固體物理學(xué) 課件 第5章 自由電子理論

固體物理學(xué)1第五章自由電子理論晶體結(jié)合晶體結(jié)構(gòu)晶格振動自由電子理論固體能帶理論固體原子理論固體電子理論2晶體衍射第五章自由電子理論熱容愛因斯坦模型德拜模型原子運(yùn)動電子運(yùn)動宏觀性質(zhì)物理模型運(yùn)動規(guī)律電子模型熱容電導(dǎo)熱導(dǎo)3第五章自由電子理論經(jīng)典的自由電子理論量子的自由電子理論金屬的熱容理論導(dǎo)電和導(dǎo)熱問題金屬熱容問題量子理論薛定諤方程統(tǒng)計理論費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計分布規(guī)律4本章主要內(nèi)容熱容隨溫度變化規(guī)律第五章自由電子理論德魯?shù)履Ｐ偷谝还?jié)經(jīng)典的自由電子理論獨(dú)立電子近似自由電子近似弛豫時間近似51900年，德魯?shù)绿岢鼋?jīng)典的自由電子模型：第五章自由電子理論第一節(jié)經(jīng)典的自由電子理論弛豫時間近似6忽略電子與離子實(shí)間的作用，電子自由地在晶體中運(yùn)動。弛豫時間是電子與離子實(shí)連續(xù)兩次碰撞的平均時間間隔。自由電子近似德魯?shù)履Ｐ涂梢院芎玫亟忉尳饘俚膶?dǎo)電和導(dǎo)熱現(xiàn)象獨(dú)立電子近似忽略電子間的相互作用，電子獨(dú)立地運(yùn)動。第五章自由電子理論第一節(jié)經(jīng)典的自由電子理論1歐姆定律電導(dǎo)率：7可見，電導(dǎo)率與電子氣濃度、弛豫時間成正比第五章自由電子理論第一節(jié)經(jīng)典的自由電子理論2電子熱容81904年，洛侖茲提出電子氣體服從經(jīng)典的麥克斯韋—玻爾茲曼統(tǒng)計分布規(guī)律根據(jù)能量均分定理，包含N個價電子的電子氣體與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不符第五章自由電子理論第一節(jié)經(jīng)典的自由電子理論3維德曼-弗蘭茲定律91853年發(fā)現(xiàn)關(guān)于熱導(dǎo)率和電導(dǎo)率關(guān)系的實(shí)驗(yàn)定律L為洛侖茲系數(shù)第五章自由電子理論第一節(jié)經(jīng)典的自由電子理論4德魯?shù)履Ｐ偷睦碚摮删秃筒蛔?0優(yōu)點(diǎn)：解釋了歐姆定律和維德曼—弗蘭茲定律不足：無法解釋金屬熱容隨溫度變化失敗的原因：（2）

根本原因是電子服從經(jīng)典統(tǒng)計分布規(guī)律（1）模型簡單，理想氣體模型本身不具有合理性（3）導(dǎo)熱和導(dǎo)電過程中電子的弛豫時間相同固體物理學(xué)11第五章自由電子理論量子自由電子模型：電子運(yùn)動規(guī)律滿足薛定諤方程電子的分布服從費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計規(guī)律電子軌道填充遵從泡利不相容原理第二節(jié)量子的自由電子理論建立薛定鄂方程可求解電子能量和狀態(tài)函數(shù)121928年，索末菲提出第五章自由電子理論第二節(jié)量子的自由電子理論1自由電子的能級和波函數(shù)13薛定諤方程分離變量法求解取邊長為L的立方晶體中的自由電子第五章自由電子理論第二節(jié)量子的自由電子理論1自由電子的能級和波函數(shù)14kx、ky、kz是待定參數(shù)，由邊界條件確定第五章自由電子理論第二節(jié)量子的自由電子理論2邊界條件15nx為整數(shù)第五章自由電子理論第二節(jié)量子的自由電子理論2邊界條件16nx、ny、nz只需取正整數(shù)第五章自由電子理論第二節(jié)量子的自由電子理論2邊界條件17由歸一化條件第五章自由電子理論第二節(jié)量子的自由電子理論2邊界條件18由nx、ny、nz確定一個量子態(tài)能量為能級是簡并的第五章自由電子理論第二節(jié)量子的自由電子理論2駐波邊界條件19波函數(shù)為駐波第五章自由電子理論第二節(jié)量子的自由電子理論3周期性邊界條件20波函數(shù)是單向傳播的平面波第五章自由電子理論第二節(jié)量子的自由電子理論3周期性邊界條件21第五章自由電子理論第二節(jié)量子的自由電子理論3周期性邊界條件22是能量的本征函數(shù)駐波條件下的波函數(shù)不是動量算符的本征函數(shù)周期性條件下的波函數(shù)是動量算符的本征函數(shù)駐波第五章自由電子理論第二節(jié)量子的自由電子理論4狀態(tài)密度和能態(tài)密度23波矢

