2024屆山西省大同市平城區(qū)第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2024屆山西省大同市平城區(qū)第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，若，則＝()A．或 B．或 C．或 D．或或2．已知，若；，．那么p是q的（）A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件 D．必要不充分條件3．在一次獨(dú)立性檢驗(yàn)中，其把握性超過(guò)99％但不超過(guò)99.5％，則的可能值為（）參考數(shù)據(jù)：獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A．5.424 B．6.765 C．7.897 D．11.8974．復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．若復(fù)數(shù)所表示的點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A． B． C． D．6．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是曲線與的一個(gè)公共點(diǎn)，，分別是和的離心率，若，則的最小值為()A． B．4 C． D．97．在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率相同，若事件A至少發(fā)生1次的概率為，則事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為A． B． C． D．8．命題“，”的否定為()A． B．C．， D．，9．已知函數(shù).正實(shí)數(shù)滿足，則下述結(jié)論中正確的一項(xiàng)是()A． B．C． D．10．某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出容量為的樣本，其中甲種產(chǎn)品有18件，則樣本容量（）．A．70 B．90 C．40 D．6011．已知空間不重合的三條直線、、及一個(gè)平面，下列命題中的假命題是（）．A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則12．函數(shù)導(dǎo)數(shù)是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_________14．過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)弦的長(zhǎng)取最小值時(shí)，直線的傾倒角等于___________．15．某晚會(huì)安排5個(gè)攝影組到3個(gè)分會(huì)場(chǎng)負(fù)責(zé)直播,每個(gè)攝影組去一個(gè)分會(huì)場(chǎng),每個(gè)分會(huì)場(chǎng)至少安排一個(gè)攝影組,則不同的安排方法共有______種(用數(shù)字作答).16．設(shè),則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在棱長(zhǎng)為的正方體中，O是AC的中點(diǎn)，E是線段D1O上一點(diǎn)，且D1E＝λEO.（1）若λ=1，求異面直線DE與CD1所成角的余弦值;（2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值.18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，點(diǎn)在線段上，平面，，.（1）求證：為的中點(diǎn)；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）是指懸浮在空氣中的空氣動(dòng)力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物.根據(jù)現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，日均值在微克/立方米以下，空氣質(zhì)量為一級(jí)；在微克應(yīng)立方米微克立方米之間，空氣質(zhì)量為二級(jí)：在微克/立方米以上，空氣質(zhì)量為超標(biāo).從某市年全年每天的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值頻數(shù)如下表：日均值（微克/立方米）頻數(shù)（天）（1）從這天的日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出天，求恰有天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率；（2）從這天的數(shù)據(jù)中任取天數(shù)據(jù)，記表示抽到監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求的分布列.20．（12分）某理科考生參加自主招生面試，從7道題中（4道理科題3道文科題）不放回地依次任取3道作答.（1）求該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到文科題的概率；（2）規(guī)定理科考生需作答兩道理科題和一道文科題，該考生答對(duì)理科題的概率均為，答對(duì)文科題的概率均為，若每題答對(duì)得10分，否則得零分.現(xiàn)該生已抽到三道題（兩理一文），求其所得總分的分布列與數(shù)學(xué)期望.21．（12分）一個(gè)盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個(gè)函數(shù)：，，，（I）從中任意拿取張卡片，若其中有一張卡片上寫著的函數(shù)為奇函數(shù)，在此條件下，求兩張卡片上寫著的函數(shù)相加得到的新函數(shù)為奇函數(shù)的概率；（II）現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張寫有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，求抽取次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.22．（10分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)伸縮變換后，曲線變?yōu)榍€，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與交于不同的兩點(diǎn).（1）求曲線的普通方程；（2）求的中點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程（以為參數(shù)）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】或．故選C．點(diǎn)睛：1、用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含義，再看元素元素的限制條件，明確集合的類型，是數(shù)集，是點(diǎn)集還是其它集合．2、求集合的交、交、補(bǔ)時(shí)，一般先化簡(jiǎn)，再由交、并、補(bǔ)的定義求解．3、在進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問(wèn)題直觀化，一般地，集合元素離散時(shí)用Venn圖；集合元素連續(xù)時(shí)用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時(shí)要注意端點(diǎn)值的取舍．2、C【解題分析】

轉(zhuǎn)化，為，分析即得解【題目詳解】若命題q為真，則，等價(jià)于因此p是q的充分不必要條件故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查了充分必要條件的判定，及存在性問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，考查了學(xué)生邏輯推理，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】

根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)表解題【題目詳解】把握性超過(guò)99％但不超過(guò)99.5％，，選B【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)表，屬于簡(jiǎn)單題．4、A【解題分析】

