新教材2023版高中數(shù)學(xué)第四章概率與統(tǒng)計(jì)4.1條件概率與事件的獨(dú)立性4.1.1條件概率學(xué)生用書新人教B版選擇性必修第二冊(cè)

4．1.1條件概率[課標(biāo)解讀]結(jié)合古典概型，了解條件概率，能計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的條件概率．【教材要點(diǎn)】知識(shí)點(diǎn)一條件概率的概念名稱定義符號(hào)表示計(jì)算公式條件概率一般地，當(dāng)事件A發(fā)生的概率大于0時(shí)(即P(A)>0)，對(duì)于任何兩個(gè)事件A和B，在已知事件A________的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率．________P(B|A)＝__________，__________狀元隨筆P(B|A)和P(A|B)的意義相同嗎？為什么？[提示]P(B|A)是指在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，而P(A|B)是指在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，因此P(B|A)和P(A|B)的意義不同．知識(shí)點(diǎn)二條件概率的性質(zhì)(1)0≤P(A|B)≤1；(2)P(A|A)＝________；(3)如果B與C互斥，則P(B∪C|A)＝________________．(4)設(shè)事件B與B互為對(duì)立事件，則P(B|A)＝________．知識(shí)點(diǎn)三計(jì)算條件概率的方法(1)若事件為古典概型，可利用公式P(B|A)＝nABnA(2)在原樣本空間Ω中，先計(jì)算P(A∩B)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝PA∩BPA計(jì)算求得P【基礎(chǔ)自測(cè)】1．設(shè)A，B為兩個(gè)事件，且P(A)>0，若P(A∩B)＝13，P(A)＝23，則P(B|A)＝(A．12 B．29 C．19 2．已知P(B|A)＝13，P(A)＝25，則P(A∩B)等于(A．56 B．910 C．215 3．從生物學(xué)中我們知道，生男、生女的概率基本是相等的，都可以近似地認(rèn)為是12，如果某個(gè)家庭中先后生了兩個(gè)小孩，當(dāng)已知較大的小孩是女孩的條件下，較小的小孩是男孩的概率是________4．設(shè)某動(dòng)物由出生算起活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.4，現(xiàn)有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物，則它活到25歲的概率是________．題型1利用定義求條件概率例1一個(gè)袋中有2個(gè)黑球和3個(gè)白球，如果不放回地抽取兩個(gè)球，記事件“第一次抽到黑球”為A；事件“第二次抽到黑球”為B.(1)分別求事件A，B，A∩B發(fā)生的概率；(2)求P(B|A).狀元隨筆首先弄清“這次試驗(yàn)”指的是什么，然后判斷該問題是否屬于古典概型，最后利用相應(yīng)公式求解．方法歸納1．用定義法求條件概率P(B|A)的步驟(1)分析題意，弄清概率模型；(2)計(jì)算P(A)，P(A∩B)；(3)代入公式求P(B|A)＝PA2．在本例中，首先結(jié)合古典概型分別求出事件A，B的概率，從而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之間的關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練1甲、乙兩市都位于長(zhǎng)江下游，根據(jù)一百多年來的氣象記錄，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，兩地同時(shí)下雨占12%，記P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(A∩B)＝0.12，則P(A|B)＝________，P(B|A)＝________．題型2利用古典概型公式(縮小樣本空間的方法)求條件概率例2現(xiàn)有6個(gè)節(jié)目準(zhǔn)備參加比賽，其中4個(gè)舞蹈節(jié)目，2個(gè)語言類節(jié)目，如果不放回地依次抽取2個(gè)節(jié)目，求：(1)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率．狀元隨筆第(1)、(2)問屬古典概型問題，可直接代入公式；第(3)問為條件概率，可以借用前兩問的結(jié)論，也可以直接利用基本事件個(gè)數(shù)求解．方法歸納1．本題第(3)問有兩種求條件概率的方法，方法一為定義法，方法二利用基本事件個(gè)數(shù)直接作商，是一種重要的求條件概率的方法．2．計(jì)算條件概率的方法(1)在縮小后的樣本空間ΩA中計(jì)算事件B發(fā)生的概率，即P(B|A)＝nA(2)在原樣本空間Ω中，先計(jì)算P(A∩B)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝PA∩BPA計(jì)算求得P(3)條件概率的算法：已知事件A發(fā)生，在此條件下事件B發(fā)生，即事件A∩B發(fā)生，要求P(B|A)，相當(dāng)于把A看作新的基本事件空間計(jì)算事件A∩B發(fā)生的概率，即P(B|A)＝nA∩BnA跟蹤訓(xùn)練2(1)本例條件不變，試求在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到語言類節(jié)目的概率．(2)一批同型號(hào)產(chǎn)品由甲、乙兩廠生產(chǎn)，產(chǎn)品結(jié)構(gòu)如下表：等級(jí)廠別數(shù)量甲廠乙廠合計(jì)合格品4756441119次品255681合計(jì)5007001200先求基本事件的概率，再依據(jù)條件概率的計(jì)算公式計(jì)算．①?gòu)倪@批產(chǎn)品中隨意地取一件，則這件產(chǎn)品恰好是次品的概率是________；②已知取出的產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的，則這件產(chǎn)品恰好是次品的概率是________．