立體幾何與空間向量（解析版）2022年高考數(shù)學(xué)名校模擬題（解答題）（新高考地區(qū)專用）

專題3.3立體幾何與空間向量

題組一、線面角的計(jì)算

1-1、【2022?廣東省梅江市梅州中學(xué)10月月考】

如圖，三棱錐S—ABC的底面ABC和側(cè)面SBC都是等邊三角形，且平面SBC_L平面ABC.

(1)若P點(diǎn)是線段M的中點(diǎn)，求證：S4_L平面PBC；

(2)點(diǎn)。在線段出上且滿足AQ=：AS,求8Q與平面SAC所成角的正弦值.

【解析】

(I)因?yàn)锳ABC和△S8C都為等邊三角形，且有公共邊6C，

所以A?=SB=8C=AC=SC因?yàn)镻為SA的中點(diǎn)，所以S4_L5P,S4LCP,

又因?yàn)锽PnCP=P,所以S4J?平面尸BC.

(2)取的中點(diǎn)O,連接。4,OS，由條件可得。4,BC,OS兩兩垂直.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，0B，歷的方向分別為x,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

則點(diǎn)A(6,o,o),8(0,1,0),C(0,-l,0),S(0,0,5/3),Q竽。由

、

所以巨=(6,1,0),麗=陋0,-⑹,BQ=26[6

3，，3

7

設(shè)平面SAC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),

n-CA->/3x+y=0,_(「\

則《一LL,令X=l,可得〃=1,一6,1.

n-SA=>j3x-y/3z=0,17

設(shè)8Q與平面SAC所成角為氏

1-2、(2021?廣東?高三階段練習(xí))如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體A8C￡>-A8CA中，E,尸分別為棱AB,CD

上一點(diǎn)，且AE=CF=1.

(I)證明：8尸〃平面CiDE.

(2)求8。與平面CQE所成角的正弦值.

【分析】

(1)先證明"〃DE,再用線面平行的判定定理即可證明8尸〃平面CQE；

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，礪、反、西、的方向?yàn)樾、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系。一孫z,用向量法

求解.

(1)

在正方形48CO中，因?yàn)锳E=CF,所以8E=OF且

所以四邊形8￡￡＞尸為平行四邊形，

仄而BF//DE,

又平面GQE,r)Eu平面CQE,

所以8尸〃平面GOE.

(2)

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA的方向?yàn)閤軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系。-肛2,如圖所示，則

￡>(0,0,0),￡(3,1,0),8(3,3,0),C,(0,3,3),

詼=(3,1,0),DCx=(0,3,3),Bq=(-3,0,3).

設(shè)平面C[Z)E的法向量為/i=(x,y,z),

_______[3x+y=0,

則”?￡>￡=〃?"；=0,即、°八

1\3y+3z=0,

令x=l,得〃=(1,-3,3).

因此IcosG，西)卜\㈣=7+9廠二卓，

1'A|川陽|719x37219

故BC、與平面CQE所成角的正弦值為嚕.

1-3、(2022?湖南省長(zhǎng)郡中學(xué)開學(xué)考試)(12分)已知底面為正三角形的斜三棱柱ABC-4SG中，E,F

分別是棱A/”AB的中點(diǎn)，點(diǎn)4在底面投影為AC邊的中點(diǎn)O,AiCAAG=P,A\F^AE=G.

(1)證明:PG〃平面A/iQ；

32

(2)若AB=6,44i=5,點(diǎn)M為棱4由上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線AM與平面4尸。所成角的正弦值為［…「

時(shí)，求點(diǎn)M的位置.

【解答】(1)證明：?.?斜三棱柱ABC-A歸iG各側(cè)面均為平行四邊形,

...尸為AC的中點(diǎn)，

■:E,尸分別是棱4B|,48的中點(diǎn)，

.".A]E=AF,

又4E〃AF,四邊形AFEA｝為平行四邊形，

.?.G為4尸的中點(diǎn),

J.PG//CF,

平面A8C,CA平面A8C,

.?.PG〃平面ABC,

,:平面ABC//平面A\B\C\,

；.PG〃平面4B1G.

