咸寧市重點(diǎn)中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

咸寧市重點(diǎn)中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為A． B． C． D．2．已知變量之間的線(xiàn)性回歸方程為，且變量之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．變量之間呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系B．的值等于5C．變量之間的相關(guān)系數(shù)D．由表格數(shù)據(jù)知，該回歸直線(xiàn)必過(guò)點(diǎn)3．已知向量，則與的夾角為（）A． B． C． D．4．在數(shù)列中，若，，則（）A．108 B．54 C．36 D．185．已知隨機(jī)變量，且，則A． B． C． D．6．已知，，，，且滿(mǎn)足，，，對(duì)于，，，四個(gè)數(shù)的判斷，給出下列四個(gè)命題：①至少有一個(gè)數(shù)大于1；②至多有一個(gè)數(shù)大于1；③至少有一個(gè)數(shù)小于0；④至多有一個(gè)數(shù)小于0.其中真命題的是（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③7．設(shè)數(shù)列是單調(diào)遞減的等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為28，則（）A.1B.4C.7D.1或78．一個(gè)單位有職工800人，其中具有高級(jí)職稱(chēng)的160人，具有中級(jí)職稱(chēng)的320人，具有初級(jí)職稱(chēng)的200人，其余人員120人.為了解職工收入情況，決定采用分層抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本.則從上述各層中依次抽取的人數(shù)分別是（）A．12,24,15,9 B．9,12,12,7 C．8,15,12,5 D．8,16,10,69．已知集合A＝{x｜x＜1}，B＝{x｜＜1}，則A∩B＝（）A．{x｜x＜0} B．（x｜x＞0} C．{x｜x＞1} D．{x｜x＜1}10．名同學(xué)參加班長(zhǎng)和文娛委員的競(jìng)選，每個(gè)職務(wù)只需人，其中甲不能當(dāng)文娛委員，則共有（）種不同結(jié)果（用數(shù)字作答）A． B． C． D．11．若不等式對(duì)任意的恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．王老師在用幾何畫(huà)板同時(shí)畫(huà)出指數(shù)函數(shù)（）與其反函數(shù)的圖象，當(dāng)改變的取值時(shí)，發(fā)現(xiàn)兩函數(shù)圖象時(shí)而無(wú)交點(diǎn)，并且在某處只有一個(gè)交點(diǎn)，則通過(guò)所學(xué)的導(dǎo)數(shù)知識(shí)，我們可以求出當(dāng)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知甲箱子里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，乙箱子里裝有2個(gè)白球、2個(gè)黑球，從這兩個(gè)箱子里分別隨機(jī)摸出1個(gè)球，則恰有一個(gè)白球的概率為_(kāi)_________.14．若離散型隨機(jī)變量的分布列如下，則=__________.0115．若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為.16．函數(shù)y=3sin(2x+π三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，某地出土的一種“釘”是由四條線(xiàn)段組成，其結(jié)構(gòu)能使它任意拋至水平面后，總有一端所在的直線(xiàn)豎直向上．并記組成該“釘”的四條等長(zhǎng)的線(xiàn)段公共點(diǎn)為，釘尖為．（1）判斷四面體的形狀，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)，當(dāng)在同一水平面內(nèi)時(shí)，求與平面所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；（3）若該“釘”著地后的四個(gè)線(xiàn)段根據(jù)需要可以調(diào)節(jié)與底面成角的大小，且保持三個(gè)線(xiàn)段與底面成角相同，若，，問(wèn)為何值時(shí)，的體積最大，并求出最大值．18．（12分）若,且（1）求的最小值；（2）是否存在，使得？并說(shuō)明理由.19．（12分）已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，，設(shè)“”.（1）若為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)集合與集合的交集為，若為假，為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù)，.（1）若在區(qū)間上單調(diào)，求的取值范圍；（2）設(shè)，求證：時(shí)，.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，點(diǎn)在線(xiàn)段上，平面，，.（1）求證：為的中點(diǎn)；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.22．（10分）假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限(年)和所支出的年平均維修費(fèi)用(萬(wàn)元)(即維修費(fèi)用之和除以使用年限),有如下的統(tǒng)計(jì)資料：(1)求關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程；(2)估計(jì)使用年限為10年時(shí)所支出的年平均維修費(fèi)用是多少?參考公式：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)題意可知，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求出點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式即可求出切線(xiàn)方程?！绢}目詳解】由題意知，因此，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，故答案選C?！绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線(xiàn)方程，一般利用點(diǎn)斜式構(gòu)造直線(xiàn)解析式。2、C【解題分析】分析：根據(jù)線(xiàn)性回歸方程的性質(zhì)依次判斷各選項(xiàng)即可．詳解：對(duì)于A：根據(jù)b的正負(fù)即可判斷正負(fù)相關(guān)關(guān)系．線(xiàn)性回歸方程為，b=﹣0.7＜0，負(fù)相關(guān)．對(duì)于B：根據(jù)表中數(shù)據(jù)：=1．可得=2．即，解得：m=3．對(duì)于C：相關(guān)系數(shù)和斜率不是一回事，只有當(dāng)樣本點(diǎn)都落在直線(xiàn)上是才滿(mǎn)足兩者相等，這個(gè)題目顯然不滿(mǎn)足，故不正確.對(duì)于D：由線(xiàn)性回歸方程一定過(guò)（，），即（1，2）．故選：C．點(diǎn)睛：本題考查了線(xiàn)性回歸方程的求法及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，對(duì)于回歸方程，一定要注意隱含條件，樣本中心滿(mǎn)足回歸方程，再者計(jì)算精準(zhǔn)，正確理解題意，應(yīng)用回歸方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì).3、D【解題分析】

