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高等數(shù)學(xué)課件D81多元函數(shù)的基本概念YOURLOGO匯報(bào)時(shí)間:20XX/XX/XX匯報(bào)人:1單擊添加目錄項(xiàng)標(biāo)題2多元函數(shù)的定義3多元函數(shù)的極限與連續(xù)性4多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分目錄CONTENTS5多元函數(shù)的極值與最值6多元函數(shù)的積分單擊此處添加章節(jié)標(biāo)題PARTONE多元函數(shù)的定義PARTTWO多元函數(shù)的定義多元函數(shù):定義在n維空間上的函數(shù),其輸入值和輸出值都是向量輸入值:n個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成的向量輸出值:m個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成的向量例子:f(x,y)=(x^2+y^2,xy),其中x和y是實(shí)數(shù),f(x,y)是向量(x^2+y^2,xy)多元函數(shù)的表示方法向量形式:f(x,y,z)=(f1(x,y,z),f2(x,y,z),f3(x,y,z))矩陣形式:f(x,y,z)=[f1(x,y,z)f2(x,y,z)f3(x,y,z)]偏導(dǎo)數(shù)形式:f(x,y,z)=(?f/?x,?f/?y,?f/?z)梯度形式:f(x,y,z)=?f(x,y,z)=(?f/?x,?f/?y,?f/?z)多元函數(shù)的幾何意義添加標(biāo)題添加標(biāo)題添加標(biāo)題添加標(biāo)題多元函數(shù)的幾何意義在于其能夠描述多個(gè)變量之間的關(guān)系多元函數(shù)是描述多個(gè)變量之間關(guān)系的函數(shù)多元函數(shù)的幾何意義在于其能夠描述多個(gè)變量之間的關(guān)系多元函數(shù)的幾何意義在于其能夠描述多個(gè)變量之間的關(guān)系多元函數(shù)的極限與連續(xù)性PARTTHREE多元函數(shù)的極限添加標(biāo)題添加標(biāo)題添加標(biāo)題添加標(biāo)題極限的存在性:函數(shù)在某點(diǎn)或某區(qū)間的極限存在,是指函數(shù)在該點(diǎn)或該區(qū)間的極限值存在極限的定義:函數(shù)在某點(diǎn)或某區(qū)間的極限是函數(shù)在該點(diǎn)或該區(qū)間的極限值極限的性質(zhì):極限具有保號(hào)性、保序性、保連續(xù)性等性質(zhì)極限的應(yīng)用:極限在多元函數(shù)微分學(xué)、積分學(xué)、微分方程等學(xué)科中有廣泛應(yīng)用多元函數(shù)的連續(xù)性添加標(biāo)題添加標(biāo)題添加標(biāo)題添加標(biāo)題連續(xù)性條件:多元函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù),如果其偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)處存在且連續(xù)連續(xù)性定義:多元函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù),如果其極限存在且等于函數(shù)值連續(xù)性性質(zhì):多元函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù),如果其偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)處存在且連續(xù),則該函數(shù)在該點(diǎn)處可微連續(xù)性應(yīng)用:多元函數(shù)的連續(xù)性是研究多元函數(shù)極限、導(dǎo)數(shù)、微分等概念的基礎(chǔ)多元函數(shù)極限與連續(xù)性的關(guān)系多元函數(shù)極限:在多元函數(shù)中,極限是指函數(shù)在某點(diǎn)或某區(qū)域上的值趨于一個(gè)常數(shù)或無窮大添加標(biāo)題多元函數(shù)連續(xù)性:在多元函數(shù)中,連續(xù)性是指函數(shù)在某點(diǎn)或某區(qū)域上的值是連續(xù)的,即函數(shù)在該點(diǎn)或該區(qū)域上的極限值等于該點(diǎn)或該區(qū)域上的函數(shù)值添加標(biāo)題關(guān)系:多元函數(shù)的極限與連續(xù)性是相互關(guān)聯(lián)的,如果一個(gè)多元函數(shù)在某點(diǎn)或某區(qū)域上的極限存在,那么該函數(shù)在該點(diǎn)或該區(qū)域上的值也是連續(xù)的添加標(biāo)題應(yīng)用:多元函數(shù)的極限與連續(xù)性在微積分、微分方程、概率論等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,是解決實(shí)際問題的重要工具添加標(biāo)題多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分PARTFOUR偏導(dǎo)數(shù)的概念偏導(dǎo)數(shù):多元函數(shù)在某一點(diǎn)處對(duì)某個(gè)自變量的導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義:對(duì)多元函數(shù)在某一點(diǎn)處對(duì)某個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù),等于在該點(diǎn)處對(duì)該自變量求導(dǎo)的結(jié)果偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算:利用偏導(dǎo)數(shù)的定義,對(duì)多元函數(shù)在某一點(diǎn)處對(duì)某個(gè)自變量求導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)的性質(zhì):偏導(dǎo)數(shù)具有線性性、連續(xù)性、可微性等性質(zhì)全微分的概念全微分:多元函數(shù)在某點(diǎn)處的全微分是函數(shù)在該點(diǎn)處所有偏導(dǎo)數(shù)的線性組合偏導(dǎo)數(shù):多元函數(shù)在某點(diǎn)處對(duì)某個(gè)自變量的導(dǎo)數(shù)線性組合:將各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)按照一定的比例相加應(yīng)用:全微分在多元函數(shù)求導(dǎo)、微分方程求解等方面有廣泛應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)與全微分的應(yīng)用應(yīng)用:偏導(dǎo)數(shù)與全微分在多元函數(shù)優(yōu)化、多元函數(shù)積分、多元函數(shù)微分方程等方面有廣泛應(yīng)用實(shí)例:多元函數(shù)在某一點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)與全微分可以應(yīng)用于求解多元函數(shù)在某點(diǎn)處的最大值和最小值,以及求解多元函數(shù)在某點(diǎn)處的積分和微分方程。偏導(dǎo)數(shù):多元函數(shù)在某一點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)是該函數(shù)在該點(diǎn)處沿某一特定方向上的變化率全微分:多元函數(shù)在某一點(diǎn)處的全微分是該函數(shù)在該點(diǎn)處沿任意方向上的變化率多元函數(shù)的極值與最值PARTFIVE多元函數(shù)的極值添加標(biāo)題添加標(biāo)題添加標(biāo)題添加標(biāo)題極值的分類:局部極值和全局極值極值的定義:多元函數(shù)在某點(diǎn)處的值大于或等于其鄰域內(nèi)的所有值極值的求解方法:一階導(dǎo)數(shù)等于零,二階導(dǎo)數(shù)大于零為局部極小值,二階導(dǎo)數(shù)小于零為局部極大值極值的應(yīng)用:在工程、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用,如優(yōu)化問題、決策問題等多元函數(shù)的最值極值判定:利用多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)判斷極值是否存在最值定義:多元函數(shù)在某點(diǎn)處的最大值或最小值極值條件:多元函數(shù)在某點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)等于0最值求解:通過求解多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)方程組,找到最值點(diǎn)應(yīng)用實(shí)例:多元函數(shù)的最值在工程、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用多元函數(shù)極值與最值的求解方法極值條件:多元函數(shù)在某點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)等于0最值條件:多元函數(shù)在某點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)等于0,且該點(diǎn)處的函數(shù)值大于或等于其鄰域內(nèi)的函數(shù)值求解方法:利用多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),通過求解偏導(dǎo)數(shù)等于0的方程組,得到極值點(diǎn)的坐標(biāo)驗(yàn)證方法:通過驗(yàn)證極值點(diǎn)的函數(shù)值是否大于或等于其鄰域內(nèi)的函數(shù)值,判斷是否為最值點(diǎn)特殊情況:對(duì)于某些特殊的多元函數(shù),如二次函數(shù)、線性函數(shù)等,可以直接利用其性質(zhì)求解極值與最值多元函數(shù)的積分PARTSIX二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的定義:對(duì)二元函數(shù)在某一區(qū)域內(nèi)的積分二重積分的性質(zhì):線性性、可加性、對(duì)稱性、絕對(duì)值不等式等二重積分的計(jì)算方法:直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系等二重積分的應(yīng)用:物理、工程、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域的求解問題二重積分的計(jì)算方法確定積分順序:確定積分順序是計(jì)算二重積分的第三步確定積分區(qū)域:確定積分區(qū)域是計(jì)算二重積分的第一步確定積分變量:確定積分變量是計(jì)算二重積分的第二步計(jì)算積分值:計(jì)算積分值是計(jì)算二重積分的最后一

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