2024屆蘇州市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆蘇州市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A．-1 B． C．1 D．-32．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且.已知，則函數(shù)圖象不經(jīng)過第二象限的概率為()A．0.3750 B．0.3000 C．0.2500 D．0.20003．已知(為虛數(shù)單位)，則A． B． C． D．4．離散型隨機(jī)變量X的分布列為，，2，3，則（）A．14a B．6a C． D．65．某教師有相同的語文參考書本，相同的數(shù)學(xué)參考書本，從中取出本贈(zèng)送給位學(xué)生，每位學(xué)生本，則不同的贈(zèng)送方法共有（）A．種 B．種 C．種 D．種6．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過且斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，則的內(nèi)切圓半徑為()A． B． C． D．7．已知奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，若，，則的大小關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．8．給出命題①零向量的長(zhǎng)度為零，方向是任意的．②若，都是單位向量，則．③向量與向量相等．④若非零向量與是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)共線．以上命題中，正確命題序號(hào)是（）A．① B．② C．①和③ D．①和④9．已知函數(shù).正實(shí)數(shù)滿足，則下述結(jié)論中正確的一項(xiàng)是()A． B．C． D．10．定積分的值為()A．3 B．1 C． D．11．若函數(shù)，則（）A． B． C． D．12．已知命題，，那么命題為（）A．， B．，C．， D．，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)若任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是____________14．若不同的兩點(diǎn)和在參數(shù)方程（為參數(shù)）表示的曲線上，則與的距離的最大值是__________．15．從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì)，這對(duì)對(duì)角線所成的角為的概率為________16．隨機(jī)變量，變量，是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù).（1）求過點(diǎn)的切線方程；（2）若方程有3個(gè)不同的實(shí)根，求的取值范圍。（3）已知當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（12分）為了分析某個(gè)高三學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，對(duì)其下一階段的學(xué)習(xí)提供指導(dǎo)性建議．現(xiàn)對(duì)他前7次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)、物理成績(jī)進(jìn)行分析．下面是該生7次考試的成績(jī)．?dāng)?shù)學(xué)888311792108100112物理949110896104101106（1）他的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)哪個(gè)更穩(wěn)定？請(qǐng)給出你的證明；（2）已知該生的物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)是線性相關(guān)的，若該生的物理成績(jī)達(dá)到115分，請(qǐng)你估計(jì)他的數(shù)學(xué)成績(jī)大約是多少？并請(qǐng)你根據(jù)物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)的相關(guān)性，給出該生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理上的合理建議．參考公式：方差公式：，其中為樣本平均數(shù).，。19．（12分）已知函數(shù)，.（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，若對(duì)任意兩個(gè)不等的正數(shù)，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；20．（12分）大型綜藝節(jié)目,《最強(qiáng)大腦》中，有一個(gè)游戲叫做盲擰魔方，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進(jìn)行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方，盲擰在外人看來很神奇，其實(shí)原理是十分簡(jiǎn)單的，要學(xué)會(huì)盲擰也是很容易的根據(jù)調(diào)查顯示，是否喜歡盲擰魔方與性別有關(guān)為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，某興趣小組隨機(jī)抽取了50名魔方愛好者進(jìn)行調(diào)查，得到的情況如表所示，并邀請(qǐng)其中20名男生參加盲擰三階魔方比賽，其完成情況如表所示．（Ⅰ）將表補(bǔ)充完整，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為是否喜歡盲擰與性別有關(guān)？（Ⅱ）現(xiàn)從表中成功完成時(shí)間在和這兩組內(nèi)的6名男生中任意抽取2人對(duì)他們的盲擰情況進(jìn)行視頻記錄，求2人成功完成時(shí)間恰好在同一組內(nèi)的概率．附參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．21．（12分）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）證明：；（Ⅲ）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：.22．（10分）手機(jī)廠商推出一款6寸大屏手機(jī)，現(xiàn)對(duì)500名該手機(jī)使用者（200名女性，300名男性）進(jìn)行調(diào)查，對(duì)手機(jī)進(jìn)行評(píng)分，評(píng)分的頻數(shù)分布表如下：女性用戶分值區(qū)間[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]頻數(shù)2040805010男性用戶分值區(qū)間[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]頻數(shù)4575906030（1）完成下列頻率分布直方圖，并比較女性用戶和男性用戶評(píng)分的波動(dòng)大?。ú挥?jì)算具體值，給出結(jié)論即可）；（2）把評(píng)分不低于70分的用戶稱為“評(píng)分良好用戶”，完成下列列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認(rèn)為“評(píng)分良好用戶”與性別有關(guān)？女性用戶男性用戶合計(jì)“認(rèn)可”手機(jī)“不認(rèn)可”手機(jī)合計(jì)參考附表：參考公式，其中

