初高中數(shù)學(xué)知識(shí)銜接資料全

初高中數(shù)學(xué)銜接讀本

數(shù)學(xué)是一門重要的課程，其地位不容置疑，同學(xué)們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)

過(guò)很多數(shù)學(xué)知識(shí)，這是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，而且現(xiàn)有初高中數(shù)學(xué)知識(shí)存在以

下“脫節(jié)”：

1.立方和與差的公式初中已刪去不講，而高中的運(yùn)算還在用。

2.因式分解初中一般只限于二次項(xiàng)且系數(shù)為“1”的分解，對(duì)系數(shù)不為“1”的涉

及不多，而且對(duì)三次或高次多項(xiàng)式因式分解幾乎不作要求，但高中教材許多化簡(jiǎn)

求值都要用到，如解方程、不等式等。

3.二次根式中對(duì)分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是

高中函數(shù)、不等式常用的解題技巧。

4.初中教材對(duì)二次函數(shù)要求較低，學(xué)生處于了解水平，但二次函數(shù)卻是高

中貫穿始終的重要容。配方、作簡(jiǎn)圖、求值域、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、

求最大、最小值，研究閉區(qū)間上函數(shù)最值等等是高中數(shù)學(xué)必須掌握的基本題型與

常用方法。

5.二次函數(shù)、二次不等式與二次方程的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

在初中不作要求，此類題目?jī)H限于簡(jiǎn)單常規(guī)運(yùn)算和難度不大的應(yīng)用題型，而在高

中二次函數(shù)、二次不等式與二次方程相互轉(zhuǎn)化被視為重要容，高中教材卻未安排

專門的講授。

6.圖像的對(duì)稱、平移變換，初中只作簡(jiǎn)單介紹，而在高中講授函數(shù)后，對(duì)

其圖像的上、下；左、右平移，兩個(gè)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)，軸、直線的對(duì)稱問(wèn)題必須掌

握。

7.含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高

中這部分容視為重難點(diǎn)。方程、不等式、函數(shù)的綜合考查常成為高考綜合題。

8.幾何部分很多概念（如重心、垂心、外心、心等）和定理（如平行線分

線段比例定理，射影定理，相交弦定理、角平分線定理等）初中生大都沒(méi)有學(xué)習(xí)，

而高中都要涉及。

另外，像配方法、換元法、待定系數(shù)法初中教學(xué)大大弱化，不利于高中知識(shí)

的講授。有鑒于此，特編寫該讀本，供教學(xué)之用，希望認(rèn)真學(xué)習(xí)。

目錄

1.1數(shù)與式的運(yùn)算

1.1.1絕對(duì)值

1.1.2乘法公式

1.1.3二次根式

1.1.4分式

1.2分解因式

2.1一元二次方程

2.1.1根的判別式

2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

2.2二次函數(shù)

2.2.1二次函數(shù)&*+bx+c的圖像和性質(zhì)

2.2.2二次函數(shù)的三種表示方式

2.2.3二次函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用

2.3方程與不等式

2.3.1二元二次方程組解法

2.3.2一元二次不等式解法

1.1數(shù)與式的運(yùn)算

1.1.1.絕對(duì)值

絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，

零的絕對(duì)值仍是零.即

a,a>0,

|止（0,"0,

-a,a<0.

絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.

兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：,-母表示在數(shù)軸上，數(shù)a和數(shù)〃之間的

距離.

例1解不等式：忖―l|+|x—3|>4.

練習(xí)

1.填空：

(1)若w=5，則A=；若w=卜4,則x=.

(2)如果同+設(shè)=5，且a=-1貝|Jb=若|1=2貝|Jc=

2.選擇題：

下列敘述正確的是()

(A)若同=網(wǎng)，則a=A(B)若同〉網(wǎng)，則a>b

(C)若a<b，則14cMi(D)若同=例,則a=+b

3.化簡(jiǎn):\x-5|-|2x-13|(x>5).

1.1.2.乘法公式

我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了下列一些乘法公式:

(1)平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；

(2)完全平方公式(a±bj-d±2a.

