經典控制第三章-2

好學近乎知，力行近乎仁，知恥近乎勇。

——《中庸》2/4/20241《自動控制原理》第三章時域分析時域分析法的含義時域方法通過拉氏反變換求出系統輸出量的表達式，提供系統時間響應的全部信息。時域分析法的特點定量分析方法：直觀、精確，但比較煩瑣。在時域中研究問題，重點討論過渡過程的響應形式。線性定常系統的性能穩(wěn)定性、動態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能2/4/20242《自動控制原理》第三章時域分析為什么要研究典型輸入（試驗）信號？控制系統的輸入信號是隨機和無法預知的，很難用解析的方法表示。只有在一些特殊的情況下是預先知道的，可以用解析的方法或者曲線表示。例如，切削機床自動控制的例子。為了測試比較控制系統的性能，需要有一個共同的基礎，對各種控制系統性能進行有效的評判和比較。系統對典型試驗信號的響應特性，與系統對實際輸入信號的響應特性之間存在一定的對應關系；所以采用試驗信號來評價系統性能是合理的。而且，許多設計準則就建立在這些信號的基礎上?？刹捎煤芙咏鼘嶋H系統經常遇到的輸入信號，并在數學描述上加以理想化后能用較為典型且簡單的函數形式表達出來的信號。2/4/20243《自動控制原理》第三章時域分析線性系統響應的分解系統響應（全響應）

=動態(tài)響應（暫態(tài)分量）+穩(wěn)態(tài)響應（穩(wěn)態(tài)分量）=零輸入響應+零狀態(tài)響應

=自由響應+強迫響應2/4/20244《自動控制原理》第三章時域分析拉氏反變換求解微分方程（零初始條件）

用部分分式展開式中，si

為傳遞函數的極點;

sk為輸入項函數R(s)的極點2/4/20245《自動控制原理》第三章時域分析

如果si

和sk

都是互異極點，則系統的零狀態(tài)響應（初始條件為零的響應）為式中，Ai、Bk為待定常量，其值與系統的結構、參量及輸入有關。如果r(t)=1(t)，系統的輸出即為單位階躍響應2/4/20246《自動控制原理》第三章時域分析在典型輸入信號的作用下，任何一個控制系統的時間響應都由動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成。動態(tài)過程：系統在輸入信號作用下，系統輸出量從開始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應過程。穩(wěn)態(tài)過程：時間趨近于無窮大時，系統輸出狀態(tài)的表現形式。它表征系統輸出量最終復現輸入量的程度，提供有關穩(wěn)態(tài)誤差的信息。動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程2/4/20247《自動控制原理》第三章時域分析控制系統在典型輸入信號作用下的性能指標，通常由動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能兩部分組成。值得注意的是，只有對穩(wěn)定控制系統進行時域分析才有意義??！動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能2/4/20248《自動控制原理》第三章時域分析h(t)t時間tr上升峰值時間tpAB超調量σ%=AB100%h(t)t調節(jié)時間tsh(t)t時間tr上升峰值時間tpAB超調量σ%=AB100%調節(jié)時間ts動態(tài)性能

一般由單位階躍響應表征系統動態(tài)性能。2/4/20249《自動控制原理》第三章時域分析一階系統對典型輸入信號的響應2/4/202410《自動控制原理》第三章時域分析3.3二階系統的時域分析一、

二階系統數學模型及其標準形式RLC電路、電動機轉速控制系統2/4/202411《自動控制原理》第三章時域分析典型二階系統是一個前向通道為慣性環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)串聯的單位負反饋系統。令則二階系統傳遞函數的標準形式為

其中ζ

稱為系統的阻尼比，τ為時間常數，ωn為自然振蕩角頻率（無阻尼自振角頻率）。2/4/202412《自動控制原理》第三章時域分析注意：在控制工程中，二階系統的典型應用極為普遍；眾多高階系統在一定條件下可近似為二階系統?？刂乒こ讨?，除了那些不容許產生振蕩響應的系統外，通常都希望控制系統具有適度的阻尼ζ、快速的響應速度和較短的調節(jié)時間。2/4/202413《自動控制原理》第三章時域分析隨動系統（AServoSystem，位置控制系統）如下圖所示。二階系統示例2/4/202414《自動控制原理》第三章時域分析該系統的任務：控制機械負載的位置，使其與參考位置相協調。工作原理：用一對（輸入、輸出）電位計作系統的誤差測量裝置，它們可以將輸入和輸出位置信號轉換為與位置成正比的電信號。輸入電位計電刷臂的角位置θr