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算可得z＝1﹣3i，從而可得答案．【題目詳解】,∴復(fù)數(shù)z的虛部是-3故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解題分析】圖象不經(jīng)過第二象限，，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，函數(shù)圖象不經(jīng)過第二象限的概率為，故選C.3、B【解題分析】

由題得，再利用復(fù)數(shù)的除法計(jì)算得解.【題目詳解】由題得，故答案為：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.4、C【解題分析】

由離散型隨機(jī)變量X的分布列得a+2a+3a＝1，從而，由此能求出E（X）．【題目詳解】解：∵離散型隨機(jī)變量X的分布列為，，∴，解得，∴．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解題分析】若本中有本語文和本數(shù)學(xué)參考，則有種方法，若本中有本語文和本參考，則有種方法，若本中有語文和本參考，則有種方法，若本都是數(shù)學(xué)參考書，則有一種方法，所以不同的贈(zèng)送方法共有有，故選B.6、C【解題分析】分析：根據(jù)韋達(dá)定理結(jié)合三角形面積公式求出的面積，利用橢圓的定義求出三角形的周長(zhǎng)，代入內(nèi)切圓半徑，從而可得結(jié)果.詳解：橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，則的坐標(biāo)為，過且斜率為的直線為，即，代入，得，則，故的面積，的周長(zhǎng)，故的內(nèi)切圓半徑，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查利用橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)與橢圓定義的應(yīng)用，屬于中檔題.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸、橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.7、D【解題分析】

令，則，根據(jù)題意得到時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，求得，再由函數(shù)的奇偶性得到，即可作出比較，得到答案．【題目詳解】由題意，令，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，又由函?shù)為奇函數(shù)，所以，所以，所以，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題意，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于難題．8、A【解題分析】

根據(jù)零向量和單位向量的定義，易知①正確②錯(cuò)誤，由向量的表示方法可知③錯(cuò)誤，由共線向量的定義和四點(diǎn)共線的意義可判斷④錯(cuò)誤【題目詳解】根據(jù)零向量的定義可知①正確；根據(jù)單位向量的定義，單位向量的模相等，但方向可不同，故兩個(gè)單位向量不一定相等，故②錯(cuò)誤；與向量互為相反向量，故③錯(cuò)誤；若與是共線向量，那么可以在一條直線上，也可以不在一條直線上，只要它們的方向相同或相反即可，故④錯(cuò)誤，故選A.【題目點(diǎn)撥】向量中有一些容易混淆的概念，如共線向量，它指兩個(gè)向量方向相同或相反，這兩個(gè)向量對(duì)應(yīng)的起點(diǎn)和終點(diǎn)可以不在一條直線上，實(shí)際上共線向量就是平行向量．9、A【解題分析】由，即，從而，令，則由得，，可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，可得或，又，因此成立，故選A.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，一元二次不等式的解法及數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與劃歸思想.屬于難題.轉(zhuǎn)化與劃歸思想解決高中數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決知識(shí)點(diǎn)較多以及知識(shí)跨度較大的問題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準(zhǔn)突破點(diǎn).以便將問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的知識(shí)領(lǐng)域，進(jìn)而順利解答，希望同學(xué)們能夠熟練掌握并應(yīng)用于解題當(dāng)中.解答本題的關(guān)鍵是將方程問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求最值進(jìn)而通過解不等式解答.10、C【解題分析】

運(yùn)用定積分運(yùn)算公式，進(jìn)行求解計(jì)算.【題目詳解】，故本題選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了定積分的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解題分析】

首先計(jì)算，然后再計(jì)算的值.【題目詳解】,.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了分段函數(shù)求值，屬于計(jì)算題型.12、C【解題分析】特稱命題的否定為全稱命題，則為，，故選C．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先根據(jù)解析式以及偶函數(shù)性質(zhì)確定函數(shù)單調(diào)性，再化簡(jiǎn)不等式，分類討論分離不等式，最后根據(jù)函數(shù)最值求m取值范圍，即得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)為單調(diào)遞減函數(shù)，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，因此不等式恒成立，等價(jià)于不等式恒成立，即，平方化簡(jiǎn)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，；當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，（舍）；綜上，因此實(shí)數(shù)的最大值是.【題目點(diǎn)撥】解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時(shí)要注意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi).14、【解題分析】

將曲線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程可知,曲線為半徑為2的圓,所以當(dāng)為圓的直徑時(shí),與的距離的最大值是2.【題目詳解】由參數(shù)方程（為參數(shù)）,可得,所以點(diǎn)和在半徑為1的圓上,所以當(dāng)為圓的直徑時(shí),與的距離的最大值是2.故答案為:2【題目點(diǎn)撥】本題考查了參數(shù)方程化普通方程,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