我們還可以通過(guò)證明得到下列一些乘法公式：

(1)立方和公式(〃+))(力一abr2b)=%+;

(2)立方差公式3—/?)(/+ahrli)—3a—；

(3)三數(shù)和平方公式(a+Z?+c)——cr+/?+/+2(ab+be+ac)；

(4)兩數(shù)和立方公式(a+b]=d+3〃b^~3a%+;

(5)兩數(shù)差立方公式(a—b7=d—3dZH-3a^h—.

對(duì)上面列出的五個(gè)公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明.

例1計(jì)算：(X+l)(X-l)(d—X+l)(%2+尤+1).

例2已知cz+Z?+c=4,ab+Z?c+tzc=4,求〃?+〃+c?的值.

練習(xí)

1.填空：

I,I,11

(1)-a2--b2=(-b+-a)();

9423

(2)(4m+)2=16m2+4m+()；

(3)(?+2/?-c)2-a2+4b2+c2+().

2.選擇題：

(1)若/+；m+女是一個(gè)完全平方式，則k等于()

(A)/M2(B)-nr(C)-in2(D)—m2

、4、,316

(2)不論a,人為何實(shí)數(shù)，。2+/一2a—48+8的值()

(A)總是正數(shù)(B)總是負(fù)數(shù)

(C)可以是零(D)可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)

1.1.3.二次根式

一般地，形如&（aNO）的代數(shù)式叫做二次根式.根號(hào)下含有字母、且不能

夠開得盡方的式子稱為無(wú)理式.例如3a+行7+加，jY+之等是無(wú)理式,

而叵f+，^x+l,x2+\/2xy+等是有理式.

2

1.分母（子）有理化

把分母（子）中的根號(hào)化去，叫做分母（子）有理化.為了進(jìn)行分母（子）

有理化，需要引入有理化因式的概念.兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它

們的積不含有二次根式，我們就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如血與

V2,3右與&,G+#與6—,26-30與26+30,等等.一般

地,a6與G,a\[x+byjya\[x-byfy,“4+8與”后一人互為有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根

號(hào)的過(guò)程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中

的根號(hào)的過(guò)程.

在二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算過(guò)程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，

運(yùn)算中要運(yùn)用公式&揚(yáng)=而320力20)；而對(duì)于二次根式的除法，通常先寫

成分式的形式，然后通過(guò)分母有理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加

減法類似，應(yīng)在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類二次根式.

2.二次根式"的意義

病=同=卜"2

例1將下列式子化為最簡(jiǎn)二次根式：

(1)^/i2^；(2)7^320)；(3)7^7(X<0).

例2計(jì)算：百+(3-百).

例3試比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

2

(1)Vn-Vio；(2)和20—遍.

V6+4

例4化簡(jiǎn)：（冉+0）2叫（Q-0嚴(yán)$

(2)Jx2H—；—2(0<%<1).

例5化簡(jiǎn)：（1）血-46；

>/3->/25/3+\/^2

例6已知.1=________v-________求3%2-5肛+39的值

練習(xí)

1.填空:

(1)

()1+G=

(2)若J(5-X)(X-3)2=(X-3)VT7,則尤的取值圍是_

(3)4?-6后+3岳-2V^5=；

\[Smii>jx+\—>Jx—\yfx+1+y]x-l

X-——，則-1-----:——;=H■—T=——T=

2.選擇題:

成立的條件是

(A)xw2(B)x〉()(C)x>2(D)0<x<2

3.^b=-—i+-^--,求a+)的值.

a+\

4.比較大?。?-\[3A/5-皿(填“>”，或“v”).

1.1.4分式

1.分式的意義

AA

形如△的式子，若8中含有字母，且8工()，則稱△為分式.當(dāng)4#。時(shí)，

BB

分式4具有下列性質(zhì)：

B

_A__A__x_M_?

B~BxM'

A_A^M

~B~B^M'

上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì).

