廣東省揭陽市產(chǎn)業(yè)園2024屆高二數(shù)學第二學期期末復(fù)習檢測模擬試題含解析

廣東省揭陽市產(chǎn)業(yè)園2024屆高二數(shù)學第二學期期末復(fù)習檢測模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，則除以9所得的余數(shù)是A．2 B．3C．5 D．72．函數(shù)的一個零點落在下列哪個區(qū)間（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）3．已知定圓，，定點，動圓滿足與外切且與內(nèi)切，則的最大值為（）A． B． C． D．4．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的六個頂點都在球O的球面上，且側(cè)棱AA1⊥平面ABC，若AB=AC=3，，則球的表面積為（）A．36π B．64π C．100π D．104π5．唐代詩人杜牧的七絕唐詩中的兩句詩為“今來海上升高望，不到蓬萊不成仙?！逼渲泻笠痪洹俺上伞笔恰暗脚钊R”的（）A．充分非必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件6．如圖，在三棱錐中，面，是上兩個三等分點，記二面角的平面角為，則（）A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值7．奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集是（）A． B．C． D．8．甲、乙兩支球隊進行比賽，預(yù)定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束.結(jié)束除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨立.則甲隊以3：2獲得比賽勝利的概率為（）A． B． C． D．9．觀察下列各式：3272112152……據(jù)此規(guī)律.所得的結(jié)果都是8的倍數(shù).由此推測可得（）A．其中包含等式：1032-1=10608 B．C．其中包含等式：532-1=2808 D．10．某城市收集并整理了該市2017年1月份至10月份每月份最低氣溫與最高氣溫（單位：）的數(shù)據(jù)，繪制了折線圖（如圖）.已知該市每月的最低氣溫與當月的最高氣溫兩變量具有較好的線性關(guān)系，則根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是（）A．最低氣溫低于的月份有個B．月份的最高氣溫不低于月份的最高氣溫C．月溫差（最高氣溫減最低氣溫）的最大值出現(xiàn)在月份D．每月份最低氣溫與當月的最高氣溫兩變量為正相關(guān)11．已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．拋擲甲、乙兩顆骰子，若事件A：“甲骰子的點數(shù)大于4”；事件B：“甲、乙兩骰子的點數(shù)之和等于7”，則的值等于（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有種（用數(shù)字作答）．14．設(shè)全集，集合，，則_．15．已知某圓柱是將邊長為2的正方形（及其內(nèi)部）繞其一條邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的，則該圓柱的體積為_______.16．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，b＝2，若滿足條件的△ABC有且僅有一個，則a的取值范圍是_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性；當時，求函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù).18．（12分）在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知點的直角坐標為，曲線的極坐標方程為，直線過點且與曲線相交于，兩點.（1）求曲線的直角坐標方程；（2）若，求直線的直角坐標方程.19．（12分）（1）解不等式:（2）設(shè)，求證：20．（12分）設(shè)為虛數(shù)單位，為正整數(shù)，（1）證明：；（2），利用（1）的結(jié)論計算．21．（12分）證明下列不等式.（1）當時，求證：；（2）設(shè)，，若，求證：.22．（10分）某市為迎接“國家義務(wù)教育均衡發(fā)展”綜合評估，市教育行政部門在全市范圍內(nèi)隨機抽取了所學校，并組織專家對兩個必檢指標進行考核評分.其中分別表示“學校的基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)”和“學校的師資力量”兩項指標，根據(jù)評分將每項指標劃分為(優(yōu)秀)、(良好)、(及格）三個等級，調(diào)查結(jié)果如表所示.例如：表中“學校的基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)”指標為等級的共有所學校.已知兩項指標均為等級的概率為0.21.（1）在該樣本中，若“學校的基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)”優(yōu)秀率是0.4，請?zhí)顚懴旅媪新?lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認為“學校的基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)”和“學校的師資力量”有關(guān)；師資力量（優(yōu)秀）師資力量（非優(yōu)秀）合計基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)（優(yōu)秀）基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)（非優(yōu)秀）合計（2）在該樣本的“學校的師資力量”為等級的學校中，若，記隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望.附:

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)，將化簡為，再展開即可得出結(jié)果.【題目詳解】，所以除以9的余數(shù)為1．選D.【題目點撥】本題考查組合數(shù)的性質(zhì)，考查二項式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的零點存在原理判斷區(qū)間端點處函數(shù)值的符號情況，從而可得答案.【題目詳解】由的圖像在上是連續(xù)不間斷的.且在上單調(diào)遞增，又，,根據(jù)函數(shù)的零點存在原理有：在在有唯一零點且在內(nèi).故選：B.【題目點撥】本題考查函數(shù)的零點所在區(qū)間，利用函數(shù)的零點存在原理可解決，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】

