線性代數(shù)習(xí)題集帶答案

第一部分專項(xiàng)同步練習(xí)

第一章行列式

一，單項(xiàng)選擇題

1.下列排列是5階偶排列的是().

(A)24315(B)14325(C)41523

(D)24351

2.假如〃階排列九%"的逆序數(shù)是3則排列力；的逆序數(shù)是

().

(A)k(B)n-k(0值-k

2

(D)^--k

2

3.〃階行列式的綻開式中含卬生的項(xiàng)共有()項(xiàng).

(A)0(B)〃-2(C)(〃-2)!(D)

(n-1)!

0001

4.°°1°=().

0100

1000

(A)0(B)-i(01(D)2

0010

0100

0001

1000

(A)0(B)-l(01(D)2

2xX-11

—x12

6.在函數(shù)/(x)=7中d項(xiàng)的系數(shù)是().

32—x3

0001

(A)0(B)-i(c)1(D)2

aa2。[]a”4]-2。]2

\]\2"13-1

=；,則Z=().

7?D—〃22〃23z=2?！猐。23。21——

a

3\。32。332a31。33。31-242

(A)4(B)-4(C)2(D)

-2

ak%

8.若4%=a,則l2().

a2la22al}

(A)ka(B)-ka(0k2a(D)--

9.已知4階行列式中第1行元依次是-4,(U3,第3行元的余子

式依次為-2,5,1,X,則x=().

(A)0(B)-3(C)3(D)

2

-8743

10.若D=：；3；，則。中第一行元的代數(shù)余子式的和為

43-75

().

(A)-l(B)-2(0-3(D)0

3040

1111

11.若D=,則。中第四行元的余子式的和為

0-100

53-22

).

(A)-1(B)-2(C)-3(D)0

尤］+工2+女再=°

12.z等于下列選項(xiàng)中哪個(gè)值時(shí)，齊次線性方程組卜+也+七=0

有非零解.()

(A)-i(B)-2(C)-3(D)0

二，填空題

1.In階排列24-.(2〃)13…(2〃-1)的逆序數(shù)是.

2.在六階行列式中項(xiàng)。32。54a414543。26所帶的符號(hào)是.

3.四階行列式中包含22%且?guī)д?hào)的項(xiàng)是.

4.若一個(gè)〃階行列式中至少有+1個(gè)元素等于0,則這個(gè)行列

式的值等于

1110

0101

5.行列式

011I

0010

o100

0020

6.行列式

000n-1

n000

斯,1)%

■"02(71-1)o

7.行列式

oo

“13-3423。12

8.假如。=M,則A々2336229

〃33—3%23/2

9.已知某5階行列式的值為5,將其第一行及第5行交換并轉(zhuǎn)

置,再用2乘全部元素，則所得的新行列式的值為

1-11A--1

-1X+1-1

10.行列式

1x-l1-1

X+1-11-1

1+/11…1

11+4…1

11.〃階行列式

1!…1+A

12.已知三階行列式中第二列元素依次為1,2,3,其對(duì)應(yīng)的余子

式依次為3,2,1,則該行列式的值為.

1234

13.設(shè)行列式縱(尸1,2,3,4)為D中第四行元的代

8765

數(shù)余子式，則4A4]+3A42+2A43+A皿=,

abca

14.已知。=,…叫。中第四列元的代數(shù)余子式的和為

bacc

acbd

1234

15.設(shè)行列式o=；::：=一6，M為%"=1,2,3,4)的代數(shù)余子

1122

式,貝（JAll+A42=，43+Ag=

135???2n-\

120???0

16.已知行列式。=103-??0,D中第一行元的代數(shù)余子

100???n

式的和為

k\+2X2=0

17.齊次線性方程組2%+例=0僅有零解的充要條件是

x1-x2+x3=0

+2X2+當(dāng)=0

18.若齊次線性方程組2々+5七=0有非零解，貝心=

-3%—2尤2+左七=0

三，計(jì)算題

abcd

2Xyx+y

a2b2Cd2

1.2.yx+yX

a3c3d}

x+yXy

b+c+da+c+da+b+da+b+c

01X1

101X

3解方程=0

X110

1X10

an-21

an-21

an-21

X1

1

1

1(%H1,，=0,1,…,〃)；

111

111

3\-b11

6.112-b1

111（〃一1）一b

1111

b、axa]a]

7.b、b2a2a2

瓦b2b3

10.

