象棋比賽的有55人，參加國際象棋比賽的有33人，同時參加了圍棋和中國象棋

比賽的有18人，同時參加了國棋和國際象棋比賽的有10人，同時參加了中國象棋和國際象棋

比賽的有9人，其中三種棋賽都參加的有5人，問參加棋類比賽的共有多少人？

【考點】三量重疊問題【難度】3星【題型】解答

【解析】根據(jù)包含排除法，先把參加圍棋比賽的42人，參加中國象棋比賽的55人與參加國際象棋比賽的33

人加起來，共是42+55+33=130人.把重復(fù)加一遍同時參加圍棋和中國象棋的18人，同時參加圍棋

和國際象棋的10人與同時參加中國象棋和國際象棋的9人減去，但是，同時參加了三種棋賽的5人

被加了3次，又被減了3次，其實并未計算在內(nèi)，應(yīng)當(dāng)補上，實際上參加棋類比賽的共有：

130-(18+10+9)+5=98(人).

或者根據(jù)學(xué)過的公式：AU3UC=A+3+C-An3-3nC—Anc+An3nC，參加棋類比賽的總

人數(shù)為：42+55+33-18-10-9+5=98(人).

【答案】98人

【例20】新年聯(lián)歡會上，共有90人參加了跳舞、合唱、演奏三種節(jié)目的演出.如果只參加跳舞的人數(shù)三倍

于只參加合唱的人數(shù)；同時參加三種節(jié)目的人比只參加合唱的人少7人；只參加演奏的比同時參加

演奏、跳舞但沒有參加合唱的人多4人；50人沒有參加演奏；10人同時參加了跳舞和合唱但沒有

參加演奏；40人參加了合唱；那么，同時參加了演奏、合唱但沒有參加跳舞的有人.

【考點】三量重疊問題【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】西城實驗

【解析】設(shè)只參加合唱的有x人，那么只參加跳舞的人數(shù)為3x，由50人沒有參加演奏、10人同時參加了跳舞

和合唱但沒有參加演奏，得到只參加合唱的和只參加跳舞的人數(shù)和為50-10=40人，即x+3x=4O,

得x=10，所以只參加合唱的有10人，那么只參加跳舞的人數(shù)為30人，又由“同時參加三種節(jié)目的人

比只參加合唱的人少7人”，得到同時參加三項的有3人，所以參加了合唱的人中“同時參加了演奏、

合唱但沒有參加跳舞的”有：40-10-10-3=17人.

【答案】17人

【鞏固】六年級100名同學(xué)，每人至少愛好體育、文藝和科學(xué)三項中的一項.其中，愛好體育的55人，愛

好文藝的56人，愛好科學(xué)的51人，三項都愛好的15人，只愛好體育和科學(xué)的4人，只愛好體育

和文藝的17人.問：有多少人只愛好科學(xué)和文藝兩項？只愛好體育的有多少人？

【考點】三量重疊問題【難度】3星【題型】解答

【解析】只是力類和8類的元素個數(shù)，有別于容斥原理II中的既是4類又是8類的元數(shù)個數(shù).依題意，畫圖

如下.設(shè)只愛好科學(xué)和文藝兩項的有x人.由容斥原理，列方程得

55+56+51-(17+15)-(4+15)-(^+15)+15=100

即55+56+51-17-4-x-15x2=100

111=100

x=ll只愛好體育的有：55—17-15-4=19(人).

【答案】11人只愛好科學(xué)和文藝，19人只愛好體育。

【例21】在某個風(fēng)和日麗的日子，10個同學(xué)相約去野餐，每個人都帶了吃的，其中6個人帶了漢堡，6個人

帶了雞腿，4個人帶了芝士蛋糕，有3個人既帶了漢堡又帶了雞腿，1個人既帶了雞腿又帶了芝士蛋

糕.2個人既帶了漢堡又帶了芝土蛋糕.問：

⑴三種都帶了的有幾人？

⑵只帶了一種的有幾個？

【考點】三量重疊問題【難度】4星【題型】解答

【解析】如圖，用A圓表示帶漢堡的人，3圓表示帶雞腿的人，C圓表示帶芝士蛋糕的人.

⑴根據(jù)包含排除法，總?cè)藬?shù)=（帶漢堡的人數(shù)+帶雞腿的人數(shù)+帶芝士蛋糕的人數(shù)）-（帶漢堡、雞

腿的人數(shù)+帶漢堡、芝士蛋糕的人數(shù)+帶雞腿、芝士蛋糕的人數(shù)）+三種都帶了的人數(shù)，即

10-（6+6+4）-G+2+D+三種都帶了的人數(shù)，得三種都帶了的人數(shù)為：10-10=0（人）.

⑵求只帶一種的人數(shù)，只需從10人中減去帶了兩種的人數(shù)，即10-（3+2+1）=4（人）.只帶了一種

的有4人.

【答案】（1）0人，（2）4人

【鞏固】盛夏的