將動圓的軌跡方程表示出來：,利用橢圓的性質(zhì)將距離轉(zhuǎn)化,最后利用距離關(guān)系得到最值.【題目詳解】定圓，，動圓滿足與外切且與內(nèi)切設(shè)動圓半徑為，則表示橢圓，軌跡方程為：故答案選A【題目點撥】本題考查了軌跡方程，橢圓的性質(zhì)，利用橢圓性質(zhì)變換長度關(guān)系是解題的關(guān)鍵.4、C【解題分析】分析：求出，由正弦定理可得可得外接圓的半徑，從而可求該三棱柱的外接球的半徑，即可求出三棱柱的外接球表面積.詳解：，，∴三角形的外接圓直徑，，平面，，∴該三棱柱的外接球的半徑，∴該三棱柱的外接球的表面積為，故選C．點睛：本題主要考查三棱柱的外接球表面積，正弦定理的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用以及考查直線和平面的位置關(guān)系，意在考查綜合空間想象能力、數(shù)形結(jié)合思想以及運用所學知識解決問題的能力.5、A【解題分析】

根據(jù)命題的“真、假”，條件與結(jié)論的關(guān)系即可得出選項?！绢}目詳解】不到蓬萊不成仙，成仙到蓬萊，“成仙”是到“到蓬萊”的充分條件，但“到蓬萊”是否“成仙”不確定，因此“成仙”是“到蓬萊”的充分非必要條件。故選：A【題目點撥】充分、必要條件有三種判斷方法：1、定義法：直接判斷“若則”和“若則”的真假。2、等假法：利用原命題與逆否命題的關(guān)系判斷。3、若，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若,則A是B的充要條件。6、B【解題分析】

將三棱錐放入長方體中，設(shè)，，，計算，，則，得到答案.【題目詳解】將三棱錐放入長方體中，設(shè)，，，如圖所示：過作平面與，與，連接，則為二面角的平面角，設(shè)為，則，，故.同理可得：設(shè)二面角的平面角為，.，當，即時等號成立.故選：.【題目點撥】本題考查了二面角，和差公式，均值不等式，意在考查學生的計算能力，空間想象能力和綜合應(yīng)用能力.7、A【解題分析】

根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，以及上的單調(diào)性，判斷出上的單調(diào)性，求得的值，對分為四種情況討論，由此求得不等式的解集，進而求得的解集.【題目詳解】由于函數(shù)為奇函數(shù)，且在上遞減，故在上遞減，由于，所以當或時，；當或時，.所以當或時.故當或即或時，.所以不等式的解集為.故本小題選A.【題目點撥】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查函數(shù)變換，考查含有函數(shù)符號的不等式的解法，屬于中檔題.8、B【解題分析】若是3:2獲勝，那么第五局甲勝，前四局2:2，所以概率為，故選B.9、A【解題分析】

先求出數(shù)列3,7,11,15，……的通項，再判斷得解.【題目詳解】數(shù)列3,7,11,15，……的通項為an當n=26時，a26故選：A【題目點撥】本題主要考查歸納推理，考查等差數(shù)列的通項的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解題分析】

由該市2017年1月份至10月份各月最低氣溫與最高氣溫（單位：℃）的數(shù)據(jù)的折線圖，得最低氣溫低于0℃的月份有3個．【題目詳解】由該市2017年1月份至10月份各月最低氣溫與最高氣溫（單位：℃）的數(shù)據(jù)的折線圖，得：在A中，最低氣溫低于0℃的月份有3個，故A錯誤．在B中，10月的最高氣溫不低于5月的最高氣溫，故B正確；在C中，月溫差（最高氣溫減最低氣溫）的最大值出現(xiàn)在1月，故C正確；在D中，最低氣溫與最高氣溫為正相關(guān)，故D正確；故選：A．【題目點撥】本題考查命題真假的判斷，考查折線圖等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．11、A【解題分析】分析：由題意可得即有兩個不等的實數(shù)解．令，求出導數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，畫出圖象，通過圖象即可得到結(jié)論．詳解：函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個零點，

等價為即有兩個不等的實數(shù)解．令，，

當時，遞減；當時，遞增．在處取得極大值，且為最大值．當．

畫出函數(shù)的圖象，

由圖象可得時，和有兩個交點，

即方程有兩個不等實數(shù)解，有兩個零點．

故選A．點睛：本題考查函數(shù)的零點問題，注意運用轉(zhuǎn)化思想，考查構(gòu)造函數(shù)法，運用導數(shù)判斷單調(diào)性，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．12、C【解題分析】本小題屬于條件概率所以事件B包含兩類：甲5乙2;甲6乙1;所以所求事件的概率為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、390【解題分析】

用2色涂格子有種方法,

用3色涂格子,第一步選色有,第二步涂色,共有種,

所以涂色方法種方法,

故總共有390種方法.