根據(jù)題意，由向量數(shù)量積的計(jì)算公式可得cosθ的值，據(jù)此分析可得答案．【題目詳解】設(shè)與的夾角為θ，由、的坐標(biāo)可得||＝5，||＝3，?5×0+5×（﹣3）＝﹣15，故，所以.故選D【題目點(diǎn)撥】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算，涉及向量夾角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解題分析】

通過(guò)，可以知道數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以求出的值.【題目詳解】因?yàn)?，所以?shù)列是公比為的等比數(shù)列，因此，故本題選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列的概念、以及求等比數(shù)列某項(xiàng)的問(wèn)題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.5、B【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性即可得到答案.【題目詳解】由于，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正態(tài)分布中概率的計(jì)算，難度不大.6、A【解題分析】

根據(jù)對(duì)，，，取特殊值，可得②，④不對(duì)，以及使用反證法，可得結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)，時(shí)，滿(mǎn)足條件，故②，④為假命題；假設(shè)，由，，得，則，由，所以矛盾，故①為真命題，同理③為真命題．故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查反證法，正所謂“正難則反”，熟練掌握反證法的證明方法，屬基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】試題分析：，所以，因?yàn)檫f減數(shù)列，所以，解得。考點(diǎn)：等差數(shù)列8、D【解題分析】試題分析：由題意，得抽樣比為，所以高級(jí)職稱(chēng)抽取的人數(shù)為，中級(jí)職稱(chēng)抽取的人數(shù)為，初級(jí)職稱(chēng)抽取的人數(shù)為，其余人員抽取的人數(shù)為，所以各層中依次抽取的人數(shù)分別是8人，16人，10人，6人，故選D．考點(diǎn)：分層抽樣．【方法點(diǎn)睛】分層抽樣滿(mǎn)足“”，即“或”，據(jù)此在已知每層間的個(gè)體數(shù)量或數(shù)量比，樣本容量，總體數(shù)量中的兩個(gè)時(shí)，就可以求出第三個(gè)．9、A【解題分析】

分別求出集合A，B，由此能求出A∩B．【題目詳解】∵集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}，∴A∩B＝{x|x＜0}．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查交集的求法及指數(shù)不等式的解法，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．10、B【解題分析】

先安排甲以外的一人擔(dān)任文娛委員，再?gòu)氖Ｏ碌?人選一人擔(dān)任班長(zhǎng)即可．【題目詳解】先從甲以外的三人中選一人當(dāng)文娛委員，有3種選法，再?gòu)氖Ｏ碌?人選一人擔(dān)任班長(zhǎng)，有3種選法，故共有種不同結(jié)果．故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解題分析】

不等式可整理為，然后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y在（﹣∞，1）上的最小值即可，利用單調(diào)性可求最值．【題目詳解】不等式，即不等式lglg3x﹣1，∴，整理可得，∵y在（﹣∞，1）上單調(diào)遞減，∴∈（﹣∞，1），y1，∴要使原不等式恒成立，只需≤1，即的取值范圍是（﹣∞，1]．故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式恒成立問(wèn)題、函數(shù)單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．12、B【解題分析】

當(dāng)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則在該點(diǎn)的公切線(xiàn)的斜率相等，列出關(guān)于的方程.【題目詳解】設(shè)切點(diǎn)為，則，解得：故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，要注意根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的凹凸性，得到在其公共點(diǎn)處公切線(xiàn)的斜率相等.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

通過(guò)分析恰有一個(gè)白球分為兩類(lèi)：“甲中一白球乙中一黑球”，“甲中一黑球乙中一白球”，于是分別計(jì)算概率相加即得答案.【題目詳解】恰有一個(gè)白球分為兩類(lèi)：甲中一白球乙中一黑球，甲中一黑球乙中一白球．甲中一白球乙中一黑球概率為：，甲中一黑球乙中一白球概率為：，故所求概率為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查乘法原理和加法原理的相關(guān)計(jì)算，難度不大，意在考查學(xué)生的分析能力，計(jì)算能力.14、1【解題分析】

根據(jù)概率之和為1，列出方程，即可求出結(jié)果.【題目詳解】由概率的性質(zhì)可得：，由題意則，解得或；又概率介于之間，所以.故答案為1【題目點(diǎn)撥】本題主要考查由概率的性質(zhì)求參數(shù)的問(wèn)題，熟記概率的基本性質(zhì)即可，屬于基礎(chǔ)題型.15、【解題分析】