2.繁分式

a

像上-,‘嗜上這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2加

〃+P

例1若總土土=4+上，求常數(shù)A8的值.

x(x+2)xx+2

例2(1)試證：—^—=~-——(其中77是正整數(shù));

〃(71+1)n〃+1

(2)計(jì)算----1-----FH

1x22x3-----9x10

(3)證明：對(duì)任意大于1的正整數(shù)〃，有」-+」-++------<-

2x33x471(H+1)2

例3設(shè)e=￡，且e>1,2M-5ac+2#=0,求e的值.

a

練習(xí)

1.填空題：

對(duì)任意的正整數(shù)"，一1—=(--——);

〃(〃+2)n〃+2

2.選擇題：

若生工=2,則土=()

x+y3y

(A)1(B)|5(C)|4(D)|6

3.正數(shù)冗,y滿足Y—y=2孫，求"的值.

x+y

4.計(jì)算—+-^—+…+1

1x22x33x499x100

習(xí)題1.1

A組

1.解不等式：

⑴|x-l|>3；(2)|x+3|+|x-2|<7

(3)>6.

2.已知％+y=l,求V+V+Sp的值.

3.填空：

(1)(2+^)18(2-A/3)'9=；

(2)若#If+#1二了=2，則a的取值圍是

卬11111

()T7^+7273+^7^+^/5+^+V6=—

B組

1.選擇題：

(1)若d-a-b-2,ab-sf—b—J—a,貝ij

(A)a<b(B)a>b(D)b<a<0

(2)計(jì)等于

()

(A)&(B)&(C)->J^a(D)~4a

2.填空：

，八1,1.3a2-ab

(1)a=—，b=-,貝miij—；--------

233a2+5ah-2h?2

(2)若爐+孫—2y2=。，貝卜丁+金?：)'-=_

x-+V

3.已知：x」,y=L求RL-dL的值.

2-36一6G+6

4.解方程2(犬+_4)一3(X+')T=0.

廠X

1111

5.計(jì)算：---+---------1---------+H-----------

1x32x43x59x11

1.2分解因式

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，

另外還應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法.

1.十字相乘法

例1分解因式：

(1)#-3x+2;(2)*+4x-12;

(3)x2-(a+b)xy+aby2；(4)xy-l+x-y.

2.提取公因式法與分組分解法

例2分解因式：

(1)x3+9+3x2+3x；(2)2x2+xy—y2—4x+5y-6.

3.關(guān)于x的二次三項(xiàng)式aM+bx+aa*。）的因式分解.

若關(guān)于x的方程向？+方x+c=o（awo）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是X1、%,，則二次三項(xiàng)式

辦2+尿+（；（4/0）就可分解為4（%-%）（%-%2）.

例3把下列關(guān)于x的二次多項(xiàng)式分解因式：

（1）x2+2x-\；（2）x2+4xy-4y2.

練習(xí)

1.選擇題：

多項(xiàng)式2d一沖一15y2的一個(gè)因式為

(A)2x-5y(B)x—3y(C)x+3y(D)x-5y

2.分解因式：

(1)m+6x+8;(2)84-〃；

(3)游-2x-1;(4)4(x-y+l)+y(y-2x).

習(xí)題1.2

1.分解因式：

(1)/+］；(2)4X4-13%2+9；

(3)b2+c2+lab+lac+2bc；(4)3d+5盯一2y2+x+9y-4

2.在實(shí)數(shù)圍因式分解：

(1)-5x+3；(2)W-2叵x-3；

(3)3%2+4xy-y2；(4)(jf2-2x)"—7(x2—2x)+12

3.A43C三邊a,8，c滿足a?+Z?2+<?=a/?+/?c+ca,試判定A4BC的形狀.

4.分解因式：*+x-(a2-a).