故答案為:39014、【解題分析】

利用已知求得：，即可求得：，再利用并集運算得解.【題目詳解】由可得：或所以所以所以故填：【題目點撥】本題主要考查了補集、并集的運算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．15、【解題分析】

根據(jù)題意得到圓柱底面圓半徑為，高為，根據(jù)圓柱的體積公式，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因為圓柱是將邊長為2的正方形（及其內(nèi)部）繞其一條邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的，則圓柱底面圓半徑為，高為，所以該圓柱的體積是.故答案為：【題目點撥】本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的體積，熟記圓柱體積公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.16、a或0＜a≤2【解題分析】

先根據(jù)求得，結(jié)合正弦定理及解的個數(shù)來確定a的取值范圍.【題目詳解】因為，所以，由于在三角形中，所以，即，因為，所以.由正弦定理可得，因為滿足條件的△ABC有且僅有一個，所以或者，所以或者.【題目點撥】本題主要考查利用三角形解的個數(shù)求解參數(shù)的范圍，三角形解的個數(shù)一般可以利用幾何法或者代數(shù)法來求解，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析；(2)見解析【解題分析】

（1）先對函數(shù)求導，分別討論，，即可得出結(jié)果；（2）先由（1）得時，函數(shù)的最大值，分別討論，，，即可結(jié)合題中條件求出結(jié)果.【題目詳解】解：（1），，當時，，當時，，當時，；當時，當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）得，當，即時，函數(shù)在內(nèi)有無零點；當，即時，函數(shù)在內(nèi)有唯一零點，又，所以函數(shù)在內(nèi)有一個零點；當，即時，由于，，，若，即時，，由函數(shù)單調(diào)性知使得，使得,故此時函數(shù)在內(nèi)有兩個零點；若，即時，，且，，由函數(shù)的單調(diào)性可知在內(nèi)有唯一的零點，在內(nèi)沒有零點，從而在內(nèi)只有一個零點綜上所述，當時，函數(shù)在內(nèi)有無零點；當時，函數(shù)在內(nèi)有一個零點；當時，函數(shù)在內(nèi)有兩個零點．【題目點撥】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，通常需要對函數(shù)求導，利用導數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，屬于?？碱}型.18、(1)(2)直線的直角坐標方程為或【解題分析】分析：（1）根據(jù)極坐標和直角坐標間的轉(zhuǎn)化公式可得所求．（2）根據(jù)題意設(shè)出直線的參數(shù)方程，代入圓的方程后得到關(guān)于參數(shù)的二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式可求得傾斜角的三角函數(shù)值，進而可得直線的直角坐標方程．詳解：（1）由，可得，得，∴曲線的直角坐標方程為.（2）由題意設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將參數(shù)方程①代入圓的方程，得，∵直線與圓交于，兩點，∴．設(shè)，兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，∴，化簡有，解得或，∴直線的直角坐標方程為或.點睛：利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義解題時，要注意使用的前提條件，只有當參數(shù)的系數(shù)的平方和為1時，參數(shù)的絕對值才表示直線上的動點到定點的距離．同時解題時要注意根據(jù)系數(shù)關(guān)系的運用，合理運用整體代換可使得運算簡單．19、（1）（2）見解析【解題分析】

（1）根據(jù)零點分段法，分三段建立不等式組，解出各不等式組的解集，再求并集即可.（2）運用柯西不等式，直接可以證明不等式，注意考查等號成立的條件，.【題目詳解】（1）解：原不等式等價于或或即：或或故元不等式的解集為：（2）由柯西不等式得，，當且僅當，即時等號成立.所以【題目點撥】本題考查絕對值不等式得解法、柯西不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算能力.含絕對值不等式的解法：（1）定義法；即利用去掉絕對值再解（2）零點分段法：通常適用于含有兩個及兩個以上的絕對值符號的不等式；（3）平方法：通常適用于兩端均為非負實數(shù)時（比如）；（4）圖象法或數(shù)形結(jié)合法；20、(1)證明見解析.(2).【解題分析】分析：（1）利用數(shù)學歸納法先證明，先證明當時成立，假設(shè)當時，命題成立，只需證明當時，命題也成立，證明過程注意三角函數(shù)和差公式的應(yīng)用；（2）由（1）結(jié)論得，結(jié)合誘導公式與特殊角的三角函數(shù)可得結(jié)果.詳解：（1）1°當時，左邊，右邊，所以命題成立2°假設(shè)當時，命題成立，即，則當時，所以，當時，命題也成立綜上所述，（為正整數(shù)）成立（2）由（1）結(jié)論得點睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運算、誘導公式、特殊角的三角函數(shù)、歸納推理的應(yīng)用以及數(shù)學歸納法證明，屬于中檔題.利用數(shù)學歸納法證明結(jié)論的步驟是:(