由控制輸入信號確定。角位置θr

就是系統的參考輸入量，而電刷臂上的電位與電刷臂的角位置成正比。輸出電位計電刷臂的角位置θc

由輸出軸的位置確定。

2/4/202415《自動控制原理》第三章時域分析電位差e=Ks(er-ec)就是誤差信號。Ks為橋式電位器的傳遞函數，該信號被增益常數為KA的放大器放大（KA應具有很高的輸入阻抗和很低的輸出阻抗）。放大器的輸出電壓作用到直流電動機的電樞電路上。電動機激磁繞組上加有固定電壓。如果出現誤差信號，電動機就產生力矩以轉動輸出負載，并使誤差信號減少到零。2/4/202416《自動控制原理》第三章時域分析當激磁電流固定時，電動機產生的力矩（電磁轉距）為：Cm電動機的轉矩系數，ia為電樞電流對于電樞電路：La和Ra分別為電動機電樞繞組的電感和電阻，Kb為電動機的反電勢常數，θ為電動機的軸的角位移。電動機的力矩平衡方程為：J為電動機負載和齒輪傳動裝置，折合到電動機軸上的組合轉動慣量；f

為電動機負載和齒輪傳動裝置，折合到電動機軸上的粘性摩擦系數。**********2/4/202417《自動控制原理》第三章時域分析因為反饋回路傳遞函數為1，開環(huán)傳遞函數（即前向通路傳遞函數）如果略去電樞電感LaK1=KsKaCm/(iRa)為增益，F=f+CmKb/Ra

為阻尼系數，K=K1/F為開環(huán)增益，Tm=J/F為機電時間常數。電動機反電勢Kb

的存在，增大了系統粘性摩擦。若不考慮負載力矩，隨動系統的開環(huán)傳函簡化為：2/4/202418《自動控制原理》第三章時域分析

若不考慮負載力矩，隨動系統的開環(huán)傳函簡化為：（相當于積分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)的串聯）相應的閉環(huán)傳遞函數為：2/4/202419《自動控制原理》第三章時域分析二、二階系統的特征根（極點）分布

求解二階系統的特征方程，可得或兩個負實根兩個共軛虛根2/4/202420《自動控制原理》第三章時域分析2/4/202421《自動控制原理》第三章時域分析

(1).

欠阻尼0<ζ<1

是一對共軛復數根。

(2).

臨界阻尼ζ

=1

是兩個相同的負實根。

(3).

過阻尼ζ

>1

是兩個不同的負實根。

(4).

無阻尼ζ

=0

是一對共軛純虛數根。2/4/202422《自動控制原理》第三章時域分析三、二階系統的單位階躍響應

對于單位階躍輸入于是由拉氏反變換可得二階系統的單位階躍響應下面按阻尼比分別討論。2/4/202423《自動控制原理》第三章時域分析過阻尼(ζ>1)

這種情況下，系統存在兩個不等的負實根，則（留數）2/4/202424《自動控制原理》第三章時域分析

由拉氏反變換可得過阻尼系統的單位階躍響應：穩(wěn)態(tài)分量：1暫態(tài)分量：兩個指數函數之和，指數部分由系統傳遞函數的極點確定。2/4/202425《自動控制原理》第三章時域分析討論：過阻尼系統是兩個慣性環(huán)節(jié)的串聯。

分析表明，當ζ?1時，兩個極點s1和s2與虛軸的距離相差很大，此時靠近虛軸的極點所對應的慣性環(huán)節(jié)的時間響應與原二階系統非常接近，可以用該慣性環(huán)節(jié)來近似原來的二階系統。即有2/4/202426《自動控制原理》第三章時域分析近似原則：用其中一個慣性環(huán)節(jié)近似原二階系統，需要保證近似前后初值和終值相等，并且要用到待定系數法！2/4/202427《自動控制原理》第三章時域分析

過阻尼系統穩(wěn)態(tài)值和最終誤差過渡過程時間（按近似后的一階系統求出）2/4/202428《自動控制原理》第三章時域分析

過阻尼系統單位階躍響應的變化率所以，在整個暫態(tài)過程中，階躍響應都是單調增長的。

2/4/202429《自動控制原理》第三章時域分析2.

臨界阻尼(ζ＝1)

此時，系統具有二重負實極點，則（留數）2/4/202430《自動控制原理》第三章時域分析

單位階躍響應為表明臨界阻尼系統的階躍響應是單調上升的。單位階躍響應的變化率為：

臨界阻尼系統單位階躍響應的誤差及終值2/4/202431《自動控制原理》第三章時域分析2/4/202432《自動控制原理》第三章時域分析解得。整個暫態(tài)過程中，臨界阻尼系統階躍響應都是單調增長的沒有超調。如以達到穩(wěn)態(tài)值的95%所經歷的時間做為調整時間，則臨界阻尼二階系統多在記錄儀表中使用。

單位階躍響應變化率最大的時刻：2/4/202433《自動控制原理》第三章時域分析3.