題型3條件概率性質(zhì)的應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模)例3先后拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子，已知第一枚出現(xiàn)4點(diǎn)，求第二枚出現(xiàn)“大于4點(diǎn)”的概率？【思考探究】1．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的骰子，有多少個(gè)基本事件？它們之間有什么關(guān)系？隨機(jī)事件出現(xiàn)“大于4的點(diǎn)”包含哪些基本事件？[提示]擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，可能出現(xiàn)的基本事件有“1點(diǎn)”“2點(diǎn)”“3點(diǎn)”“4點(diǎn)”“5點(diǎn)”“6點(diǎn)”，共6個(gè)，它們彼此互斥．“大于4的點(diǎn)”包含“5點(diǎn)”“6點(diǎn)”兩個(gè)基本事件．2．“先后拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子”試驗(yàn)中，已知第一枚出現(xiàn)4點(diǎn)，則第二枚出現(xiàn)“大于4”的事件，包含哪些基本事件？[提示]“第一枚4點(diǎn)，第二枚5點(diǎn)”“第一枚4點(diǎn)，第二枚6點(diǎn)”．方法歸納1．分解計(jì)算，代入求值，為了求比較復(fù)雜事件的概率，一般先把它分解成兩個(gè)(或若干個(gè))互不相容的較簡(jiǎn)單的事件之和，求出這些簡(jiǎn)單事件的概率，再利用加法公式即得所求的復(fù)雜事件的概率．2．利用條件概率的性質(zhì)求概率若事件B，C互斥，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，即為了求得比較復(fù)雜事件的概率，往往可以先把它分解成兩個(gè)(或若干個(gè))互斥的較簡(jiǎn)單事件，求出這些簡(jiǎn)單事件的概率，再利用加法公式即得所求的復(fù)雜事件的概率．跟蹤訓(xùn)練3在某次考試中，要從20道題中隨機(jī)地抽出6道題，若考生至少能答對(duì)其中的4道題即可通過；若至少能答對(duì)其中的5道題就獲得優(yōu)秀，已知某考生能答對(duì)20道題中的10道題，并且知道他在這次考試中已經(jīng)通過，求他獲得優(yōu)秀的概率．【教材反思】4．1條件概率與事件的獨(dú)立性4．1.1條件概率新知初探·自主學(xué)習(xí)[教材要點(diǎn)]知識(shí)點(diǎn)一發(fā)生P(B|A)PA∩BPA知識(shí)點(diǎn)二1P(B|A)＋P(C|A)1－P(B|A)[基礎(chǔ)自測(cè)]1．解析：由P(B|A)＝PA∩BPA＝答案：A2．解析：由P(B|A)＝PA∩BPA，得P(A∩B)＝P(B|A)·P(A答案：C3．解析：如果用(F，M)表示較大的小孩是女孩，較小的小孩是男孩，則樣本空間可以表示為Ω＝{(F，M)，(F，F(xiàn))，(M，F(xiàn))，(M，M)}．“較大的小孩是女孩”對(duì)應(yīng)的是A＝{(F，M)，(F，F(xiàn))}，“較小的小孩是男孩”對(duì)應(yīng)的是B＝{(F，M)，(M，M)}，從而“已知較大的小孩是女孩的條件下，較小的小孩是男孩”的概率為：P(B|A)＝PB∩A答案：14．解析：根據(jù)條件概率公式知P＝0.40.8＝答案：0.5課堂探究·素養(yǎng)提升例1解析：(1)由古典概型的概率公式可知P(A)＝25P(B)＝2×1+3×25P(A∩B)＝2×15(2)根據(jù)條件概率的計(jì)算公式可知P(B|A)＝PA∩BPA跟蹤訓(xùn)練1解析：由公式可得P(A|B)＝PA∩BPB＝23，P(B|A答案：2例2解析：設(shè)第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件A，第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件B，則第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目為事件A∩B.(1)從6個(gè)節(jié)目中不放回地依次抽取2個(gè)的事件數(shù)為n(Ω)＝A62＝根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理n(A)＝A41A51＝20，于是P(A)＝n(2)因?yàn)閚(A∩B)＝A42＝12，于是P(A∩B)＝nA∩B(3)方法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率為P(B|A)＝PA∩BPA方法二：因?yàn)閚(A∩B)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝nA∩BnA跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)設(shè)第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件A，第2次抽到語言類節(jié)目為事件C，則第1次抽到舞蹈節(jié)目、第2次抽到語言類節(jié)目為事件A∩C.n(A)＝A41×n(A∩C)＝A41×∴P(C|A)＝nA∩CnA(2)①?gòu)倪@批產(chǎn)品中隨意地取一件，則這件產(chǎn)品恰好是次品的概率是811200＝27②方法一：已知取出的產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的，則這件產(chǎn)品恰好是次品的概率是25500＝1方法二：設(shè)A＝“取出的產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的”，B＝“取出的產(chǎn)品為甲廠的次品”，則P(A)＝5001200，P(A∩B)＝251200，所以這件產(chǎn)品恰好是甲廠生產(chǎn)的次品的概率是P(B|A)＝PA答案：(1)見解析(2)①27400②例3解析：設(shè)第一枚出現(xiàn)4點(diǎn)為事件A，第二枚出現(xiàn)5點(diǎn)為事件B，第二枚出現(xiàn)6點(diǎn)為事件C.則所求事件為B∪C|A.∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝16+1跟蹤訓(xùn)練3解析：設(shè)事件A為“該考生6道題全答對(duì)”，事件B為“該考生答對(duì)了其中5道題，另一道題答錯(cuò)”，事件C為