(2)解：?.?點(diǎn)4在底面投影為AC邊的中點(diǎn)O,.，.A|OL平面4BC,

：.A\O±AC,AiOlOB,

:正△ABC,且。為AC的中點(diǎn)，：.AC±OB,

故以。為原點(diǎn)、OB、0C、04所在的直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則O(0,0,0),A(0,-3,0),B(加，0,0),C(0,3,0),A\(0,0,4),F段,

乙乙

0),Bi(373-3,4),

-4),不=(挈等-4).

，A[B[=(3^/3，3,0),A[C=(0,3,

設(shè)AiM=aA]B],入曰0,1],則3入，4),

:.氤:(3V3A,3入+3,4).

n*A1C=3y-4z=0

設(shè)平面4%的法向量為三=(x,y,z),則-------3^/33

n?A[F=~2~X~'2V~4z=。

令z=3,則*=東&，y=4,.?.==(473-%3),

設(shè)直線AM與平面A|FC所成角為0,

則sin0=|cos<7M.3>1=卜AM,n

IAMI-InI

373X473+4(3X+3)+12|48入+24|32

-V27X2+(3X+3)2+16><V48+16+9-V36X2+18X+25X<73-V2117

113g

解得人=?或」著，

bfo

VAe[0,1],.?.入=”，

6

.?.當(dāng)人送=9加1，即點(diǎn)M在靠近點(diǎn)A的六等分點(diǎn)處時(shí)，符合條件.

題組二、面面角的計(jì)算

2-1..(2022?蘇州期初考試)(本小題滿分12分)

在底面為正方形的四棱錐P—ABC。中，平面以O(shè)J_平面A8CL>,PA=PD.E、F分別為棱尸C和AB的中

點(diǎn).

(1)求證：￡尸〃平面以。；

或

(2)若直線PC與AB所成角的正切值為2，求平面布。與平面PBC所成銳二面角的大小.

【解析】

(I)證明：取C/)的中點(diǎn)M,連接EM,FM.

因?yàn)镋,尸分別為PC和AB的中點(diǎn)，所以EM〃PO,

因?yàn)镻￡>u平面BA。，平面以C,所以EM〃平面附D；

因?yàn)樗倪呅蜛BC。為正方形，

所以A8〃CO,且A8=C￡>；所以A尸〃。例，且即四邊形AFMO是平行四邊形,

所以尸M〃A￡>,因?yàn)锳Ou平面BAD,FAQ平面力。，所以FM〃平面B4Z)；.......2分

因?yàn)镋M,FMu平面EFM,EMDFM=M,所以平面EFM〃平面以。，

因?yàn)镋Fu平面E&W,所以EF〃平面%D........4分

(2)因?yàn)槠矫嬉浴1_平面ABCO,平面B4OCI平面ABC￡)=A。，CDLAD,C￡>u平面ABCD,所以C￡>J_平面

PAD,所以C￡>_LP￡>,........6分

因?yàn)锳8〃CO,所以NPC￡>就是直線PC與A8所成的角，

PDA/5「

所以tan/PCD=5^=2，設(shè)PD=木,8=2,

分別取AO和8c的中點(diǎn)。，N,連結(jié)尸O,ON,因?yàn)橐?PD,所以POLA。，

因?yàn)槠矫嬉?。_L平面ABCQ,平面B4OA平面ABCQ=A￡>,POu平面以D,

所以PO1_平面A8CZ),........8分

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系。一xyz,則P(0,0,2),C(-l,2,0),8(1,2,0),