210???00

121…00

012???00

000…21

000???12

1-aa000

-11-aa00

11.D=0-1I-aa0

00一11—aa

000-11-a

四，證明題

a2+a21

a

]_

b2+b1

1.設(shè)出口/=1,證明:b0.

]_

1

c

屋+》]_

d1

~d

ax+bxxaxx+b[4

2.a2+b2xa2x+b2(1一%2)生&C2

a3+h3xa3x+b3

111

abd

3.=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(a+b+c+d).

ci2b2d2

b4

111

qa,%

a：al

4.E%n(%-《)?

/=1l^/<j<n

111

5.設(shè)a,Ac兩兩不等,證明abc0的充要條件是a+0+c=0.

33

(1-bc

參考答案

一.單項(xiàng)選擇題

ADACCDABCDBB

二.填空題

1.n；2.“一”；3.q4a22a3i43；4.0；5.0；6.(一1尸〃!

/?(//-!)

7.(一1)-即。2(,1)…%；8.—3M；9.-160；10.x4

11.(4+〃)久1;12.-2;13.0;14.0;15.12,-9

16.〃!(1-9)；17.k^-2,3;18.左=7

k=]k

三.計(jì)算題

1.-(a+h+c+d)(h-a)(c-d){d-a)(c-h)(d-b)(d-c);2.-2(x3+y3)

3.x-—2,0,1；4.訂(冗-4)

5.fl(%T)(l+之一—：)；6.-(2+0)(1-匕)…((〃-2)-0);

k=0k=0ak-1

1

7?(TTj[(4-%)；8.(x+z%)n(x-4)；

k=lk=lk=\

9.1+Z4；10.〃+1;

k=]

11.(1—Q)(l++O,).

四.證明題(略)

第二章矩陣

一，單項(xiàng)選擇題

1.A,B為n階方陣，則下列各式中成立的是（）。

(a)|A2|=|A|2(b)A2-B2=(A-B)(A+B)(C)(A-B)A=A1-AB

(d)(AB)?=ATBT

2.設(shè)方陣A,B,C滿意AB二AC,當(dāng)A滿意()時(shí)，B=C。

(a)AB=BA(b)網(wǎng)HO(c)方程組AX=O有非零解(d)B,

C可逆

3.若A為n階方陣，z為非零常數(shù)，則網(wǎng)=()o

(a)k\A\(b).(c)刈(d)\k\n\A\

4.設(shè)A為n階方陣，且同=0,則()o

(a)A中兩行(列)對(duì)應(yīng)元素成比例(b)A中隨意一行為其它

行的線性組合

(c)A中至少有一行元素全為零(d)A中必有一行為其它

行的線性組合

5.設(shè)A,8為n階可逆矩陣，下面各式恒正確的是()。

(a)|(A+B)-1|=|A-1|+|B-'|(b)|(AB)[=|胭

(C)|(A-'+B)r|=|A-'|+|B|(d)(/1+B)-1=A-'+B-'

6.設(shè)A為n階方陣，A,為A的伴隨矩陣，則()o

(a)(a)|AS|=|A-'|(b)|A*|=|A|(C)|A*卜⑷向⑹

7.設(shè)A為3階方陣，行列式同=1,4為A的伴隨矩陣，則行列式

|(2A)-'-2A"|=()o

⑥彳⑹$⑹T⑻A

8.設(shè)A,8為n階方矩陣，A2=發(fā)，則下列各式成立的是（）。

(a)A=B(b)A=-B(c)同=同(d)|A|2=|B|2

9.設(shè)A,B均為n階方矩陣，則必有（）。

(a)|4+回=網(wǎng)+向(b)AB=BA(c)|A目=|叫(d)|A|2=|B|2

10.設(shè)A為〃階可逆矩陣,則下面各式恒正確的是（）。

(a)12A=[A[(b)(2A)T=2A-'