把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【題目詳解】解：由，得．∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．5、C【解題分析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再由實(shí)部與虛部均大于0聯(lián)立不等式組求解即可.【題目詳解】表示的點(diǎn)在第一象限，，解得．實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查的是復(fù)數(shù)的乘法、乘方運(yùn)算，屬于中檔題．解題時(shí)一定要注意和以及運(yùn)算的準(zhǔn)確性，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．6、A【解題分析】

題意設(shè)焦距為2c，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a1，雙曲線實(shí)軸為2a2，令P在雙曲線的右支上，由已知條件結(jié)合雙曲線和橢圓的定義推出a12+a22=2c2，由此能求出4e12+e22的最小值．【題目詳解】由題意設(shè)焦距為2c，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a1，雙曲線實(shí)軸為2a2，令P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義|PF1|﹣|PF2|=2a2，①由橢圓定義|PF1|+|PF2|=2a1，②又∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=4c2，③①2+②2，得|PF1|2+|PF2|2=4a12+4a22，④將④代入③，得a12+a22=2c2，∴4e12+e22==++≥+2=．故選A．【題目點(diǎn)撥】在用基本不等式求最值時(shí)，應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三相等.①一正：關(guān)系式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：關(guān)系式中，含變量的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；③三相等：含變量的各項(xiàng)均相等，取得最值.7、A【解題分析】分析：可從事件的反面考慮，即事件A不發(fā)生的概率為，由此可易得結(jié)論．詳解：設(shè)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為，則，解得．故選A．點(diǎn)睛：在求“至少”、“至多”等事件的概率時(shí)，通常從事件的反而入手可能較簡(jiǎn)單，如本題中“至少發(fā)生1次”的反面為“一次都不發(fā)生”，若本題求“至多發(fā)生3次”的概率，其反面是“至少發(fā)生4次”即“全發(fā)生”．8、A【解題分析】分析：全稱命題的否定是特稱命題，直接寫出結(jié)果即可．詳解：∵全稱命題的否定是特稱命題，∴命題“?x∈[﹣2，+∞），x+3≥1”的否定是?x0∈[﹣2，+∞），x0+3＜1，故選：A．點(diǎn)睛：本題考查命題的否定，全稱命題與特稱命題的關(guān)系，基本知識(shí)的考查，注意命題的否定與否命題的區(qū)別．命題的否定是既否結(jié)論，又否條件；否命題是只否結(jié)論.9、A【解題分析】由，即，從而，令，則由得，，可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，可得或，又，因此成立，故選A.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，一元二次不等式的解法及數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與劃歸思想.屬于難題.轉(zhuǎn)化與劃歸思想解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決知識(shí)點(diǎn)較多以及知識(shí)跨度較大的問(wèn)題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準(zhǔn)突破點(diǎn).以便將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的知識(shí)領(lǐng)域，進(jìn)而順利解答，希望同學(xué)們能夠熟練掌握并應(yīng)用于解題當(dāng)中.解答本題的關(guān)鍵是將方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求最值進(jìn)而通過(guò)解不等式解答.10、B【解題分析】

用除以甲的頻率，由此求得樣本容量.【題目詳解】甲的頻率為，故，故選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查分層抽樣的知識(shí)，考查頻率與樣本容量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解題分析】

根據(jù)線線、線面有關(guān)定理對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定是假命題的選項(xiàng).【題目詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)平行公理可知，A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)，兩條直線平行與同一個(gè)平面，這兩條直線可以相交、平行或異面，故B選項(xiàng)是假命題.對(duì)于C選項(xiàng)，由于，，根據(jù)空間角的定義可知，，C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，由于，所以平行于平面內(nèi)一條直線，而，所以，所以，即D選項(xiàng)正確.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查空間線線、線面有關(guān)命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解題分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則求導(dǎo)即可．【題目詳解】，故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

化為，時(shí)，，時(shí)，，從而可得結(jié)果.【題目詳解】,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)?故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的值域，屬于中檔題.求函數(shù)值域的常見(jiàn)方法有①配方法：若函數(shù)為一元二次函數(shù)，常采用配方法求函數(shù)求值域，其關(guān)鍵在于正確化成完全平方式，并且一定要先確定其定義域；②換元法：常用代數(shù)或三角代換法，用換元法求值域時(shí)需認(rèn)真分析換元參數(shù)的范圍變化；③不等式法：借助于基本不等式求函數(shù)的值域，用不等式法求值域時(shí)，要注意基本不等式的使用條件“一正、二定、三相等”；④單調(diào)性法：首先確定函數(shù)的定義域，然后準(zhǔn)確地找出其單調(diào)區(qū)間，最后再根據(jù)其單調(diào)性求凼數(shù)的值域，⑤圖象法：畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象的最高和最低點(diǎn)求最值.14、【解題分析】試題分析：圓心,當(dāng)弦的長(zhǎng)取最小值時(shí),,.考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系.15、150【解題分析】

