黑龍江省哈爾濱市哈爾濱師大附中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試試題含解析

黑龍江省哈爾濱市哈爾濱師大附中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，F(xiàn)為線段CD上一動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），現(xiàn)將△ADF沿直線AF進(jìn)行翻折，在翻折過程中不可能成立的是（）A．存在某個(gè)位置，使直線AF與BD垂直 B．存在某個(gè)位置，使直線AD與BF垂直C．存在某個(gè)位置，使直線CF與DA垂直 D．存在某個(gè)位置，使直線AB與DF垂直2．已知正三棱錐的外接球的半徑為，且滿足則正三棱錐的體積為()A． B． C． D．3．函數(shù)的最大值為（）A． B．1 C．4033 D．4．從名學(xué)生志愿者中選擇名學(xué)生參加活動，若采用下面的方法選?。合扔煤唵坞S機(jī)抽樣從人中剔除人，剩下的人再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取人，則在人中，每人入選的概率（）A．不全相等 B．均不相等C．都相等，且為 D．都相等，且為5．把18個(gè)人平均分成兩組，每組任意指定正副組長各1人，則甲被指定為正組長的概率為（）A． B． C． D．6．直線的斜率為（）A． B． C． D．7．已知隨機(jī)變量X~Bn,p，且EX=2.4,DA．6，0.4. B．8，0.3 C．12，0.2 D．5，0.68．某大學(xué)安排5名學(xué)生去3個(gè)公司參加社會實(shí)踐活動，每個(gè)公司至少1名同學(xué)，安排方法共有()種A．60 B．90 C．120 D．1509．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“”，由到時(shí)，等式左邊需要添加的項(xiàng)是（）A． B．C． D．10．小明跟父母、爺爺奶奶一同參加《中國詩詞大會》的現(xiàn)場錄制,5人坐成一排.若小明的父母都不與他相鄰,則不同坐法的總數(shù)為（）A．12 B．36 C．84 D．9611．2018年6月14日，世界杯足球賽在俄羅斯拉開帷幕.通過隨機(jī)調(diào)查某小區(qū)100名性別不同的居民是否觀看世界杯比賽，得到以下列聯(lián)表：觀看世界杯不觀看世界杯總計(jì)男402060女152540總計(jì)5545100經(jīng)計(jì)算的觀測值.附表：0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828參照附表，所得結(jié)論正確的是（）A．有以上的把握認(rèn)為“該小區(qū)居民是否觀看世界杯與性別有關(guān)”B．有以上的把握認(rèn)為“該小區(qū)居民是否觀看世界杯與性別無關(guān)”C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為“該小區(qū)居民是否觀看世界杯與性別有關(guān)”D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為“該小區(qū)居民是否觀看世界杯與性別無關(guān)”12．已知命題；命題若，則．則下列命題為真命題的是A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知過點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn)，拋物線上有一點(diǎn)使,若是拋物線的切線，則直線的方程是___．14．已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的數(shù)值范圍為________.15．如圖所示，在圓錐中，為底面圓的兩條直徑，，且,，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為__________.16．若復(fù)數(shù)z=(a+i)2是純虛數(shù)(i是虛數(shù)單位)，a為實(shí)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的模為三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）第18屆國際籃聯(lián)籃球世界杯將于2019年8月31日至9月15日在中國北京、廣州等八座城市舉行.屆時(shí)，甲、乙、丙、丁四名籃球世界杯志愿者將隨機(jī)分到、、三個(gè)不同的崗位服務(wù)，每個(gè)崗位至少有一名志愿者.（1）求甲、乙兩人不在同一個(gè)崗位服務(wù)的概率；（2）設(shè)隨機(jī)變量為這四名志愿者中參加崗位服務(wù)的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.18．（12分）已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).(1)求此四棱錐的體積；(2)求證：平面；(3)求證：平面平面．20．（12分）我市物價(jià)監(jiān)督部門為調(diào)研某公司新開發(fā)上市的一種產(chǎn)品銷售價(jià)格的合理性，對該公司的產(chǎn)品的銷售與價(jià)格進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，得到如下數(shù)據(jù)和散點(diǎn)圖：定價(jià)（元/）102030405060年銷售11506434242621658614.112.912.111.110.28.9圖（1）為散點(diǎn)圖，圖（2）為散點(diǎn)圖.（Ⅰ）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與，與哪一對具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性（不必證明）；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果和參考數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（線性回歸方程中的斜率和截距均保留兩位有效數(shù)字）；（Ⅲ）定價(jià)為多少時(shí)，年銷售額的預(yù)報(bào)值最大？（注：年銷售額定價(jià)年銷售）參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，參考公式：，.21．（12分）已知函數(shù)，，，其中為常數(shù)且，令函數(shù)．（1）求函數(shù)的表達(dá)式，并求其定義域；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域．22．（10分）已知定點(diǎn)及直線,動點(diǎn)到直線的距離為,若.(1)求動點(diǎn)的軌跡C方程；(2)設(shè)是上位于軸上方的兩點(diǎn),坐標(biāo)為,且,的延長線與軸交于點(diǎn),求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