所以C3=(2,0,0),CP=(1,—2,2),設(shè)m=(x,y,z)是平面3尸。的一個(gè)法向量

\'CP?蔡=0

(x—2y+2z=0-

則［尤=0取y=L則z=l,所以加=(0,1,1),........10分

又n=(0,1,0)是平面PAD的一個(gè)法向量,

——m?〃［巫

所以cos<〃?,n>=——=、6x1=2，

\m\\n\"X］乙

一>->工匹

所以vm,n>=4,所以所求二面角的大小為鼠........12分

2-2..(2022?江蘇省第一次大聯(lián)考)(12分)如圖，在直三棱柱ABC—A歸1G中，ABLAC,AB=AC=AAI=29

M為B房的中點(diǎn).

(1)記平面ACM與平面48G的交線為/,證明：/〃4G；

(2)求二面角A-CM-B的正弦值.

【解析】

(1)在直三棱柱A8C—4BICI中，AiCi//AC,

又因?yàn)锳Cu面ACM,平面4cM,

所以4G〃平面ACM.2分

又因?yàn)槠矫鍭iBiGD平面ACM=/,

AiGu平面4BC,所以/〃41c.,4分

(2)以｛鼐，AC,/J為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.

則40,0,0),5(2,0,0),C(0,2,0),M(2,0,1),

所以俞=(2,0,1),AC=(0,2,0),俞=(0,0,1),BC=(-2,2,0).……6分

設(shè)"I=(XI,yi,zi)為平面MC8的法向量，

則"I?8例=0,ri],BC=0,得zi=0,x>=y\,

取xi=l,所以〃i=(l,1,0)為平面MCB的一個(gè)法向量....8分

設(shè)“2=(X2,)2,Z2)為平面A/CA的法向量，

則"2,AM=0,"2,AC=0,得丫2=0,2X2+Z2=0,

取X2=1,所以“2=(1,0,-2)為平面MCA的一個(gè)法向量....10分

“I?&]

則COS<〃”"2>=|”||.|”2|=g小=10?

/-js?酒

所以sin<〃i,?2>=I-V10J=10.

3回

所以二面角A—CM—8的正弦值為10....12分

2-3、(2022?武漢部分學(xué)校9月起點(diǎn)質(zhì)量檢測(cè))(12分)在如圖所示的六面體ABCDE尸中，矩形AOEF，平面

ABCD,AB=AD=AF=\,CD=2,CDLAD,AB//CD.

(1)設(shè)〃為CF中點(diǎn)，證明：〃平面AOEF；

(2)求二面角B—CF—E大小的正弦值.

【解析】

(1)延長(zhǎng)CB,交D4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,由AB〃CQ,且AB=]CQ,為GC中點(diǎn).

又”為尸C中點(diǎn)，J.BH//GF.

'：FGu平面ADEF,BHu平面ADEF,

.?.3月〃平面4。￡'尸.

(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,虎的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則有：2(1,1,0),C(0,2,0),￡(0,0,1),F(l,0,1).

設(shè)平面8C尸的法向量〃=(x"y\,zi),BC=(—1,1,0),CF=(\-2,1),

n?BC=-x\+y\=0-

f一,取〃=(1,1,1).

n?CF=x\-2y\+zi=0

設(shè)平面EFC的法向量加=。2,",Z2),CE=(O,-2,1),

n?CF=-2^2+22=0-

——,取m=(0,1,2).

n?CF=X2-~2y2+z2=0

一m?〃1+2y/3-

COS<77?,心=高7標(biāo)=小’2

yio

所以二面角8-CF-E大小的正弦值為5.........12分

2-4、［2022-廣東省廣州市10月調(diào)研】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PAX.平面

ABCD,ADLCD,AD//BC,PA=AT）=Cr>=2,E為PO的中點(diǎn)，分別在PC和尸8上，且

PFMB\

PC~PB-3,

（1）若N在尸C上，且DN//平面AEP，求證：MN//平面ABCO;

（2）若直線尸8與平面A8C￡）所成角的正弦值為求二面角/一AE—。的余弦值.