(c)KAT)TF=[(AT)T]T(d)KA7)T=[(AT)r]T

4i-Bq1

a\\a\2《3Q]2一3a32Q]3—3〃33

)o

11.假如Ad^y?。22Q)3=ai\a22。23，則A=(

a

l〃31。32“33)、a3\32&33J

'100、’10-3、’00-3]

(a)010(b)010(c)010

k-301；、001,J。L

‘100、

010

、0-3b

。3r

12.已知A=220,則()o

、31L

(a)4=A(b)A-1=A*

’100]’113、'100]'113、

(C)A001=202(d)001A202

、010,、31、010,、31

13.設(shè)ABC/為同階方陣，/為單位矩陣，若ABC=/,則()o

(a)ACB=I(b)CAB=I(c)CBA=I(d)BAC^I

14.設(shè)A為〃階方陣，且|A|#0,則()o

(a)A經(jīng)列初等變換可變?yōu)閱挝魂?

(b)由AX=3A,可得X=B

(C)當(dāng)(A|/)經(jīng)有限次初等變換變?yōu)?/|3)時(shí)，有1=5

(d)以上(a),(b),(c)都不對(duì)

15.設(shè)A為"7X〃階矩陣，秩(A)=r<m<〃，則()。

(a)A中廠階子式不全為零(b)A中階數(shù)小于「的子

式全為零

(c)A經(jīng)行初等變換可化為胃(d)A為滿秩矩陣

16.設(shè)A為加X”矩陣，。為“階可逆矩陣，B=AC,則()o

(a)秩(A)>秩(8)(b)秩(A)=秩(3)

(C)秩(A)<秩(8)(d)秩(A)及秩(8)的關(guān)系依。而定

17.A,8為n階非零矩陣，且48=0,則秩(A)和秩(B)()o

(a)有一個(gè)等于零(b)都為n(c)都小于n(d)一個(gè)小

于n,一個(gè)等于n

18.n階方陣A可逆的充分必要條件是()0

(a)r(A)-r<n(b)A的列秩為n

(c)A的每一個(gè)行向量都是非零向量(d)伴隨矩陣存在

19.n階矩陣A可逆的充要條件是()o

(a)A的每個(gè)行向量都是非零向量

(b)A中隨意兩個(gè)行向量都不成比例

(c)A的行向量中有一個(gè)向量可由其它向量線性表示

(d)對(duì)任何n維非零向量x,均有AX關(guān)0

二，填空題

1.設(shè)A為n階方陣，/為n階單位陣，且*=/,則行列式

|仆------

0ab

2.行列式-a0c—

-b-cJ

pon

3.設(shè)2A=020，則行列式(A+3/)T(A2-9/)的值為

1001J

/1⑨

4?設(shè)T:,且已知A，"，則行列式四=_

T2J

5.設(shè)A為5階方陣，A*是其伴隨矩陣，且網(wǎng)=3,則

6.設(shè)4階方陣A的秩為2,則其伴隨矩陣A”的秩為

a]bla1b2?..哂、

a2blab?

7.非零矩陣22??a力”的秩為________

4blanb2-"依瓦）

8.設(shè)A為100階矩陣,且對(duì)任何100維非零列向量X,均有AX。0,

則A的秩為

9.若A=（%）為15階矩陣，則A”的第4行第8列的元素是—

10.若方陣A及4/相像，則A=

(1

11.l.im.2,K+I

K—11

12.lim0-

zs3

00

三，計(jì)算題

I.解下列矩陣方程（x為未知矩陣）.

23、’22

1)-10X二322）

21J、0-2

’010、

100

、00

‘310、‘101、

3)X(/3C)，BT=/，其中3=404C=212

J22,J2"

401、

4)AX=A2+X-/,其中A=020

JO".

,423、

5)AX=A+2X,其中A=110

、T23".