k

的坐標(biāo)為狀態(tài)點(diǎn)均勻分布在整個波矢空間k

稱為狀態(tài)點(diǎn)kxky24點(diǎn)的體積狀態(tài)密度kxky25球殼內(nèi)狀態(tài)點(diǎn)數(shù)目能態(tài)密度第五章自由電子理論4狀態(tài)密度與能態(tài)密度第二節(jié)量子的自由電子理論表示能量在E~E+dE范圍內(nèi)的狀態(tài)數(shù)考慮自旋，則在k~k+dk范圍球殼內(nèi)的量子態(tài)數(shù)能態(tài)密度：量子態(tài)按照能量的分布26第五章自由電子理論4狀態(tài)密度與能態(tài)密度第二節(jié)量子的自由電子理論27第五章自由電子理論4狀態(tài)密度與能態(tài)密度第二節(jié)量子的自由電子理論駐波條件下計算能態(tài)密度？28第五章自由電子理論294狀態(tài)密度與能態(tài)密度第二節(jié)量子的自由電子理論能態(tài)密度變化關(guān)系曲線圖第五章自由電子理論4狀態(tài)密度與能態(tài)密度第二節(jié)量子的自由電子理論思考題：駐波條件下計算能態(tài)密度如何？30固體物理學(xué)31第五章自由電子理論32狀態(tài)密度：能態(tài)密度：狀態(tài)點(diǎn)：nx,ny,nz取整數(shù)k33kxky電子占據(jù)狀態(tài)點(diǎn)的幾率?第五章自由電子理論第三節(jié)自由電子的統(tǒng)計分布規(guī)律34EF為費(fèi)米能量費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計分布表示：在溫度為T的情況下，能量為E的量子態(tài)被電子占據(jù)的幾率。由費(fèi)米分布函數(shù)可計算金屬中的總自由電子數(shù)第五章自由電子理論第三節(jié)自由電子的統(tǒng)計分布規(guī)律35由此可確定費(fèi)米能量EF費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計分布表明費(fèi)米能量與自由電子濃度及溫度T有關(guān)。第五章自由電子理論第三節(jié)自由電子的統(tǒng)計分布規(guī)律36基態(tài)T=0K可見，能量高于費(fèi)米能量的量子態(tài)全是空的，能量低于費(fèi)米能量的量子態(tài)全被電子占據(jù)。第五章自由電子理論第三節(jié)自由電子的統(tǒng)計分布規(guī)律37基態(tài)T=0KkxkykF38費(fèi)米面費(fèi)米半徑費(fèi)米速度費(fèi)米球第五章自由電子理論第三節(jié)自由電子的統(tǒng)計分布規(guī)律39基態(tài)T=0K例