【解析】

（1）因?yàn)镈V//平面AEF，平面尸804所=所，EF,DNu平面PCD,

所以DN//EF,

因?yàn)镋為。。的中點(diǎn)，所以尸為PN的中點(diǎn)，

PFMB1

因?yàn)榉謩e在PC和上，且一=—

PCPB3

所以尸為PC靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)，所以所以MN//BC，

PCPB3

因?yàn)镸VZ平面ABC。，BCu平面A8C￡＞，所以MN//平面A8C￡＞；

2

（2）Q4J_平面A8CO,直線P8與平面48co所成角的正弦值為一，PA=2,

3

PA2

所以直線PB與平面A3CD所成角的平面角為NPBA,即sinNPBA=——=-,

PB3

所以PB=3,AB=6"＞

過點(diǎn)A作AG_LBC,

因?yàn)锳D，C￡）,AZ）//3C,PA^AD=CD=2,所以AG=2,BG=1,

所以以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

A（0,0,0）,P（0,0,2）,D（0,2,0）,C（2,2,0）,E（0,l,l）,Ff|,|,||,

f224?

所以AE=(0,1,1),AF=[1,],§J,設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為

n=(x,,y1,z,)>

n-AE=0y,+z,=0+

則《一，即《卜+乂+2]。’令"T得〃=(1]，山

n-AF=0

由題PAJ_平面ABC。得B4_LCD，因?yàn)锳￡?_LCD,Q4cAD=A，所以。。_1_平面24￡），

->->幾?m

所以平面尸AD的一個(gè)法向量可以為蔡=（1,0,0）,所以c°s,，相I胴

由于二面角E-AE—。為鈍二面角，所以二面角廠一AE—。的余弦值為-且

3

題組三、探索性問題

3-1、【2022?廣東省陽春市第一中學(xué)10月月考】如圖，在梯形ABC。中，AB//CD,ZDAB=90°,

AD^DC^-AB^l,四邊形ACFE為正方形，平面ACFE_L平面A8C0.

2

(1)求證：平面BC/_L平面ACEE；

(2)點(diǎn)M在線段所上運(yùn)動(dòng)，是否存在點(diǎn)M使平面M43與平面ACEE所成二面角的平面角的余弦值為

2,若存在，求線段RW的長(zhǎng)，若不存在，說明理由.

3

【解析】

(1)證明：在梯形中，

因?yàn)锳B〃C。，AD^DC^l,ZADC=-,所以AC=0，

2

又因?yàn)锳B=2，取A8中點(diǎn)P，連接PC,則PC=1，PB=1，易知BC=J5，

所以AB?=+

所以8C_LAC.

因?yàn)槠矫?。F石_1_平面43。，平面ACEEc平面4BCD=AC，BCu平面A8CO

所以BC_L平面ACFE,又BCu平面BCF.

所以平面BCF±平面ACFE；

（2）山（1）可建立.分別以直線C4，CB，Cb為x軸，y軸，z軸的如圖所示空間直角坐標(biāo)系，令

FM=X（Q<^<y[2\,則C（（）,（）,0）,A（夜,0,0）,B（0,V2,0）,M（2,0,72）

所以防=卜虛,忘,0）,說'=（/1—忘,0,a）

設(shè)馬=（x,y,z）為平面A44B的一個(gè)法向量，

(4-0卜+挺z=0

n,?AB=0

由〈------得

〃1?AM=0--/lx+=0

取》=應(yīng)，則4=（應(yīng),五，虎-X）,

111

因?yàn)橐?（0,1,0）是平面ACEE的一個(gè)法向量

八F回602

所以麗12+2+曲小」而畫%相

可得彳=立，即

22

3-2、(2022?江蘇南京市中華中學(xué)高三10月月考)(本小題滿分12分)

如圖，在四棱錐P—ABCD中，以，平面ABC。，AD//BC,AD1CD,§.AD^CD=y[2,BC=2<2,PA=\.