根據(jù)題意，先將5個(gè)攝影組可分為三隊(duì)，分隊(duì)的方式有2種：（1，1，3）和（1,2,2），再進(jìn)行排列，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，5個(gè)攝影組可分為三隊(duì)，分隊(duì)的方式有2種：（1，1，3）和（1,2,2），①按（1，1，3）進(jìn)行分隊(duì)有種，再分配到3個(gè)分會(huì)場(chǎng)，共有種；②按（1，2，2）進(jìn)行分隊(duì)有種，再分配到3個(gè)分會(huì)場(chǎng)，共有種；再進(jìn)行相加，共計(jì)60+90=150種，故答案為：150.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列、組合的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，考查分類、分步計(jì)數(shù)原理的靈活應(yīng)用，屬于中等題.16、【解題分析】

因?yàn)?分別令和,即可求得答案.【題目詳解】令.原式化為.令,得,.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了多項(xiàng)式展開(kāi)式系數(shù)和,解題關(guān)鍵是掌握求多項(xiàng)式系數(shù)和的解題方法,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）λ＝2【解題分析】分析：以為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，

（1）求出異面直線與1的方向向量用數(shù)量積公式兩線夾角的余弦值（或補(bǔ)角的余弦值）

（2）求出兩個(gè)平面的法向量，由于兩個(gè)平面垂直，故它們的法向量的內(nèi)積為0，由此方程求參數(shù)的值即可．詳解：(1)以為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則A(1，0，0)，，，D1(0，0，1)，E，于是，.由cos＝＝.所以異面直線AE與CD1所成角的余弦值為.（2）設(shè)平面CD1O的向量為m=(x1，y1，z1)，由m·＝0，m·＝0得取x1＝1，得y1＝z1＝1，即m=(1，1，1).………8分由D1E＝λEO，則E，=.10分又設(shè)平面CDE的法向量為n＝(x2，y2，z2)，由n·＝0，n·＝0.得取x2=2，得z2＝－λ，即n＝(－2，0，λ).12分因?yàn)槠矫鍯DE⊥平面CD1F，所以m·n＝0，得．點(diǎn)睛：本題查了異面直線所成的角以及兩個(gè)平面垂直的問(wèn)題，本題采用向量法來(lái)研究線線，面面的問(wèn)題，這是空間向量的一個(gè)重要運(yùn)用，大大降低了求解立體幾何問(wèn)題的難度．18、（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】

（1）平面，得到，，為的中點(diǎn).（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸距離空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算各個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，平面的法向量為，利用向量夾角公式得到答案.【題目詳解】解:⑴證明：如圖，設(shè)，為正方形，為的中點(diǎn)，連接平面，平面，平面平面，則，即為的中點(diǎn)；（2）解：取中點(diǎn)，，，平面平面，且平面平面，平面，則，連接，則，由是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，可得，則．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸距離空間直角坐標(biāo)系由，，得，，，，，，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，得，取，得.，直線與平面所成角的正弦值為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線面平行，線面夾角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.19、（1）；（2）分布列見(jiàn)解析.【解題分析】

（1）由表格可知：這天的日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，只有天達(dá)到一級(jí)，然后利用組合計(jì)數(shù)原理與古典概型的概率公式可計(jì)算出所求事件的概率；（2）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，然后利用超幾何分布即可得出隨機(jī)變量的分布列.【題目詳解】（1）由表格可知：這天的日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，只有天達(dá)到一級(jí)．隨機(jī)抽取天，恰有天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率為；（2）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，，，，.因此，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：【題目點(diǎn)撥】本題考查了概率的計(jì)算，同時(shí)也考查了超幾何分布及其分布列等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，屬于中檔題．20、（1）；（2）的分布列為

【解題分析】試題解析:（1）記“該考生在第一次抽到理科題”為事件，“該考生第二次和第三次均抽到文科題”為事件，則所以該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到文科題的概率為（2）的可能取值為0，10，20，30，則所以的分布列為0102030所以，的數(shù)學(xué)期望21、（1）（2）數(shù)學(xué)期望為.【解題分析】

（Ⅰ）所有的基本事件包括兩類：一類為兩張卡片上寫的函數(shù)均為奇函數(shù)；另一類為兩張卡片上寫的函數(shù)為一個(gè)是奇函數(shù)，一個(gè)為偶函數(shù)，先求出基本事件總數(shù)為，滿足條件的基本事件為兩張卡片上寫的函數(shù)均為奇函數(shù)，再求出滿足條件的基本事件個(gè)數(shù)為，由此能求出結(jié)果．（Ⅱ）ξ可取1，2，3，1．分別求出對(duì)應(yīng)