2.設(shè)4為〃階對(duì)稱陣，且解=0,求A

'1-10、

3.已知A=021，求(A+2/)(A2-4/)T

J0-L

2、<34f00、(\21-4-fA4、

4.設(shè)4，4=，A，A

(230oj10A4，

'112、

5.設(shè)4=224,求一秩為2的方陣8,使AB=0.

、336,

，211]<011、

6.設(shè)4=101,8=121,求非奇異矩陣C,使A=C"C.

10jb

J1°,

7.求非奇異矩陣P,使P」AP為對(duì)角陣.

r11-2、

(2n

1)A=2)A——1-31

U2J

「20-b

8.已知三階方陣A的三個(gè)特征根為1,1,2,其相應(yīng)的特征向量依

次為(0,0,1)7,(-1,1,0)7,(-2,1,1尸，求矩陣A.

'5-32、

9.設(shè)A=6-44,求400.

、4-45,

四，證明題

1.設(shè)A,8均為〃階非奇異陣，求證可逆.

2.設(shè)屋=()晨為整數(shù))，求證/-A可逆.

3.設(shè)a{.a2,---,ak為實(shí)數(shù)，且假如&wO,假如方陣A滿意

1

屋+qA“H--1-ak_{A+akI=0,llFA4E奇異^H車.

4.設(shè)〃階方陣A及8中有一個(gè)是非奇異的，求證矩陣AB相像于

BA.

5.證明可逆的對(duì)稱矩陣的逆也是對(duì)稱矩陣.

6.證明兩個(gè)矩陣和的秩小于這兩個(gè)矩陣秩的和.

7.證明兩個(gè)矩陣乘積的秩不大于這兩個(gè)矩陣的秩中較小者.

8.證明可逆矩陣的伴隨矩陣也可逆，且伴隨矩陣的逆等于該矩

陣的逆矩陣的伴隨矩陣.

9.證明不可逆矩陣的伴隨矩陣的逆不大于1.

10.證明每一個(gè)方陣均可表示為一個(gè)對(duì)稱矩陣和一個(gè)反對(duì)稱矩陣

的和。

第二章參考答案

一：1.a；2.b；3.c；4.d；5.b；6.d；7.a；8.d；9.c；10.d；

11.b；12.c；13.b；14.a；15.a；16.b；17.c；18.b；19.d.

二.1.1或T；2.0；3.-4；4.1；5.81；6.0；7.1；8.100；

15’0

9.a■a10.12.011.o)

Ei4i8I;

1=1、0

\

43

100-1

353

--1?1)-13)2)3

64)

17

16070

<27

/20r

4)030*

102

’1-210、

'3-8-6、'0

01-21

5),2-9-62.0；3.-1-3-1

001-2

「212一9,(o4.

、0001，

‘-3-1-T'010、

7.1),-1)2),

5.111不唯一；6.100

I1

、I0、°0

11-31‘320、

-2118.-100

_1_11

122,\11

'3%2(2*1)2_2,0°_21003100-1

_100_100

9.2(2100+3100)-4422(3)2(3*1)

,00100|00

2(3-1)2(1-3)2(3)-17

第三章向量

一，單項(xiàng)選擇題

1.殍片都是四維列向量，且四階行列式

?a24閡=帆，|%Aq%|=〃，則行列式

1%?2%A+A|=（）

2.設(shè)A為〃階方陣，且網(wǎng)=0,則（）o

3.設(shè)A為〃階方陣，/"⑷=r<〃，則在A的"個(gè)行向量中（）。

3）必有日行向量線性無(wú)關(guān)

4.〃階方陣A可逆的充分必要條件是（）

5.〃維向量組％,%,……，q線性無(wú)關(guān)的充分條件是（）

3）%,%，...都不是零向量

S）%,如,……，見中任一向量均不能由其它向量線性表示

（c）a1,a2,..,風(fēng)中隨意兩個(gè)向量都不成比例

⑷a?a2,……，見中有一個(gè)部分組線性無(wú)關(guān)

