2024屆吉林省吉林市蛟河市蛟河一中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2024屆吉林省吉林市蛟河市蛟河一中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀(guān)題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．觀(guān)察下列各式：，則的末尾兩位數(shù)字為（）A．49 B．43 C．07 D．012．命題：，成立的一個(gè)充分但不必要條件為（）A． B．C． D．3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為，則輸入的正整數(shù)a的可能取值的集合是（

）A． B．C． D．4．是異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)，在線(xiàn)段上(異于)，則的形狀是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．三角形不定5．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限6．使函數(shù)y＝xsinx＋cosx是增函數(shù)的區(qū)間可能是()A． B．(π，2π)C． D．(2π，3π)7．已知10個(gè)產(chǎn)品中有3個(gè)次品，現(xiàn)從其中抽出若干個(gè)產(chǎn)品，要使這3個(gè)次品全部被抽出的概率不小于0.6，則至少應(yīng)抽出的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．108．如圖1為某省2019年1~4月快遞義務(wù)量統(tǒng)計(jì)圖，圖2是該省2019年1~4月快遞業(yè)務(wù)收入統(tǒng)計(jì)圖，下列對(duì)統(tǒng)計(jì)圖理解錯(cuò)誤的是()A．2019年1~4月的業(yè)務(wù)量，3月最高，2月最低，差值接近2000萬(wàn)件B．2019年1~4月的業(yè)務(wù)量同比增長(zhǎng)率超過(guò)50%，在3月最高C．從兩圖來(lái)看2019年1~4月中的同一個(gè)月快遞業(yè)務(wù)量與收入的同比增長(zhǎng)率并不完全一致D．從1~4月來(lái)看，該省在2019年快遞業(yè)務(wù)收入同比增長(zhǎng)率逐月增長(zhǎng)9．若是虛數(shù)單位，，則實(shí)數(shù)（）A． B． C．2 D．310．古印度“漢諾塔問(wèn)題”：一塊黃銅平板上裝著A,B,C三根金銅石細(xì)柱，其中細(xì)柱A上套著個(gè)大小不等的環(huán)形金盤(pán)，大的在下、小的在上.將這些盤(pán)子全部轉(zhuǎn)移到另一根柱子上，移動(dòng)規(guī)則如下：一次只能將一個(gè)金盤(pán)從一根柱子轉(zhuǎn)移到另外一根柱子上，不允許將較大盤(pán)子放在較小盤(pán)子上面.若A柱上現(xiàn)有3個(gè)金盤(pán)（如圖），將A柱上的金盤(pán)全部移到B柱上，至少需要移動(dòng)次數(shù)為（）A．5 B．7 C．9 D．1111．在某次試驗(yàn)中，實(shí)數(shù)的取值如下表：013561.35.67.4若與之間具有較好的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，且求得線(xiàn)性回歸方程為，則實(shí)數(shù)的值為（）A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.912．已知不等式的解集為，點(diǎn)在直線(xiàn)上，其中，則的最小值為（）A．B．8C．9D．12二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是________.14．5本不同的書(shū)全部分給4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為_(kāi)_____.15．的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_____.16．定義為集合中所有元素的乘積，規(guī)定：只有一個(gè)元素時(shí)，乘積即為該元素本身，已知集合，集合的所有非空子集依次記為，則________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：，過(guò)點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同直線(xiàn)，，設(shè)與橢圓交于、兩點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn).（1）若為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求直線(xiàn)的方程；（2）記，求的取值范圍.18．（12分）某城市理論預(yù)測(cè)2010年到2014年人口總數(shù)與年份的關(guān)系如下表所示年份2010+x（年）01234人口數(shù)y（十萬(wàn)）5781119(1)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程；(2)據(jù)此估計(jì)2015年該城市人口總數(shù)．19．（12分）在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)，交于點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成的角的大??；（3）求點(diǎn)到平面的距離.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)（1）證明：；（2）若為棱上一點(diǎn)，滿(mǎn)足，求銳二面角的余弦值.21．（12分）已知圓：，是軸上的動(dòng)點(diǎn)，分別切圓于兩點(diǎn).（1）若，求及直線(xiàn)的方程；（2）求證：直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).22．（10分）已知函數(shù).(1)判斷的奇偶性并證明你的結(jié)論;(2)解不等式

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

通過(guò)觀(guān)察前幾項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)末尾兩位數(shù)分別為49、43、01、07，以4為周期重復(fù)出現(xiàn)，由此即可推出的末尾兩位數(shù)字。【題目詳解】根據(jù)題意，得，發(fā)現(xiàn)的末尾兩位數(shù)為49，的末尾兩位數(shù)為43，的末尾兩位數(shù)為01，的末尾兩位數(shù)為07，（）；由于，所以的末兩位數(shù)字為43；故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題以求的末尾兩位數(shù)的規(guī)律為載體，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和歸納推理的一般方法的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題。2、A【解題分析】