連結(jié)BD，在中，可以作于O，并延長交CD于F，得到成立，得到A正確；由翻折中，保持不變，可得到B正確；根據(jù)翻折過程中，，可得到C錯(cuò)誤；根據(jù)翻折過程中，保持不變，假設(shè)成立，得到平面ABD，結(jié)合題中條件，進(jìn)而可得出結(jié)果.【題目詳解】對于A，連結(jié)BD，在中，可以作于O，并延長交CD于F，則成立，翻折過程中，這個(gè)垂直關(guān)系保持不變，故A正確；對于B，在翻折過程中，保持不變，當(dāng)時(shí)，有平面，從而，此時(shí)，AD＝1，AB＝2，BD＝，故B正確；對于C，在翻折過程中，保持不變，若成立，則平面CDF，從而，AD＝1，AC＝，得CD＝2，在翻折過程中，，即CD＜2，所以，CD＝2不成立，C不正確；對于D，在翻折過程中，保持不變，若成立，則平面ABD，從而，設(shè)此時(shí)，則BF＝，BD＝，只要，BD就存在，所以D正確選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，熟記線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可，屬于?？碱}型.2、A【解題分析】

根據(jù)判斷出為等邊三角形的中心，由此求得正三棱錐的底面積和高，進(jìn)而求得正三棱錐的體積.【題目詳解】由于三棱錐是正三棱錐，頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心.由可知，為等邊三角形的中心，由于正三棱錐的外接球的半徑為，故由正弦定理得，且正三棱錐的高為球的半徑，故正三棱錐的體積為.所以本小題選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查正三棱錐的幾何性質(zhì)，考查向量加法運(yùn)算，考查幾何體外接球有關(guān)問題的求解，屬于中檔題.3、C【解題分析】,選C.4、D【解題分析】

根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣與系統(tǒng)抽樣方法的定義，結(jié)合概率的意義，即可判斷出每個(gè)人入選的概率.【題目詳解】在系統(tǒng)抽樣中，若所給的總體個(gè)數(shù)不能被樣本容量整除時(shí)，則要先剔除幾個(gè)個(gè)體，然后再分組，在剔除過程中，每個(gè)個(gè)體被剔除的概率相等，所以，每個(gè)個(gè)體被抽到包括兩個(gè)過程，一是不被剔除，二是選中，這兩個(gè)過程是相互獨(dú)立的，因此，每個(gè)人入選的概率為.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查簡單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣方法的應(yīng)用，也考查了概率的意義，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】

把18個(gè)人平均分成2組，再從每組里任意指定正、副組長各1人，即從9人中選一個(gè)正組長，甲被選定為正組長的概率，與組里每個(gè)人被選中的概率相等．【題目詳解】由題意知，把18個(gè)人平均分成2組，再從每組里任意指定正、副組長各1人，即從9個(gè)人中選一個(gè)正組長，∴甲被選定為正組長的概率是．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了等可能事件的概率應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．6、A【解題分析】

將直線方程化為斜截式，可得出直線的斜率．【題目詳解】將直線方程化為斜截式可得，因此，該直線的斜率為，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查直線斜率的計(jì)算，計(jì)算直線斜率有如下幾種方法：（1）若直線的傾斜角為且不是直角，則直線的斜率；（2）已知直線上兩點(diǎn)、，則該直線的斜率為；（3）直線的斜率為；（4）直線的斜率為.7、A【解題分析】

由題意知隨機(jī)變量符合二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差的公式，得到關(guān)于n和p的方程組，求解即可．【題目詳解】解：∵X服從二項(xiàng)分布B~(n,p)由E可得1-p=1.44∴p=0.4，n=2.4故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)分布的分布列和期望的簡單應(yīng)用，通過解方程組得到要求的變量，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解題分析】分析：由題意結(jié)合排列組合公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意可知，5人的安排方案為或，結(jié)合平均分組計(jì)算公式可知，方案為時(shí)的方法有種，方案為時(shí)的方法有種，結(jié)合加法公式可知安排方法共有種.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：(1)解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時(shí)，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法．9、D【解題分析】

寫出時(shí)，左邊最后一項(xiàng)，時(shí)，左邊最后一項(xiàng)，由此即可得到結(jié)論【題目詳解】解：∵時(shí)，左邊最后一項(xiàng)為，時(shí)，左邊最后一項(xiàng)為，∴從到，等式左邊需要添加的項(xiàng)為一項(xiàng)為故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的概念，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解題分析】