6.〃維向量組%,a2，……，a,G22）線性相關(guān)的充要條件是（）

⑷???2,……，4中至少有一個(gè)零向量

3必,％,……，明中至少有兩個(gè)向量成比例

（c）a1,a2,...,巴中隨意兩個(gè)向量不成比例

（</）?,,?2,……,4中至少有一向量可由其它向量線性表示

7.”維向量組%,%,.,a,（3WsW〃）線性無(wú)關(guān)的充要條件是（）

（a）存在一組不全為零的數(shù)kt,k2,..，兒使得匕%+k2a2+........ksas#0

S）即。2,……，心中隨意兩個(gè)向量都線性無(wú)關(guān)

⑹即%,,心中存在一個(gè)向量,它不能被其余向量線性表示

3）4,。2,……,4中任一部分組線性無(wú)關(guān)

8.設(shè)向量組%,%，……，4的秩為廠，則（）

⑷%,％，……，見中至少有一個(gè)由「?jìng)€(gè)向量組成的部分組線性無(wú)

關(guān)

（力%。2,……，鬼中存在由r+1個(gè)向量組成的部分組線性無(wú)關(guān)

（0%……,心中由「?jìng)€(gè)向量組成的部分組都線性無(wú)關(guān)

3）%%,……中個(gè)數(shù)小于「的隨意部分組都線性無(wú)關(guān)

9.設(shè)即02,……,4均為〃維向量，那么下列結(jié)論正確的是（）

3）若匕%+k2a2+...ksas=0,則a,,a2,....,a,線性相關(guān)

S）若對(duì)于隨意一組不全為零的數(shù)用也,……人，都有

匕%+k2a2+ksas*0,則%,%，...,a,線性無(wú)關(guān)

?若為,……，q線性相關(guān),則對(duì)隨意不全為零的數(shù)

kx,k2,...,ks,都有kxax+k2a2+ksas=0

（d）若0%+0%+...0%=0,則%,a2，...，4線性無(wú)關(guān)

10.已知向量組%,%，。3，%線性無(wú)關(guān)，則向量組（）

（。）%+a2,a2+a3,a3+a4,a4+at線性無(wú)關(guān)

S）%-。2，％一口3，%一%，。4一%線性無(wú)關(guān)

(c)a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4-at線'性無(wú)關(guān)

(d)4+a2,a2+%,%-a4,a4一因線性無(wú)關(guān)

U.若向量￡可被向量組％,%,……線性表示，則()

⑷存在一組不全為零的數(shù)加冊(cè)……也使得

°=k[Ct[+k2a2+.......k、a、

(份存在一組全為零的數(shù)匕K，……人使得￡=左0+k2a2+……ksas

(c)存在一組數(shù)匕也，..，.使得月=左0+k2a2+........ksas

(d)對(duì)§的表達(dá)式唯一

12.下列說法正確的是()

3)若有不全為零的數(shù)匕，k2,....人，使得用%+上2%+.....k3as=0,

則四,。2,....,凡線性無(wú)關(guān)

S)若有不全為零的數(shù)年,女2,....人，使得%%+k2a2+........ksas0,

則ax,a2,......,a.,線性無(wú)關(guān)

?若即%……此線性相關(guān)，則其中每個(gè)向量均可由其余向量

線性表示

⑷任何〃+1個(gè)〃維向量必線性相關(guān)

13.設(shè)廠是向量組9=(1,0,0)"%=(。，1，0)，的線性組合，則￡=

)

14.設(shè)有向量組%=(1,-1,2,4)"%=(0,3,1,2)"

=(3,0,7,14『，?4=(1,-2,2,0)，，%=(2，L5,10)，，貝！J

該向量組的極大線性無(wú)關(guān)組為()

T

15.設(shè)0=(4,a2,a3),,尸=(々，b2,b3),%=(4，aj,

回=(仇，b2Y,下列正確的是()