由面積為的半圓面，可得圓的半徑為2，即圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為2.圓錐的底面周長(zhǎng)為.所以底面半徑為1.即可得到圓錐的高為.所以該圓錐的體積為.16、π【解題分析】

∵函數(shù)y=sinx的周期為∴函數(shù)y=3sin(2x+π故答案為π.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）正四面體；理由見(jiàn)解析（2）；（3）當(dāng)時(shí)，最大體積為：；【解題分析】

（1）根據(jù)線(xiàn)段等長(zhǎng)首先確定為四面體外接球球心；又底面，可知為正三棱錐；依次以為頂點(diǎn)均有正三棱錐結(jié)論出現(xiàn)，可知四面體棱長(zhǎng)均相等，可知其為正四面體；（2）由為四面體外接球球心及底面可得到即為所求角；設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為，利用表示出各邊，利用勾股定理構(gòu)造方程可求得，從而可求得，進(jìn)而得到結(jié)果；（3）取中點(diǎn)，利用三線(xiàn)合一性質(zhì)可知，從而可用表示出底面邊長(zhǎng)和三棱錐的高，根據(jù)三棱錐體積公式可將體積表示為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值，并確定此時(shí)的取值，從而得到結(jié)果.【題目詳解】（1）四面體為正四面體，理由如下：四條線(xiàn)段等長(zhǎng)，即到四面體四個(gè)頂點(diǎn)距離相等為四面體外接球的球心又底面在底面的射影為的外心四面體為正三棱錐，即，又任意拋至水平面后，總有一端所在的直線(xiàn)豎直向上，若豎直向上可得：可知四面體各條棱長(zhǎng)均相等為正四面體（2）由（1）知，四面體為正四面體，且為其外接球球心設(shè)中心為，則平面，如下圖所示：即為與平面所成角設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為則，在中，，解得：即與平面所成角為：（3）取中點(diǎn)，連接，，為中點(diǎn)且，令，，則設(shè)，，則令，解得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取極大值，即為最大值：即當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為：此時(shí)，即綜上所述，當(dāng)時(shí)，體積最大，最大值為：【題目點(diǎn)撥】本題考查立體幾何中的幾何體特征判斷、直線(xiàn)與平面所成角的求解、三棱錐體積的最值的求解問(wèn)題；求解三棱錐體積的最值問(wèn)題，關(guān)鍵是要把底面面積和三棱錐的高均利用某一變量來(lái)進(jìn)行表示，從而將所求體積最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于此變量的函數(shù)最值問(wèn)題的求解，進(jìn)而通過(guò)導(dǎo)數(shù)或其他求解函數(shù)最值的方法求得結(jié)果.18、（1）；（2）不存在.【解題分析】

（1）由已知，利用基本不等式的和積轉(zhuǎn)化可求，利用基本不等式可將轉(zhuǎn)化為，由不等式的傳遞性，可求的最小值；（2）由基本不等式可求的最小值為，而，故不存在．【題目詳解】（1）由，得，且當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故，且當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以的最小值為；（2）由（1）知，．由于，從而不存在，使得成立．【考點(diǎn)定位】基本不等式．19、（1）；（2）.【解題分析】試題分析：（1）由已知可得，函數(shù)為上的奇函數(shù)、且為增函數(shù)，由命題為真，則，所以，從而解得；（2）由集合，若為真，則，因?yàn)椤盀榧?，為真”等價(jià)于“、一真一假”，因此若真假，則；若假真，則.從而可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.試題解析：∵函數(shù)是奇函數(shù)，∴，∵當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)為上的增函數(shù)，∵，，∴，∴，若為真，則，解得（2），若為真，則，∵為假，為真，∴、一真一假，若真假，則；若假真，則綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是考點(diǎn)：1.函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用；2.命題的真假判斷及其邏輯運(yùn)算.20、（1）或（2）見(jiàn)解析【解題分析】

（1）在區(qū)間上單調(diào)且是增函數(shù)，所以或，進(jìn)而得到答案．（2）令，，由的導(dǎo)函數(shù)研究的單調(diào)性并求出最小值，則可知在時(shí)是增函數(shù)，從而證得答案．【題目詳解】解：（1）∵是增函數(shù)．又∵在區(qū)間上單調(diào)，∴或．∴或（2）令．∵，．∴時(shí)，是減函數(shù)，時(shí)，是增函數(shù)，∴時(shí)，．∵，∴．∴在時(shí)是增函數(shù)．∴，即．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及利用導(dǎo)函數(shù)證明不等式問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是令，屬于偏難題目．21、（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】

（1）平面，得到，，為的中點(diǎn).（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線(xiàn)為、、軸距離空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算各個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，平面的法向量為，利用向量夾角公式得到答案.【題目詳解】解:⑴證明：如圖，設(shè)，為正方形，為的中點(diǎn)，連接平面，平面，平面平面，則，即為的中點(diǎn)；（2）解：取中點(diǎn)，，，平面平面，且平面平面，平面，則，連接，則，由是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，可得，則．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所