記事件A:小明的父親與小明相鄰，事件B:小明的母親與小明相鄰，利用捆綁法計(jì)算出事件A、事件B、事件A∩B的排法種數(shù)nA、nB、nA∩B【題目詳解】記事件A:小明的父親與小明相鄰，事件B:小明的母親與小明相鄰，對于事件A，將小明與其父親捆綁，形成一個(gè)元素，與其他四個(gè)元素進(jìn)行排序，則nA=A對于事件A∩B，將小明父母與小明三人進(jìn)行捆綁，其中小明居于中間，形成一個(gè)元素，與其他兩個(gè)元素進(jìn)行排序，則nA∩B=A2【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合綜合問題，考查捆綁法以及容斥原理的應(yīng)用，解題時(shí)要合理利用分類討論思想與總體淘汰法，考查邏輯推理能力，屬于中等題。11、C【解題分析】分析：根據(jù)題目的條件中已經(jīng)給出這組數(shù)據(jù)的觀測值，把所給的觀測值同節(jié)選的觀測值表進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)它大于7.879，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為“該小區(qū)居民是否觀看世界杯與性別有關(guān)”．詳解：由題意算得，，參照附表，可得

在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為“該小區(qū)居民是否觀看世界杯與性別有關(guān)”．

故選：A．點(diǎn)睛：本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．12、B【解題分析】試題分析：顯然命題是真命題；命題若，則是假命題，所以是真命題，故為真命題.考點(diǎn)：命題的真假.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或.【解題分析】分析：由題設(shè)，求導(dǎo)得到直線然后分和兩種情況討論即可得到直線的方程.詳解：由題設(shè)，求導(dǎo)即，則直線當(dāng)時(shí)，驗(yàn)證符合題意，此時(shí)，故，當(dāng)時(shí)，，，或（重合，舍去）此時(shí)，故點(diǎn)睛：本題考查曲線的切線方程的求法，垂直關(guān)系的斜率表示等，屬基礎(chǔ)題.14、.【解題分析】

根據(jù)在上的單調(diào)性列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【題目詳解】依題意可知且，所以.由于在上遞增，所以即，解得.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.15、【解題分析】

由于與是異面直線，所以需要平移為相交直線才能找到異面直線與所成角，由此連接OP再利用中位線的性質(zhì)得到異面直線與所成角為,并求出其正切值．【題目詳解】連接，則，即為異面直線與所成的角，又，，，平面，，即，為直角三角形，.【題目點(diǎn)撥】本題考查了異面直線所成角的計(jì)算，關(guān)鍵是利用三角形中位線的性質(zhì)使異面直線平移為相交直線．16、2【解題分析】分析：先化z為代數(shù)形式，再根據(jù)純虛數(shù)概念得a，最后根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義求結(jié)果.詳解：因?yàn)閦=(a+i)2所以|z|=點(diǎn)睛：首先對于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實(shí)掌握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,(a,b,c.d∈R).其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)的實(shí)部為a、虛部為b、模為a2+b2三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)見解析【解題分析】

（1）先記甲、乙兩人同時(shí)參加同一崗位服務(wù)為事件，根據(jù)題意求出，再由，即可得出結(jié)果；(2)根據(jù)題意，先確定可能取得的值，分別求出對應(yīng)概率，即可得出分布列，從而可計(jì)算出期望.【題目詳解】解：（1）記甲、乙兩人同時(shí)參加同一崗位服務(wù)為事件，那么.所以，甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率是.（2）由題意，知隨機(jī)變量可能取得的值為1，2.則.所以.所以所求的分布列是所以.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查古典概型以及離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，熟記概念以及概率計(jì)算公式即可，屬于?？碱}型.18、（1）的極小值是，無極大值；（2）答案不唯一，具體見解析；（3）.【解題分析】

代入a值，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解導(dǎo)數(shù)不等式得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求極值；求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，解導(dǎo)數(shù)不等式得函數(shù)的遞增區(qū)間；問題轉(zhuǎn)化為，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最大值，從而求a的范圍．【題目詳解】解：時(shí)，，，令，解得：或，令，解得：，故在遞增，在遞減，在遞增，而在處無定義，故的極小值是，無極大值；，當(dāng)時(shí)，解得：或，故函數(shù)在，遞增，當(dāng)時(shí)，解得：，故函數(shù)在遞增；，，令，則，，令，解得：，在遞增，在遞減，即，故．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，綜合性較強(qiáng)．19、（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析．【解題分析】

(1)由題意，根據(jù)棱錐的體積，即求解該四棱錐的體積；(2)在上取中點(diǎn)為，連接和，證得，利用線面平行的判定定理，即可求解.(3)∵，，得到平面，進(jìn)而得，利用線面垂直的判定定理，證得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面⊥平面．【題目詳解】(1)四棱錐的體積.(2)證明：在上取中點(diǎn)為，連接和，則易得，且，且故四邊形為平行四邊形，故，又面，面故面.(3)證明：∵，，又，∴平面，又平面，∴，又，∴平面．∴平面．又面，∴平面⊥平面．【題目點(diǎn)撥】本題考查線面位置關(guān)系的判定與證明，熟練掌握空間中線面位置關(guān)系的定義、判定、幾何特征是解答的關(guān)鍵，其中垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．20、(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)答案見