2.1一元二次方程

2.1.1根的判別式

我們知道，對(duì)于一元二次方程a*+bx+c=0（界0）,用配方法可以將其變

形為

,bb2-4ac

(F2①

4a2

因?yàn)閍*0,所以，4彳＞0.于是

(1)當(dāng)〃-4ac>0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)正數(shù)，因此，原方程有兩個(gè)不

相等的實(shí)數(shù)根

-b±y/h2-4ac

加2=--------------；

2a

(2)當(dāng)〃?4ac=0時(shí)，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個(gè)等的實(shí)數(shù)

根

b

%=至="-;

2a

(3)當(dāng)〃-4acv0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)負(fù)數(shù)，而方程①的左邊(x+2>

2a

一定大于或等于零，因此，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

由此可知，一元二次方程a*+bx+c=0(a*0)的根的情況可以由憚-4ac

來(lái)判定，我們把嬋-4ac叫做一元二次方程a*+bx+c=0(界0)的根的判別

式,通常用符號(hào)'△”來(lái)表示.

綜上所述，對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(5*0),有

(1)當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

-b±y1b2-4ac

X1,2=--------------；

2a

(2)當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

b

Xi=至=--;

2a

(3)當(dāng)A〈0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

例1判定下列關(guān)于x的方程的根的情況(其中a為常數(shù))，如果方程有實(shí)

數(shù)根，寫出方程的實(shí)數(shù)根.

(1)*-3x+3=0;(2)A2-ax-1=0;

(3)A2-ax+(a-1)=0;(4)A2-2x+a=0.

2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

若一元二次方程a*+bx+c=0(卉0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

-b+，/?2-44c-b—-4ac

玉=%，X2=%，

2a2a

則有

-b-^-y/b2-4ac-b-y/b2-4ac-2bb

x,+x=-------------------1-------------------=------=—；

72a2a2aa

-b+Jb2—4ac-〃一“2-4QCb-(/7-4ac)4acc

中2=五五二-品-,

所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：

如果ax2+bx+c=0(a*0)的兩根分別是小，及，那么小+加=--,xvX2

a

=-.這一關(guān)系也被稱為韋達(dá)定理.

a

特別地，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程*+px+q=O，若xi,至是

其兩根，由韋達(dá)定理可知

xi+至=-p,xvxi-q,

即p=-(%1+X2),q=xvx2,

所以，方程*+px+q-0可化為*-(Ai+MX+XTA>=0,由于Xi,芝是

一元二次方程*+px+q-0的兩根，所以，xy,至也是一元二次方程*-(xi+

X2)X+XvX2=o.因此有

以兩個(gè)數(shù)小，及為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是

A2-(Xi+X2)x+XvX2=0.

例2已知方程5/+區(qū)一6=0的一個(gè)根是2,求它的另一個(gè)根及攵的值.

例3已知關(guān)于X的方程*+2(/77-2)X+7772+4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且

這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21，求m的值.

說(shuō)明：(1)在本題的解題過(guò)程中，也可以先研究滿足方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根所對(duì)

應(yīng)的m的圍，然后再由“兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21”求出m的值，

取滿足條件的m的值即可.

(2)在今后的解題過(guò)程中，如果僅僅由韋達(dá)定理解題時(shí)，還要考慮到根的

判別式△是否大于或大于零.因?yàn)椋f達(dá)定理成立的前提是一元二次方程有實(shí)

數(shù)根.

例4已知兩個(gè)數(shù)的和為4,積為-12,求這兩個(gè)數(shù).

例5若xi和及分別是一元二次方程2#+5x-3=0的兩根.

(1)求IM-冽的值;

(2)求的值;

(3)%13+及3.

說(shuō)明：一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值是一個(gè)重要的量，今后我們經(jīng)常會(huì)

遇到求這一個(gè)量的問(wèn)題，為了解題簡(jiǎn)便，我們可以探討出其一般規(guī)律：

設(shè)必和此分別是一元二次方程a*+bx+c=0（界0）,則

-b+yJb2-4ac-b-[b，-4ac

%="JX?~~J

2a2a

-h+y/h2—4ac-b-y]h2-4ac21bl-4ac

X1-及I==

2a2a2a

_y/b2-4<2c_VZ

\a|

于是有下面的結(jié)論：

若必和及分別是一元二次方程a*+bx+c-0（5*0），則|小-閹=—（其

中A=〃-4ac).