(a)若a,￡線性相關(guān)，則%,4也線性相關(guān)；

(。)若a,儂性無(wú)關(guān)，貝I四，用也線性無(wú)關(guān)；

二，填空題

1.若％=(1,1,I)，，a2=(1,2,3廣，％=(1,3,線性相關(guān)，則t=

2.n維零向量肯定線性______關(guān)。

3.向量a線性無(wú)關(guān)的充要條件是______。

4.若區(qū),%，%線性相關(guān)，則,a.(s>3)線性______關(guān)。

5.n維單位向量組肯定線性_______。

6.設(shè)向量組％,%,,巴的秩為r,則%,%，.,a，中隨意廣個(gè)_

__的向量都是它的極大線性無(wú)關(guān)組。

7.設(shè)向量%=(1,0,1)7及。2=(1，1，“正交,則-=o

8.正交向量組肯定線性_______。

9.若向量組%,%，.Ms及用血,，萬(wàn),等價(jià)，則%,。2,.....,%的秩

及幾萬(wàn)2,……血的秩。

10.若向量組2,。2,……，見可由向量組織?……，月線性表示，則

......Ms)「(尸I，4,2......，⑸)。

r

11.向量組%=(%,1,0,of,%=(%，1，1，0),a3=(a3,1,1,17

的線性關(guān)系是_____。

12.設(shè)n階方陣人=(%,&2,…,a“),%=。2+%，貝力曰=-

13.設(shè)/=(0,y,-+)'，?2=(x,0,0)，，若a和P是標(biāo)準(zhǔn)正交向量,

則x和y的值_____.

14.兩向量線性相關(guān)的充要條件是______.

三，計(jì)算題

rr

1.設(shè)%=(1+41,1)7,a2=(1,1+2,l),a3=(1,1,l+2),

4=(0,4尤)’,問

(1)丸為何值時(shí)，夕能由%,a2,%唯一地線性表示？

(2)4為何值時(shí)，尸能由%,白2，%線性表示，但表達(dá)式不唯一？

(3)4為何值時(shí)，￡不能由四,。2，。3線性表示？

rr

2.設(shè)%=(1,0,2,3尸，a2=(1,1,3,5),a3=(1,1,a+2,l),

a4=(1,2,4,a+8)"4=(1,1,b+3,5),問：

(1)a,3為何值時(shí)，￡不能表不為囚,。2，%，。4的線性組合？

(2)a力為何值時(shí)，夕能唯一地表示為必也,巴用的線性組合？

3.求向量組%=(1,-1,0,4)"a2=(2,1,5,6)"

%="2,5,2)"%=(1，-1，-2,0)"%=⑶0,7,14)，的

一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性

表示。

4.設(shè)%=(1,1,1)7,42=(1，2,3)1%=(1，3,/t為何值時(shí)外,4，%線

性相關(guān)，t為何值時(shí)%,a2，&3線性無(wú)關(guān)？

.將向量組%=(1,2,0)7,%=(-1，。，2)7,a,=(0,1,2)7標(biāo)準(zhǔn)正

交化。

四，證明題

1.設(shè)毛I(xiàn)=%+%，62=3%—%，月3=2%-%，試證用，夕2,廣3線性相關(guān)。

2.設(shè)名,%，.,%線性無(wú)關(guān)，證明al+%,%+%，...，%+%在n為奇

數(shù)時(shí)線性無(wú)關(guān)；在n為偶數(shù)時(shí)線性相關(guān)。

3.設(shè)%,%,，4,廣線性相關(guān),而%,%，.,a，線性無(wú)關(guān)，證明"能

由%,鬼，……，氏線性表示且表示式唯一。

4.設(shè)%,%,出線性相關(guān)，線性無(wú)關(guān)，求證不能由%，。2，。3

線性表示。

5.證明：向量組%,%,..…，%(SN2)線性相關(guān)的充要條件是其中至

少有一個(gè)向量是其余向量的線性組合。

6.設(shè)向量組.,%中口產(chǎn)0,并且每一個(gè)火都不能由前”1個(gè)

向量線性表示(i=2,3,…,s),求證%,a2，…，4線性無(wú)關(guān)。

7.證明：假如向量組中有一個(gè)部分組線性相關(guān)，則整個(gè)向量組

線性相關(guān)。

8.設(shè)出,%,%,…,凡是線性無(wú)關(guān)向量組，證明向量組

a0,a(,+al,a0+a2,---,a0+as也線性無(wú)關(guān)。

第三章向量參考答案

一、單項(xiàng)選擇

1.b2.d3.a4.b5.b6.d7.d8.a9.b10.c

11.c12.d13.a14.b15.a

二，填空題

1.52.相關(guān)3.awo4.相關(guān)5.無(wú)關(guān)6.線性無(wú)

關(guān)7.-1

8.無(wú)關(guān)9.相等10.<11.線性無(wú)關(guān)12.013.