正方體的面對(duì)角線共有12條，能夠數(shù)出每一條對(duì)角線和另外的8條構(gòu)成8對(duì)直線所成角為60°，得共有12×8對(duì)對(duì)角線所成角為60°，并且容易看出有一半是重復(fù)的，得正方體的所有對(duì)角線中，所成角是60°的有48對(duì)，根據(jù)古典概型概率公式求解即可．【題目詳解】如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，與上平面A1B1C1D1中一條對(duì)角線A1C1成60°的直線有：A1D，B1C，A1B，D1C，BC1，AD1，C1D，B1A共八對(duì)直線，總共12條對(duì)角線；∴共有12×8＝96對(duì)面對(duì)角線所成角為60°，而有一半是重復(fù)的；∴從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì)，其中所成的角為60°的共有48對(duì)．而正方體的面對(duì)角線共有12條，所以概率為：故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查正方體面對(duì)角線的關(guān)系，考查了古典概型的概率問題，而對(duì)于本題知道96對(duì)直線中有一半是重復(fù)的是求解本題的關(guān)鍵．16、40【解題分析】分析：先根據(jù)二項(xiàng)分布得,再根據(jù)，得詳解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以點(diǎn)睛：二項(xiàng)分布)，則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）【解題分析】

求導(dǎo)帶入求出切線斜率，再利用點(diǎn)斜式寫出切線。求出的單調(diào)區(qū)間，極值，則在極小值與極大值之間。參變分離，求最值?！绢}目詳解】(1)設(shè)切點(diǎn)為切線過(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得函數(shù)令，即，解得，或，即，解得，的單調(diào)遞增區(qū)間是及，單調(diào)遞減區(qū)間是當(dāng),有極大值；當(dāng)，有極小值當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有3個(gè)不同交點(diǎn)，此時(shí)方程有3個(gè)不同實(shí)根。實(shí)數(shù)的取值范圍為(3)時(shí)，恒成立，也就是恒成立，令，則，的最小值為，【題目點(diǎn)撥】本題考查曲線上某點(diǎn)的切線方程，兩方程的交點(diǎn)問題以及參變分離。屬于中檔題。18、（1）物理成績(jī)更穩(wěn)定.證明見解析；（2）130分，建議：進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，提高數(shù)學(xué)成績(jī)的穩(wěn)定性，將有助于物理成績(jī)的進(jìn)一步提高【解題分析】

（1）分別算出物理成績(jī)和數(shù)學(xué)成績(jī)的方差；（2）利用最小二乘法，求出關(guān)于的回歸方程，再用代入回歸方程，求得.【題目詳解】（1），，∴，∴，從而，∴物理成績(jī)更穩(wěn)定.（2）由于與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)回歸系數(shù)公式得到，，∴線性回歸方程為，當(dāng)時(shí)，.建議：進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，提高數(shù)學(xué)成績(jī)的穩(wěn)定性，將有助于物理成績(jī)的進(jìn)一步提高【題目點(diǎn)撥】本題考查統(tǒng)計(jì)中的方差、回歸直線方程等知識(shí)，考查基本的數(shù)據(jù)處理能力，要求計(jì)算要細(xì)心，防止計(jì)算出錯(cuò).19、(1).(2).【解題分析】分析：（1）由題意，求得，得到方程，即可求解實(shí)數(shù)的值；（2）由題意，對(duì)任意兩個(gè)不等的正數(shù)，都有恒成立，設(shè)，則即恒成立，問題等價(jià)于函數(shù)在上為增函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可額求解．詳解：（1）由，得.由題意，，所以.（2）.因?yàn)閷?duì)任意兩個(gè)不等的正數(shù)，都有恒成立，設(shè)，則即恒成立.問題等價(jià)于函數(shù)，即在上為增函數(shù)，所以在上恒成立.即在上恒成立.所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．20、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)總?cè)藬?shù)和表格中的數(shù)據(jù)可以完成，計(jì)算卡方觀測(cè)值，結(jié)合卡方觀測(cè)值所在區(qū)間判定；（Ⅱ）根據(jù)古典概型的求解方法求解.【題目詳解】解：Ⅰ依題意，補(bǔ)充完整的表1如下：喜歡盲擰不喜歡盲擰總計(jì)男23730女91120總計(jì)321850由表中數(shù)據(jù)計(jì)算的觀測(cè)值為所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為是否喜歡盲擰與性別有關(guān)．(Ⅱ)從成功完成時(shí)間在和這兩組內(nèi)的6名男生中任意抽取2人，基本事件總數(shù)為種，這2人恰好在同一組內(nèi)的基本事件為種，故所求的概率為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)和古典概率的求解，側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析，數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).21、（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析.【解題分析】

（Ⅰ）由題意，得，可求出；（Ⅱ）由，得與同號(hào)，可得，再由可得，問題得證；（Ⅲ