今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值時(shí)，可以直接利用上面的結(jié)論.

例6若關(guān)于x的一元二次方程*-x+a-4=0的一根大于零、另一根小

于零，求實(shí)數(shù)a的取值圍.

練習(xí)

1.選擇題:

(1)方程——275丘+3左2=0的根的情況是()

(A)有一個(gè)實(shí)數(shù)根(B)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

(C)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(D)沒(méi)有實(shí)數(shù)根

(2)若關(guān)于x的方程m*+(2/77+1)x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)

m的取值圍是()

(A)/77<-(B)m>--

44

(D)m>-L,且/77*O

(C)m<-,且/77*0

4''4

2.填空：

(1)若方程#-3x-1=0的兩根分別是必和X2,則—i—=

』當(dāng)

(2)方程m*+x-2m=0(/77*0)的根的情況是

(3)以-3和1為根的一元二次方程是

3.已知，42+8a+16+2-1|=0,當(dāng)A取何值時(shí)，方程k*+ax+b-0有兩個(gè)不

相等的實(shí)數(shù)根？

4.已知方程A2-3X-1=0的兩根為xi和歪,求(m-3)(乏-3)的值.

習(xí)題2.1

A組

1.選擇題：

(1)已知關(guān)于x的方程*+依-2=0的一個(gè)根是1，則它的另一個(gè)根是(：

(A)-3(B)3(C)-2(D)2

(2)下列四個(gè)說(shuō)法：

①方程*+2x-7=0的兩根之和為-2,兩根之積為-7;

②方程A2-2x+7=0的兩根之和為-2,兩根之積為7;

7

③方程3*-7=0的兩根之和為0,兩根之積為-§;

④方程3*+2x=0的兩根之和為-2,兩根之積為0.

其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是()

(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)

(3慶于x的一元二次方程a*-5x+a2+a=0的一個(gè)根是0則a的值是(

(A)0(B)1(C)-1(D)0,或-1

2.填空：

(1)方程ATC2+4X-1=0的兩根之和為-2,則k-.

(2)方程2*-x-4=0的兩根為a,0,則a2+序=.

(3)已知關(guān)于x的方程*-ax-3a=0的一個(gè)根是-2,則它的另一個(gè)根是

(4)方程2*+2x-1=0的兩根為小和至，貝力必-及|=.

3.試判定當(dāng)m取何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程m2*-(2/77+1)z+1=0有兩

個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？沒(méi)有實(shí)數(shù)根？

4.求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程A2-7X-1=0各根的相反數(shù).

B組

1.選擇題：

(1)已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)恰好是方程2/-8x+7=0的兩根，

則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)等于()

(A)V3(B)3(C)6(D)9

(2)若xi,及是方程2*-4x+1=0的兩個(gè)根廁土+上的值為()

飛不

(A)6(B)4(C)3(D)|

(3)如果關(guān)于x的方程*-2(1-m)x+m2=0有兩實(shí)數(shù)根a,0，貝Ua+B的取

值圍為()

(A)a+吟(B)a+p<|(C)a+p>1(D)a+p<1

(4)已知a,。，c是A48。的三邊長(zhǎng)，那么方程c*+(a+b)x+：=0的根的

情況是

()

(A)沒(méi)有實(shí)數(shù)根(B)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

(C)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(D)有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根

(5)若關(guān)于x的方程*+(扉-1)x+4+1=0的兩根互為相反數(shù)，則4的值為

()

(A)1,或-1(B)1(C)-1(D)0

2.填空：

(1)若m,〃是方程/+2005x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m^n+mn^-6〃的

值等于.

(2)如果a,。是方程*+*_1=。的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么代數(shù)式4+4白+3〃

+a的值是.

3,已知關(guān)于x的方程*-Ax-2=0.

(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)設(shè)方程的兩根為X1和短，如果2(%1+X2)>X1X2,求實(shí)數(shù)4的取值圍.

