由數(shù)列的遞推公式求它的通項(xiàng)公式

由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式例1．已知，，求例2．?dāng)?shù)列中，，，求變式：數(shù)列中，，，求小結(jié)：象例2和它的變式這樣的數(shù)列，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差剛好組成一個(gè)等差數(shù)列，這樣的數(shù)列稱為差后等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式問題，可以用逐步求差，累加求和的方法求出通項(xiàng)公式，即迭加法。一般的，若，，其中為可求和數(shù)列，求均可用迭加法。例3．?dāng)?shù)列中，，，求小結(jié)：象例3這樣的數(shù)列，可以用逐步求比，累乘求積的方法求通項(xiàng)公式，即迭乘法。一般的，對于求形如“，”的通項(xiàng)公式，當(dāng)?shù)闹悼汕髸r(shí)，宜采用此方法。例4．?dāng)?shù)列中，，。求證：是等比數(shù)列。（2）求。小結(jié)：一般的，若數(shù)列的遞推公式形如“，，（k，b為常數(shù)）”則可用構(gòu)造等比法求解。練習(xí)1：數(shù)列中，，。求3．小結(jié)：由遞推公式求通項(xiàng)公式的三種常用方法:（1）.迭加法：（2）.迭乘法：（3）.構(gòu)造等比法：此外，對于一些特殊的題型還有以下幾種方法例5．（倒數(shù)法）已知數(shù)列{an}中，a1=，an+1=，求{an}的通項(xiàng)公式．解：∴是以為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，即+2（n－1）=∴an=練習(xí)2．已知數(shù)列{an}中，a1=1，Sn=，求{an}的通項(xiàng)公式．〖an=〗例6．（求和法：利用公式an=Sn－Sn－1，n≥2）已知正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=，求{an}的通項(xiàng)公式．解：S1=a1=，所以a1=1．∵an=Sn－Sn－1∴2Sn=Sn－Sn－1+∴Sn+Sn－1=，即Sn2－Sn－12=1∴是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列．∴Sn2=n，即Sn=∴an=Sn－Sn－1=－（n≥2）∴an=－．例7．（疊加法的再運(yùn)用）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn－Sn－2=3×（－）n－1（n≥3），且S1=1，S2=－，求{an}的通項(xiàng)公式．解：先考慮偶數(shù)項(xiàng)有：S2n－S2n－2=－3·，S2n－2－S2n－4=－3·，……，S4－S2=－3·將以上各式疊加得S2n－S2=－3×，所以S2n=－2+．再考慮奇數(shù)項(xiàng)有：S2n＋1－S2n－1=3·，S2n－1－S2n－3=3·，……，S3－S1=3·將以上各式疊加得S2n＋1=2－．所以a2n+1=S2n+1－S2n=4－3×，a2n=S2n－S2n－1=－4+3×．綜上所述an=，即an=（－1）n－1·．練習(xí)3．在數(shù)列{an}中，a1=2，且an+1=，求{an}的通項(xiàng)公式．〖an=〗例8.（an+1=pan+f（n）類型）已知數(shù)列{an}中，a1=1，且an=an－1+3n－1，求{an}的通項(xiàng)公式．解：（待定系數(shù)法）設(shè)an+p·3n=an－1+p·3n－1則an=an－1－2p·3n－1，與an=an－1+3n－1比較可知p=－．所以是常數(shù)列，且a1－=－．所以=－，即an=．練習(xí)4．已知數(shù)列{an}滿足Sn+an=2n+1，其中Sn是{an}的前n項(xiàng)和，求{an}的通項(xiàng)公式．解：∵an=Sn－Sn－1，∴Sn+Sn－Sn－1=2n+1，∴2Sn=Sn－1+2n+1（待定系數(shù)法）設(shè)2（Sn+pn+q）=Sn－1+p（n－1）+q化簡得：－pn－p－q=2n+1，所以，即∴2（Sn－2n+1）=Sn－2（n－1）+1，又∵S1+a1=2+1=3，∴S1=，S1－2+1=∴{Sn－2n+1}是以為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列．∴Sn－2n+1=，即Sn=+2n－1，an=2n+1－Sn=2－．例9．（an+1=panr型）（2005年江西高考題）已知數(shù)列{an}各項(xiàng)為正數(shù)，且滿足a1=1，an+1=．（1）求證：an<an+1<2；（2）求{an}的通項(xiàng)公式．解：（1）略．（2）an+1=－（an－2）2+2，∴an+1－2=－（an－2）2∴2－an+1=（2－an）2，∴由（1）知2－an>0，所以log2（2－an+1）=log2[（2－an）2]=2·log2（2－an）－1∴l(xiāng)og2（2－an+1）－1=2［log2（2－an）－1］即{log2（2－an）－1}是以―1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列∴l(xiāng)og2（2－an）－1=－1×2n－1，化簡得an=2－．練習(xí)5．（2006年廣州二模）已知函數(shù)（）．在數(shù)列中，，（），求數(shù)列的通項(xiàng)公式．解：，從而有，由此及知：數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故有（）。