戶±2±*

14.對(duì)應(yīng)重量成比例

三，解答題

1.解：設(shè)尸=+%2%+尤3a3

(1+A)Xj+々+X3=0

則對(duì)應(yīng)方程組為，斗+(1+A)X2+X3=A

X]+冗？+(1+4)X3=

1+211

其系數(shù)行列式|A|11+/11=22(2+3)

111+2

(1)當(dāng)；-3時(shí)，網(wǎng)工0,方程組有唯一解，所以￡可由

唯一地線性表不；

'1110、'1110、

(2)當(dāng)4=0時(shí)，方程組的增廣陣11100000

110>.000

r(A)=r(A)=1<3,方程組有無(wú)窮多解，所以僅可由四,a2.出線

性表示，但表示式不唯一;

(3)當(dāng)％=-3時(shí)，方程組的增廣陣

'-2110、'1-21-3、

入=1-21-30-33-12，r(A)r(A),方程組

J1-2%、000一碼

無(wú)解,所以￡不能由％,%出線性表示。

2.解：以%,%,%.力為列構(gòu)造矩陣

(1)當(dāng)。=±1且8。附，戶不能表示為at,a2,a3,a4的線性組合;

（2）當(dāng)a工±1,6任意時(shí)，夕能唯一■地表示為四,%，。3，。4的線性組合。

3.解：

’12113、’10-102、

-112-1001101

）二

055-270001-1

、462014;、°0000>

為一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，且q=-《+a2+Oa4,

a5=2%+a2-a4

111

4.解：\at,a2,a3\=123=f-5,

13t

當(dāng)/=5時(shí)%,。203線性相關(guān)，當(dāng)/時(shí)at,a2,a3線性無(wú)關(guān)。

5.解：先正交化：

令4=%=（1,2,（）），

再單位化：

%%為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。

四，證明題

1.證：???3（四+62）-4（24-尸3）=0

???一血血線性相關(guān)

2.證：設(shè)%］（%+%）+女2（%+%）■1-Fkn（a?+%）=0

貝！J（尢+kn）%+（占+&）%+…&t+k,）an=0

...,a

?,at,a2,“線性無(wú)關(guān)

100???01

110???00

011■-?00=1+（7嚴(yán)4海黑

其系數(shù)行列式

???????????????[o,〃為偶數(shù)

00010

000???11

.??當(dāng)n為奇數(shù)口寸，左I，左2,...次“只能為零，%,%，...,a“線性

無(wú)關(guān)；

n2,...

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，匕/，心可以不全為零，ax,a2,...........,an

線性相關(guān)。

3.證：3（z,,a2,...,a/線性相關(guān)

???存在不全為零的數(shù)匕也,……—使得

Ai%+

k2a2++ksas+k/3=0

若k=0,貝！J%%+&%+...+%q=。，（匕,々2,...人不全為零）

及%,巴,..,a，線性無(wú)關(guān)沖突

所以女。（）

于是尸=告%-*%-...一｝4

***p能由%,%，...,a,線性表示。

/7=

設(shè)勺%+融％+..+ksas①

則①-②得(占T)%+(k2-l2)a2++(ks-ls)as=0

%,%，...,a.,線性無(wú)關(guān)

「.a=/”a=1,2,…,s)即表示法唯一

4.證：假設(shè)%能由a”%,出線性表示

,**線性無(wú)關(guān)，，%，。3線性無(wú)關(guān)

%,"2，。3線性相關(guān)，,**%可由。2,。3線性表示，

*e?能由。2，。3線性表示，從而02，&，。4線性相關(guān)，沖突

不能由%,。2，%線性表示。

5.證：必要性

設(shè)向量組四,。2,,凡線性相關(guān)

