初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)2 勾股定理的逆定理【全國(guó)一等獎(jiǎng)】_第1頁(yè)
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18.2勾股定理的逆定理逆命題：如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形。已知△ABC，AB=c，AC=b，BC=a，且a2+b2=c2，求證：∠C=90°證明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)∴∠C=∠C′=90°則定理ACaBbc用反證法證明如下：由可知c邊最大，即∠ACB最大。只要證明了∠ACB=90°,即△ABC是直角三角形。分兩種情況進(jìn)行。假設(shè)△ABC不是直角三角形而是鈍角三角形，則∠C＞90°。過(guò)B作BD垂直于AC的延長(zhǎng)線于D，垂足為D。ABCacbABCacbD

ABCacbD

△ABD與△CBD都是直角三角形，根據(jù)勾股定理有：

(1)

(2)由（1）得(3)把（2）代入（3）得

(4)對(duì)比已知條件可得

把代入（2）得

則

因此點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，∠ACB=∠ADB=90°，結(jié)論與假設(shè)矛盾，所以△ABC是直角三角形。假設(shè)△ABC不是直角三角形而是銳角三角形，則∠C＜90°。過(guò)B作BD垂直于AC于D，垂足為D。

ABCcbaABCcbaDABCcbaD其中BD=

AD=DC=

△ABD與△CBD都是直角三角形，根據(jù)勾股定理有：

（5）（6）把（5）-（6）得整理得：對(duì)比已知條件

得b2=O

所以b1=b

則點(diǎn)C與點(diǎn)

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