命題p的充分不必要條件是命題p所成立的集合的真子集，利用二次函數(shù)的性質(zhì)先求出p成立所對(duì)應(yīng)的集合，即可求解．【題目詳解】由題意，令是一個(gè)開(kāi)口向上的二次函數(shù)，所以對(duì)x恒成立，只需要，解得，其中只有選項(xiàng)A是的真子集．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了充分不必要條件的應(yīng)用，以及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得實(shí)數(shù)的取值范圍是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解題分析】由題意，循環(huán)依次為，，所以可能取值的集合為，故選A.4、C【解題分析】

用表示出，結(jié)合余弦定理可得為鈍角．【題目詳解】如圖，由可得平面，從而，線(xiàn)段長(zhǎng)如圖所示，由題意，，，顯然，∴，為鈍角，即為鈍角三角形．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查異面直線(xiàn)垂直的性質(zhì)，考查三角形形狀的判斷．解題關(guān)鍵是用表示出．5、D【解題分析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，判斷象限.【題目詳解】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為：在第四象限故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題.6、C【解題分析】

求函數(shù)y＝xsinx＋cosx的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)分析出它的單調(diào)增區(qū)間．【題目詳解】由函數(shù)得，=．觀(guān)察所給的四個(gè)選項(xiàng)中，均有，故僅需，結(jié)合余弦函數(shù)的圖像可知，時(shí)有，所以答案選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，這是解題關(guān)鍵．此題屬于基礎(chǔ)題．7、C【解題分析】

根據(jù)題意，設(shè)至少應(yīng)抽出個(gè)產(chǎn)品，由題設(shè)條件建立不等式，由此能求出結(jié)果.【題目詳解】解：要使這3個(gè)次品全部被抽出的概率不小于0.6，設(shè)至少抽出個(gè)產(chǎn)品，則基本事件總數(shù)為，要使這3個(gè)次品全部被抽出的基本事件個(gè)數(shù)為，由題設(shè)知：，所以，即，分別把A，B，C，D代入，得C，D均滿(mǎn)足不等式，因?yàn)榍蟮淖钚≈?，所?故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理的進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.8、D【解題分析】

由題意結(jié)合所給的統(tǒng)計(jì)圖確定選項(xiàng)中的說(shuō)法是否正確即可.【題目詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：2018年1～4月的業(yè)務(wù)量，3月最高，2月最低，差值為，接近2000萬(wàn)件，所以A是正確的；對(duì)于選項(xiàng)B：2018年1～4月的業(yè)務(wù)量同比增長(zhǎng)率分別為，均超過(guò)，在3月最高，所以B是正確的；對(duì)于選項(xiàng)C：2月份業(yè)務(wù)量同比增長(zhǎng)率為53%，而收入的同比增長(zhǎng)率為30%，所以C是正確的；對(duì)于選項(xiàng)D，1，2，3，4月收入的同比增長(zhǎng)率分別為55%，30%，60%，42%，并不是逐月增長(zhǎng)，D錯(cuò)誤.本題選擇D選項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查統(tǒng)計(jì)圖及其應(yīng)用，新知識(shí)的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.9、B【解題分析】

先利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式得到，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，即得解.【題目詳解】由于由復(fù)數(shù)相等的定義，故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)和復(fù)數(shù)相等的概念，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】

設(shè)細(xì)柱A上套著n個(gè)大小不等的環(huán)形金盤(pán)，至少需要移動(dòng)次數(shù)記為an，則a【題目詳解】設(shè)細(xì)柱A上套著n個(gè)大小不等的環(huán)形金盤(pán)，至少需要移動(dòng)次數(shù)記為an要把最下面的第n個(gè)金盤(pán)移到另一個(gè)柱子上，則必須把上面的n-1個(gè)金盤(pán)移到余下的一個(gè)柱子上，故至少需要移動(dòng)an-1把第n個(gè)金盤(pán)移到另一個(gè)柱子上后，再把n-1個(gè)金盤(pán)移到該柱子上，故又至少移動(dòng)an-1次，所以aa1=1，故a2【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，要求根據(jù)問(wèn)題情境構(gòu)建數(shù)列的遞推關(guān)系，從而解決與數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.11、D【解題分析】

根據(jù)表中數(shù)據(jù)求得，代入回歸直線(xiàn)方程即可求得結(jié)果.【題目詳解】由表中數(shù)據(jù)可知：，又，解得：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用回歸直線(xiàn)求解數(shù)據(jù)的問(wèn)題，關(guān)鍵是明確回歸直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解題分析】試題解析：依題可得不等式的解集為，故，所以即，又，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式取等號(hào)，故選C考點(diǎn)：分式不等式的解法，基本不等式的應(yīng)用二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，求得的單調(diào)減區(qū)間.【題目詳解】由得，解得，所以的定義域?yàn)?，由于的開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為；在上遞減.根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，的單調(diào)減區(qū)間為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，屬于基礎(chǔ)題.14、240.【解題分析】