欠阻尼(0<

ζ

<1)

此時，系統具有一對共軛復數極點，則2/4/202434《自動控制原理》第三章時域分析二階欠阻尼系統極點的表示：

（1）直角坐標法（2）極坐標法2/4/202435《自動控制原理》第三章時域分析拉氏反變換，得欠阻尼系統單位階躍響應為或寫為2/4/202436《自動控制原理》第三章時域分析2/4/202437《自動控制原理》第三章時域分析討論:(1)欠阻尼情況下，二階系統的單位階躍響應是衰減的正弦振蕩曲線。衰減速度取決于特征根實部的絕對值ζωn

的大小，振蕩角頻率是特征根虛部的絕對值，即有阻尼自振角頻率ωd

，(2)振蕩周期為

(3)ζ越大，振幅衰減越快，振蕩周期越長（頻率越低）。2/4/202438《自動控制原理》第三章時域分析(4)上升時間tr的計算：

或即因而2/4/202439《自動控制原理》第三章時域分析(5)峰值時間tp的計算：

出現峰值時，階躍響應隨時間的變化率為0，即

則故到達峰值時到達第一個峰值時應有2/4/202440《自動控制原理》第三章時域分析(6)最大超調量的計算：

2/4/202441《自動控制原理》第三章時域分析(7)調整時間ts

的計算：

欠阻尼二階系統的單位階躍響應曲線位于一對曲線

以內，這對曲線稱為響應曲線的包絡線?？梢圆捎冒j線代替實際響應曲線估算調整時間，所得結果一般略偏大。2/4/202442《自動控制原理》第三章時域分析解得當Δ＝5％時，當Δ＝2％時，當0<ζ

<0.8時，設計二階系統時，常取ζ=0.707為最佳阻尼比。若允許誤差帶是±Δ（如±2％），可以認為調整時間就是包絡線衰減到±Δ區(qū)域所需的時間，則有

2/4/202443《自動控制原理》第三章時域分析在較大的ζ

值范圍內，近似有

0<ζ

<1時，亦可用*(8)

滯后時間td

的計算：考慮到可知2/4/202444《自動控制原理》第三章時域分析設計二階系統時，可先由超調量確定阻尼比ζ

，再由其他指標（如調整時間）和已確定的阻尼比給出自然振蕩角頻率wn。欠阻尼二階系統單位階躍響應性能指標計算公式2/4/202445《自動控制原理》第三章時域分析例3-2：設一個帶速度反饋的伺服系統，其結構圖如圖所示。要求系統的性能指標為σp=20%,tp=1s。試確定系統的K和KA值，并計算性能指標tr、ts

和N。

圖3-102/4/202446《自動控制原理》第三章時域分析2/4/202447《自動控制原理》第三章時域分析得2/4/202448《自動控制原理》第三章時域分析2/4/202449《自動控制原理》第三章時域分析例：系統的結構圖和r(t)=1(t)時的響應h(t)如下圖所示，求K1、K2和a。

2/4/202450《自動控制原理》第三章時域分析解：由題意可知

2/4/202451《自動控制原理》第三章時域分析由(1)(2)和(3)可得由(4)(5)和(2)得2/4/202452《自動控制原理》第三章時域分析系統極點分布2/4/202453《自動控制原理》第三章時域分析例：系統結構圖如下，試求

1）當時K=10系統的動態(tài)性能；

2）使系統阻尼比ζ=0.707時的值。2/4/202454《自動控制原理》第三章時域分析解：1)K=10時，

2/4/202455《自動控制原理》第三章時域分析(2)2/4/202456《自動控制原理》第三章時域分析4.無阻尼（ζ＝0）

無阻尼情況下系統的階躍響應是等幅正（余）弦振蕩曲線，振蕩角頻率是

2/4/202457《自動控制原理》第三章時域分析

不同ζ

下，二階系統的單位階躍響應曲線圖0123456789101112

ntc(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0

=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.02/4/202458《自動控制原理》第三章時域分析幾點結論:1）二階系統的阻尼比ζ

決定了其振蕩特性：ζ<0（負阻尼）時，階躍響應發(fā)散，系統不穩(wěn)定ζ=0時，出現等幅振蕩0<ζ<1時，有振蕩，ζ

愈小振蕩愈嚴重，但響應愈快ζ≥1時，無振蕩、無超調，但過渡過程長2/4/202459《自動控制原理》第三章時域分析2/4/202460《自動控制原理》第三章時域分析2）ζ一定時，ωn越大，瞬態(tài)響應分量衰減越迅速，

系統能夠更快達到穩(wěn)態(tài)值，響應的快速性越好。