已知T=0K時費(fèi)米能量，計算費(fèi)米球內(nèi)平均每個電子的能量

第五章自由電子理論40費(fèi)米分布函數(shù)基態(tài)T=0K總自由電子數(shù)費(fèi)米面費(fèi)米半徑費(fèi)米速度自由電子平均能量激發(fā)態(tài)T≠0K電子狀態(tài)會如何改變呢?能態(tài)密度：第五章自由電子理論41第三節(jié)自由電子的統(tǒng)計分布規(guī)律第五章自由電子理論第三節(jié)自由電子的統(tǒng)計分布規(guī)律42激發(fā)態(tài)T≠0K式中n取正整數(shù)可見，比費(fèi)米能量高幾個kBT的量子態(tài)仍是空的，比費(fèi)米能量低幾個kBT的量子態(tài)仍是滿的。第五章自由電子理論第三節(jié)自由電子的統(tǒng)計分布規(guī)律43激發(fā)態(tài)T≠0K可見，溫度升高費(fèi)米能級附近的電子狀態(tài)發(fā)生改變第五章自由電子理論第三節(jié)自由電子的統(tǒng)計分布規(guī)律44激發(fā)態(tài)T≠0K費(fèi)米球第五章自由電子理論第三節(jié)自由電子的統(tǒng)計分布規(guī)律45激發(fā)態(tài)T≠0K費(fèi)米能級第五章自由電子理論第三節(jié)自由電子的統(tǒng)計分布規(guī)律46激發(fā)態(tài)T≠0K令：第五章自由電子理論第三節(jié)自由電子的統(tǒng)計分布規(guī)律47激發(fā)態(tài)T≠0K這是關(guān)于EF對稱的δ函數(shù)。第五章自由電子理論第三節(jié)自由電子的統(tǒng)計分布規(guī)律48激發(fā)態(tài)T≠0K定義費(fèi)米積分將y(E)在費(fèi)米能級EF附近展開第五章自由電子理論第三節(jié)自由電子的統(tǒng)計分布規(guī)律49激發(fā)態(tài)T≠0KI0I1I2第五章自由電子理論第三節(jié)自由電子的統(tǒng)計分布規(guī)律50激發(fā)態(tài)T≠0KE

→0，x→-∞第五章自由電子理論第三節(jié)自由電子的統(tǒng)計分布規(guī)律51激發(fā)態(tài)T≠0KE

→0，x→-∞是x的奇函數(shù)第五章自由電子理論第三節(jié)自由電子的統(tǒng)計分布規(guī)律52激發(fā)態(tài)T≠0K第五章自由電子理論第三節(jié)自由電子的統(tǒng)計分布規(guī)律53激發(fā)態(tài)T≠0K第五章自由電子理論第三節(jié)自由電子的統(tǒng)計分布規(guī)律54激發(fā)態(tài)T≠0K取一級近似，忽略第二項(xiàng)代入第二項(xiàng)取二級近似第五章自由電子理論第三節(jié)自由電子的統(tǒng)計分布規(guī)律55激發(fā)態(tài)T≠0K接近第五章自由電子理論第三節(jié)自由電子的統(tǒng)計分布規(guī)律56激發(fā)態(tài)T≠0K第五章自由電子理論小結(jié)57激發(fā)態(tài)T≠0K第五章自由電子理論58熱容定義第四節(jié)金屬的熱容理論晶格振動能量電子的熱動能第五章自由電子理論第三節(jié)自由電子的統(tǒng)計分布規(guī)律59基態(tài)T=0K例1已知金屬中自由電子濃度為n，求自由電子的費(fèi)米能量、費(fèi)米半徑和費(fèi)米速度。

固體物理學(xué)60第五章自由電子理論第三節(jié)自由電子的統(tǒng)計分布規(guī)律61激發(fā)態(tài)T≠0K定義費(fèi)米積分將y(E)在費(fèi)米能級EF附近展開第五章自由電子理論第三節(jié)自由電子的統(tǒng)計分布規(guī)律62激發(fā)態(tài)T≠0K第五章自由電子理論第四節(jié)金屬的熱容理論631自由電子的平均能量第五章自由電子理論第四節(jié)金屬的熱容理論641自由電子的平均能量第五章自由電子理論第四節(jié)金屬的熱容理論651自由電子的平均能量第五章自由電子理論第四節(jié)金屬的熱容理論661自由電子的平均能量取一級近似代入第二項(xiàng)第五章自由電子理論第四節(jié)金屬的熱容理論671自由電子的平均能量第五章自由電子理論第四節(jié)金屬的熱容理論681自由電子的平均能量可見，第一項(xiàng)是T=0K的平均能量第二項(xiàng)是由于溫度升高平均每個電子獲得的熱激發(fā)能量第五章自由電子理論第四節(jié)金屬的熱容理論691自由電子的平均能量第二項(xiàng)遠(yuǎn)小于經(jīng)典的這是由于溫度升高只有費(fèi)米面附近少數(shù)電子受到熱激發(fā)，但上式卻被所有電子平均。第五章自由電子理論第四節(jié)金屬的熱容理論70