先把5本書(shū)取出兩本看做一個(gè)元素，這一元素和其他的三個(gè)元素分給四個(gè)同學(xué)，相當(dāng)于在四個(gè)位置全排列，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得出結(jié)果.【題目詳解】從5本書(shū)中取出兩本看做一個(gè)元素共有種不同的取法，這一元素與其他三個(gè)元素分給四個(gè)同學(xué)共有種不同的分法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種不同的分法.故答案為：240【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了排列組合的綜合應(yīng)用，分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于中檔題.15、56【解題分析】

利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，即可容易求得結(jié)果.【題目詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為.令，解得，故其系數(shù)為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用二項(xiàng)式通項(xiàng)公式求指定項(xiàng)系數(shù)，屬基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

首先設(shè)，由二項(xiàng)式定理展開(kāi)可知，然后利用賦值法令求解.【題目詳解】設(shè)設(shè)中只有1個(gè)元素，中有2個(gè)元素，中有3個(gè)元素，中有4個(gè)元素，由二項(xiàng)定理可知令，,.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理和集合子集的綜合問(wèn)題，意在考查轉(zhuǎn)化與計(jì)算能力，本題的關(guān)鍵是將所求乘積的和轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式定理問(wèn)題，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）設(shè)直線(xiàn)l1的方程為y﹣1=k（x﹣1），根據(jù)韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出直線(xiàn)的斜率k，問(wèn)題得以解決，（2）根據(jù)弦長(zhǎng)公式分別求出|AB|，|CD|，再根據(jù)基本不等式即可求出．【題目詳解】（1）設(shè)直線(xiàn)的斜率為，方程為，代入中，∴.∴.判別式.設(shè)，，則.∵中點(diǎn)為，∴，則.∴直線(xiàn)的方程為，即.（2）由（1）知.設(shè)直線(xiàn)的方程為.同理可得.∴.∴.令，則，.在，分別單調(diào)遞減，∴或.故或.即.【題目點(diǎn)撥】圓錐曲線(xiàn)中最值與范圍問(wèn)題的常見(jiàn)求法：(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決；(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問(wèn)題時(shí)常從以下幾個(gè)方面考慮：①利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；④利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．18、（1）；（2）196萬(wàn).【解題分析】試題分析：（1）先求出五對(duì)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，求出年份和人口數(shù)的平均數(shù)，得到樣本中心點(diǎn)，把所給的數(shù)據(jù)代入公式，利用最小二乘法求出線(xiàn)性回歸方程的系數(shù)，再求出a的值，從而得到線(xiàn)性回歸方程；（2）把x=5代入線(xiàn)性回歸方程，得到，即2015年該城市人口數(shù)大約為19.6（十萬(wàn)）.試題解析：解：（1），=0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132，=故y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程為（2）當(dāng)x=5時(shí)，，即據(jù)此估計(jì)2015年該城市人口總數(shù)約為196萬(wàn).考點(diǎn)：線(xiàn)性回歸方程.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.【解題分析】

（1）由題設(shè)得知，再證明平面，可得出，然后利用直線(xiàn)與平面垂直的判定定理可得出平面；（2）先利用等體積法計(jì)算出點(diǎn)到平面的距離，然后利用作為直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值，即可得出直線(xiàn)與平面所成的角的大??；（3）先根據(jù)條件分析出所求距離為點(diǎn)到平面距離的，可得出點(diǎn)到平面的距離為，再利用第二問(wèn)的結(jié)論即可得出答案.【題目詳解】（1）以為直徑的球面交于點(diǎn)，則，平面，平面，，四邊形為矩形，.,平面，平面，.，平面；（2）由（1）知，平面，平面，，又，則為的中點(diǎn)，且，.的面積為.的面積為，為的中點(diǎn)，所以，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，.設(shè)直線(xiàn)與平面所成角的大小為，則.因此，直線(xiàn)與平面所成角的大小為；（3）平面，平面，，，，，且，則，得，，故點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的.又是的中點(diǎn)，則、到平面的距離相等，由（2）可知所求距離為.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線(xiàn)與平面垂直的證明、直線(xiàn)與平面所成角的計(jì)算以及點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，考查了等體積法的應(yīng)用，考查推理論證能力與計(jì)算能力，屬于中等題.20、（1）證明見(jiàn)詳解；（2）【解題分析】

（1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明；

（2）設(shè)，由，求出，求出平面ABF的法向量和平面ABP的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值.【題目詳解】證明：（1）∵在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2