4.一元二次方程a*+bx+c-0(a*0)的兩根為和至.求：

(1)|XL陽(yáng)和七匹;

(2)小3+至3.

5.關(guān)于x的方程寵+4x+m=0的兩根為M，用滿足|Xi-閱=2,求實(shí)數(shù)m的

值.

6.已知M,茲是關(guān)于x的一元二次方程44*-44x+4+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

(1)是否存在實(shí)數(shù)k,使(2xi-茲)(必-2及)=-彳成立？若存在，求出k

的值；若不存在，說(shuō)明理由；

(2)求使五.2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)4的整數(shù)值；

/七

(3)若4=-2,4=%，試求4的值.

了2

7.若關(guān)于x的方程*+x+a=0的一個(gè)大于1、另一根小于1，求實(shí)數(shù)a的取

值圍.

2.2二次函數(shù)

2.2.1二次函數(shù)"=己游+以+，的圖像和性質(zhì)

問(wèn)題1函數(shù)y=a*與y=*的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？

為了研究這一問(wèn)題，我們可以先畫出y=2*,7=1^,y=-2*的圖象，

通過(guò)這些函數(shù)圖象與函數(shù)y=*的圖象之間的關(guān)系，推導(dǎo)出函數(shù)y=a*與y=*

的圖象之間所存在的關(guān)系.

先畫出函數(shù)y=*,y=2*的圖象.

先列表：

X-3-2-10123

???

*9410149

I

2聲18820」

2818

從表中不難看出，要得到2#的值，只要把相人y

、yr=2?I,V六/

應(yīng)的*的值擴(kuò)大兩倍就可以了.\\//

再描點(diǎn)、連線，就分別得到了函數(shù)y=*,y=\\//

2*的圖象（如圖2-1所示），從圖2-1我們可以\\//

得到這兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系：函數(shù)y=2聲的圖\o*

圖22-1

象可以由函數(shù)y=*的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)

的兩倍得到.

同學(xué)們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù)y=^,y=-2*的圖象，并

研究這兩個(gè)函數(shù)圖象與函數(shù)y=*的圖象之間的關(guān)系.

通過(guò)上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：

的圖象(如圖2-2所示)，從函數(shù)的同學(xué)我們不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y=2*的

圖象向左平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位，就可以得到函數(shù)y=2(x+1產(chǎn)+1

的圖象.這兩個(gè)函數(shù)圖象之間具有‘形狀相同，位置不同”的特點(diǎn).

類似地，還可以通過(guò)畫函數(shù)y=-3*,y=-3(x-1產(chǎn)+1的圖象，研究它們

圖象之間的相互關(guān)系.

通過(guò)上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：

二次函數(shù)y=Wx+/?)2+《界0)中j決定了二次函數(shù)圖象的開口大小及方向；

力決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“力正左移，力負(fù)右移”；4決定了二次函

數(shù)圖象的上下平移，而且次正上移，左負(fù)下移”.

由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)y=a*+bx+c(K0)的圖象的方

法：

,?b.,?bb~.h~

由于y=a*+bx+c=式解+—x)+c=+—x+—)+c-------

'aa4a?4a

2

/b、24ac-b

=a(x+—Y+

2a4a

所以/=3蜉+隊(duì)+c(打0)的圖象可以看作是將函數(shù)y=a*的圖象作左右平

移、上下平移得到的，于是，二次函數(shù)y=a*+/?x+c(K0)具有下列性質(zhì)：

(1)當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y=+bx+c圖象開口向上；頂點(diǎn)坐標(biāo)為

2g2對(duì)稱軸為直線*=_b_；當(dāng)>〈一2時(shí)，y隨著工的增大而減

2a4a2a2az

??；當(dāng)X>時(shí)，y隨著X的增大而增大；當(dāng)X=時(shí)，函數(shù)取最小值y=

2a2a

Aac-b~

4a

(2)當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)y=ax2+bx+c圖象開口向下；頂點(diǎn)坐標(biāo)為

九如M對(duì)稱軸為直線>=-b_；當(dāng)X<一_L時(shí)y隨著X的增大而增

大；當(dāng)x>-2時(shí)，"隙著x的增大而減??；當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)取最大值y=

2a2a

4ac-b2

4a

上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過(guò)圖2.2-3和圖2.2-4直觀地表示出

來(lái).因此，在今后解決二次函數(shù)問(wèn)題時(shí)，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的

思想方法來(lái)解決問(wèn)題.