則存在不全為零的數(shù)人也,……人，使得

k}a}+k2a2++k&=0

不妨設(shè)w0,貝(Ja,=—3%一二出一..一a\,

Kksks

即至少有一個(gè)向量是其余向量的線性組合。

充分性

設(shè)向量組名,，鬼中至少有一個(gè)向量是其余向量的線性

組合

不妨設(shè)4=女必+左2a2+...+&T4-I

則kial+k2a2+...+ks_xas_}-as=0，

所以％,%，,a5線性相關(guān)。

6.證：用數(shù)學(xué)歸納法

當(dāng)s=l時(shí),%丁0,線性無(wú)關(guān),

當(dāng)s=2時(shí)，不能由名線性表示，二?四，線性無(wú)關(guān)，

設(shè)5=：1-1時(shí)，％,%，……0T線性無(wú)關(guān)

則s=i時(shí),假設(shè)??…,%?線性相關(guān),，一線性無(wú)

關(guān)，見可由%,%，,陽(yáng)線性表示,沖突,所以囚,%，，%

線性無(wú)關(guān)。得證

7.證：若向量組四,%,……，小中有一部分組線性相關(guān)，不妨設(shè)

a,,a2,...,ar（r<s）

線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)配加……上，使得

匕%+k2a2+...+%；■%=0

于是7%+k2a2++krar+Oar+I+???+Oas=0

因?yàn)樨?，……，&，因一，0不全為零

所以囚.,--,4線性相關(guān)。

8.證：設(shè)左04+匕（。0+。]）+左2（00+%）+~+&（。0+%）=0

貝I（%o+&]+ky+,—I-ks）cz0+^|<Z）+k2a2+—I-ksccs=0

因a。,%線性無(wú)關(guān)，

女0+女1+&+,??+-$=。

占二0

所以，女2=0解得勺=匕=e=…=&=0

kx=0

所以向量組a。,%+%,a0+%,…，4+a,線性無(wú)關(guān)。

第四章線性方程組

一，單項(xiàng)選擇題

1.設(shè)〃元齊次線性方程組AX=0的系數(shù)矩陣的秩為「，則AX=0有

非零解的充分必要條件是()

(A)r=n(B)r<n

(C)r>n(D)r>n

2.設(shè)A是小〃矩陣，則線性方程組AX"有無(wú)窮解的充要條件是

()

(A)r(A)<m(B)r(A)<n

(C)r(Ab)=r(A)<m(D)r(Ab)=r(A)<n

3.設(shè)A是心〃矩陣，非齊次線性方程組AX="的導(dǎo)出組為AX=0,

若加<〃，則()

(A)必有無(wú)窮多解(B)AX=。必有唯一解

(0AX=0必有非零解(D)AX=0必有唯一解

%|+2X2-x3=4

4.方程組々+2七=2無(wú)解的充分條件是4=()

(2-2)X3=-(/I-3)(/1-4)(2-1)

(A)1(B)2(C)3(D)4

%+X)+X3—A,11

5.方程組29-七=：-2有唯一解的充分條件是4=()

x,=2-4

a-i)x3=-a-3))a-i))

(A)1(B)2(C)3(D)4

X1+2%2—/=4-1

6.方程組＜3x2-x3=2-2有無(wú)窮解的充分條件是4=

/lx2一.=(，—3)(4—4)+(4—2)

()

(A)1(B)2(C)3(D)4

7.已知口應(yīng)是非齊次線性方程組的兩個(gè)不同的解，即%

是導(dǎo)出組AX=0的基本解系，勺出為隨意常數(shù)，則AX功的通

解是()

(A)%烏+&(/+。2)+"F(B)

+攵2(/一4)+"

(C)氏口+內(nèi)(四+夕2)+”A(D)

%烏+火2(四-尸2)+丐區(qū)

8.設(shè)A為加X〃矩陣，則下列結(jié)論正確的是()

(A)若AX=0僅有零解，則有唯一解

⑻

若AX=()有非零解,則4Y=。有無(wú)窮多解

?

，