初中八年級數(shù)學(xué)課件-最短路徑問題【省一等獎】

課題：最短路徑問題難點名稱：利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”問題1參賽教師：哈密市第十二中學(xué)王錦時間：2020年8月11日八年級-上冊-第十三章《軸對稱》13.4課題學(xué)習(xí)目錄CONTENTS2導(dǎo)入知識講解課堂練習(xí)小結(jié)最短路徑問題①垂線段最短②兩點之間，線段最短LABABLC導(dǎo)入求：點A到直線L的最短路徑已知直線L異側(cè)的兩個點A、B，在直線L上取一點C，使得CA+CB最短。垂線段AB線段AB圖1圖2C′導(dǎo)入

相傳，古希臘有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：

從圖中的A

地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？將軍飲馬問題精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，很快回答了這個問題．這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”．

海倫怎樣解決了這個問題呢？（1）關(guān)鍵信息：從A地出發(fā)，到河邊l

飲馬，然后到B地；

（2）數(shù)學(xué)信息：在河邊飲馬的地點C與A，B連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A地到飲馬地點C，再回到B地的路程之和；你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？知識講解難點突破BAlC（3）解決的問題：

在直線l上找出點C,使兩條線段長度之和為最短。即：當(dāng)點C在l

的什么位置時,AC+CB最?。ㄈ鐖D）．（一）實際問題數(shù)學(xué)問題抽象思路：不妨將同側(cè)的點B“移”到l

的另一側(cè)B′處，且滿足直線l

上的任意一點C，都能保持CB=CB′。如何通過作圖實現(xiàn)？如圖，點A，B

在直線l

的同側(cè)，點C

是直線上的一個動點，當(dāng)點C

在l

的什么位置時，AC+

CB

最??？B·lA·知識講解難點突破即：使直線l成為線段BB′的垂直平分線（二）嘗試解決數(shù)學(xué)問題C·B′同側(cè)兩點異側(cè)兩點轉(zhuǎn)化使直線l成為點B與點B′的對稱軸軸對稱作點B關(guān)于直線的對稱點B’

作法：（1）作點B

關(guān)于直線

l的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l

相交于點C．

則點C即為所求．此時，AC+CB最短．B·lA·B′C知識講解難點突破最短（三）利用軸對稱作出“最短路徑”思考：為什么這樣作出的就是最短路徑呢？如何證明？你學(xué)會了嗎？

證明：如圖，在直線l上任取一點C′（與點C不重合）

連接AC′，BC′，

B′C′．

∵直線l是對稱軸，∴BC=

B′C，BC′=

B′C′（軸對稱的性質(zhì)）．

∴路徑AC+BC

=AC+B′C=AB′（等量代換）

路徑AC′+BC′

=

AC′+B′C′（等量代換）（四）嘗試用所學(xué)的知識證明“最短路徑”，

即AC+BC最短。B·lA·B′C

C′知識講解難點突破

在△AB′C′中，

∵AB′＜AC′+B′C′

（三角形兩邊之和大于第三邊）（或者：兩點之間，線段最短）

∴AC+

B′C

＜AC′+BC′（等量代換）

∴AC+BC＜AC′+BC′（等量代換）

即AC+BC最短．知識講解難點突破（四）嘗試用所學(xué)的知識證明“最短路徑”AC+BC最短。你弄懂了嗎？C′B·lA·B′C

（一）嘗試解決變式問題：1、已知：P、Q是?ABC的邊AB、AC上的點，你能在BC上確定一點R，

使?PQR的周長最短嗎？請你動手試一試。課堂練習(xí)難點鞏固P1R?PQR最短周長=PR+QR+PQ=P1R+QR+PQ=QP1+PQ此時PQ長度固定，QP1最短本題特點：一條直線、兩個定點、一次軸對稱（二）嘗試解決變式問題：2、已知P是?

ABC的邊BC上的點，你能在AB、AC上分別確定一點Q和R，使?PQR的周長最短嗎？動手試一試。課堂練習(xí)難點鞏固P1P2

QR?PQR最短周長=PR+PQ+RQ=P1R+P2Q+RQ=P1P2兩點之間，線段最短本題特點：兩條直線、一個定點、兩次軸對稱小結(jié)1、“將軍飲馬問題”線段和最小的問題2、線段和最小的問題兩點之間，線段最短數(shù)學(xué)抽象轉(zhuǎn)化軸對稱邏輯推理3、體會軸對稱的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。B·lA·B′CC′證明（一）回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？(二)通過學(xué)習(xí)，我們是如何利用軸對稱找到最短路徑的？1、確定對稱軸，找出定點的對稱點。2、連接對稱點與另一點確定所求位置點（或者連接各對稱點確定所求位置點）。（可結(jié)合變式題1、2認(rèn)真體會）小結(jié)你學(xué)會了嗎？

在科學(xué)的道路上沒有平坦的大道，只有不畏艱難，沿著陡峭山路攀登的人，才能達(dá)到光輝的頂點。--------馬克思

（三）“最短路徑”拓展延伸---臺球碰撞問題：

（1）如圖1，請你設(shè)計