圖2.2-3圖2.2-4

例2把二次函數(shù)y=A2+bx+c的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4

個(gè)單位，得到函數(shù)y=*的圖像，求匕，c的值.

例3已知函數(shù)y=*,-24蟀a,其中立-2,求該函數(shù)的最大值與最小值，

并求出函數(shù)取最大值和最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量x的值.

說(shuō)明：在本例中，利用了分類討論的方法，對(duì)a的所有可能情形進(jìn)行討論.此

外，本例中所研究的二次函數(shù)的自變量的取值不是取任意的實(shí)數(shù)，而是取部分實(shí)

數(shù)來(lái)研究，在解決這一類問(wèn)題時(shí)，通常需要借助于函數(shù)圖象來(lái)直觀地解決問(wèn)題.

練習(xí)

1.選擇題：

(1)下列函數(shù)圖象中，頂點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上的是()

(A)y=2A2(B)/=2A2-4Z+2

(C)y=2A2-1(D)y=2/-4x

(2)函數(shù)y=2(x-1產(chǎn)+2是將函數(shù)y=2*()

(A)向左平移1個(gè)單位、再向上平移2個(gè)單位得到的

(B)向右平移2個(gè)單位、再向上平移1個(gè)單位得到的

(C)向下平移2個(gè)單位、再向右平移1個(gè)單位得到的

(D)向上平移2個(gè)單位、再向右平移1個(gè)單位得到的

2.填空題

(1)二次函數(shù)y=2*-mx+"圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2),則m=,n

(2)已知二次函數(shù)y=x^+(m-2)x-2m,當(dāng)m=時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)

在y軸上；當(dāng)m-時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)m=時(shí)，

函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn).

(3)函數(shù)y=-3(x+2)2+5的圖象的開口向,對(duì)稱軸為,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為;當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)取最值y

=;當(dāng)z時(shí)，y隨著x的增大而減小.

3.求下列拋物線的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大(小)值及y隨x的變

化情況，并畫出其圖象.

(1)y=A2-2z-3;(2)y=1+6x-A2.

4.已知函數(shù)y=-*-2x+3,當(dāng)自變量x在下列取值圍時(shí)，分別求函數(shù)的最大

值或最小值，并求當(dāng)函數(shù)取最大(小)值時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量x的值：

(1)A<-2;(2)A<2;(3)-2<A<1;(4)0<A<3.

2.2.2二次函數(shù)的三種表示方式

通過(guò)上一小節(jié)的學(xué)習(xí)，我們知道，二次函數(shù)可以表示成以下兩種形式：

1.一般式：y=皴+bx+o(a*0);

2.頂點(diǎn)式：y-a(x+力尸+攵(界0),其中頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-力，向.

除了上述兩種表示方法外，它還可以用另一種形式來(lái)表示.為了研究另一種

表示方式,我們先來(lái)研究二次函數(shù)"=3旭+4+6(界0)的圖象與*軸交點(diǎn)個(gè)數(shù).

當(dāng)拋物線y-a^-+bx+4打0)與x軸相交時(shí)，其函數(shù)值為零，于是有

a*+bx+c=0.①

并且方程①的解就是拋物線產(chǎn)=3*+縱+4>0)與*軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(縱坐

標(biāo)為零)，于是，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線尸=3m+以+々界0)與〉軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程

①的解的個(gè)數(shù)有關(guān)，而方程①的解的個(gè)數(shù)又與方程①的根的判別式A=〃-4ac

有關(guān)，由此可知，拋物線"=3*+&+々界0)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與根的判別式△

=垓-4ac存在下列關(guān)系：

(1)當(dāng)△>0時(shí)，拋物線y-a疼+bx+o(K0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；反過(guò)來(lái)，

若拋物線y=aj^+bx+c(界0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則△>0也成立.

(2)當(dāng)△=()時(shí)，拋物線y=SA2+bx+0(余0)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)(拋物線

的頂點(diǎn));反過(guò)來(lái)，若拋物線y=ax^+bx+c(K0)與x軸有一^t交點(diǎn)，貝ijA=0

也成立.

(3)當(dāng)△v0時(shí)，拋物線y=a*+bx+c(界0)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)；反過(guò)來(lái)，

若拋物線y=a*+bx+c(a*0)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，貝!IAvo也成立.

于是，若拋物線y-ax?+bx+c(H0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)/(xi,0),仇及，0),

則xi,X2是方程a*+bx+c-0的兩根，所以

bc

X^+X=一一,X^X2=-,

2aa

bc

即=-(Xi+X),~=X\X2.

a2a

所以，%a*+bx+c-a(x2+—x+—)

aa

=af*-(xi+及)x+X1X2]

=a(x-Al)(x-X2).

由上面的推導(dǎo)過(guò)程可以得到下面結(jié)論：

若拋物線y=a@+bx+c(KO)與x軸交于A[xy,0),鳳及，0)兩點(diǎn)，則其函

數(shù)關(guān)系式可以表示為y=a(x-xi)(x-X2j(5*0).

這樣，也就得到了表示二次函數(shù)的第三種方法：

3.交點(diǎn)式：y-a[x-M)(x-心)(>0),其中x\,及是二次函數(shù)圖象與x軸

交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

今后，在求二次函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，我們可以根據(jù)題目所提供的條件，選用一

般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式這三種表達(dá)形式中的某一形式來(lái)解題.

例1已知某二次函數(shù)的最大值為2,圖像的頂點(diǎn)在直線y=x+1上，并且

圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,-1),求二次函數(shù)的解析式.

說(shuō)明：在解題時(shí)，由最大值確定出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用頂點(diǎn)的位置求出頂

點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，最終解決了問(wèn)題.因此，在解題時(shí)，要充

分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題.

例2已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(-3,0),(1,0),且頂點(diǎn)到x軸的距離等

于2,求此二次函數(shù)的表達(dá)式.

例3已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函數(shù)

的表達(dá)式.

練習(xí)

1.選擇題：

(1圈數(shù)y=-必+x-1圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是(：

(A)0個(gè)(B)1個(gè)(C)2個(gè)(D)無(wú)法確

1

(2)函數(shù)y=-&(x+1產(chǎn)+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(

(A)(1,2)(B)(1,-2)(C)(-1,2)(D)(-1,-2)

2.填空：

(1)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)與x軸交于點(diǎn)(-1,0)和(2,0),則該二次函數(shù)

的解析式可設(shè)為y-a(界0).

(2)二次函數(shù)y=-解+2y[3x+1的函數(shù)圖象與x軸兩交點(diǎn)之間的距離

為.

3.根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式.

(1)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,-2),(0,-3),(-1,-6);

(2)當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)有最小值5,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,11);

(3)函數(shù)圖象與x軸交于兩點(diǎn)(1-,0)和(1+\上，0),并與y軸交于

(0,-2).

2.2.3二次函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用

一、函數(shù)圖象的平移變換與對(duì)稱變換

1.平移變換

問(wèn)題1在把二次函數(shù)的圖象進(jìn)行平移時(shí)，有什么特點(diǎn)？依據(jù)這一特點(diǎn)，可

以怎樣來(lái)研究二次函數(shù)的圖象平移？

我們不難發(fā)現(xiàn)：在對(duì)二次函數(shù)的圖象進(jìn)行平移時(shí)，具有這樣的特點(diǎn)——只改

變函數(shù)圖象的位置、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)的圖象平移問(wèn)題時(shí)，

只需利用二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)式研究其頂點(diǎn)的位置即可.

例1求把二次函數(shù)y=m-4x+3的圖象經(jīng)過(guò)下列平