⑴求證：ABLPC；

(2)在線段P。上，是否存在一點(diǎn)M,使得二面角M—AC—D的大小為45。，如果存在，求與平面M4C

所成角的正弦值，如果不存在，請(qǐng)說明理由.

【解析】

(1)證明：如圖，由已知得四邊形ABCO是直角梯形,

由AD=CD=y[2,BC—2-\[2,

可得ZiABC是等腰直角三角形，即

AB1AC,

?：PA±TABCD,ABu平面ABCD,

：.PA±AB,又所4c=A,

."B_L平面兩C,

又PCu平面PAC,

(2)取BC的中點(diǎn)E,連接4E,則

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則40,0,0),

C(6，立,0),。(0,小,0),P(0,0,1),B(V2,-y[2,0),

布=(0,隹-I),AC=(yj2,<2,0),

設(shè)麗=麗0</<1）,

則點(diǎn)M為（0,陋,1-/）,

所以AA/=（0,y[2,I—Z）,

設(shè)平面MAC的法向量是"=（x,y,z）,貝！]

n?n=0,Jg+6=0

俞=0"g+（一少=0，

恒

則可取〃=（1,—1,1—挑

又桁=（0,0,1）是平面AC。的一個(gè)法向量，

叵

I"?*"I11—/I返

：.\cos<m,n>\=|/M||n|=~=cos45°=2，

y2+（比T

i

解得r=],即點(diǎn)朋是線段PO的中點(diǎn).

-1

此時(shí)平面M4c的一個(gè)法向量可取現(xiàn)=（1,-1,啦），BM=（f,2a，）,

設(shè)8M與平面MAC所成的角為Q,

_即?BM2水

貝ijsin6=|cos<"o,BM>\——=9-

3-3、（2021?廣東?高三階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，ZBAC=9Q°,AB=AC=AAi=2,

M為AB的中點(diǎn)，N為4G的中點(diǎn)，P是BG與8夕的交點(diǎn).

ct4

(i)證明：ACLBG；

(2)在線段AN上是否存在點(diǎn)Q,使得PQ〃平面ACM?若存在，請(qǐng)確定。的位置；若不存在，請(qǐng)說明

理由.

【解析】

(1)解法-：連結(jié)AG，由線面垂直的判定定理可證得面ACGA,則48,AC,由已知條件可得四

邊形AAGC為正方形，則AC_LAG，再由線面垂直的判定定理可得AC，面從而可得A。，Bq,

解法二：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),48、CA、AA方向分別為x、y、Z軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,

然后利用空間向量證明即可，

(2)解法一：利用空間向量，設(shè)旗=/麗(0。41),所以Q(f,T,2),求出平面ACM的法向量G，再由

線面平行的關(guān)系可得地,鼠從而可求出/的值，解法二：取中點(diǎn)”，連結(jié)8H、、MH,可證得54

//\MC,￡”〃平面AMC,從而可得平面B"G〃平面AMC,進(jìn)而可得尸?！ㄆ矫鍭CM,

(1)

解法一：連結(jié)AG，在直三棱柱4BC-AB。中，有儀，面ABC

因?yàn)锳Bi面ABC,所以

△8AC中，/朋C=90。，即ABJ.AC,

因?yàn)锳41nAe=A,所以43,面ACGA，

因?yàn)锳Cu面4cqA，所以AB_LAC,

在四邊形A4,GC中，M1AC?AC=AA,=2,

所以四邊形AACC為正方形，所以AC，A￡,

因?yàn)锳Bc4C；=A,所以4＜：_1面486,

因?yàn)锽Gu面ABC一所以AC，8C1.

解法二：在直三棱柱A8C-A4a中，因?yàn)镹B4c=90。，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、CA、AA方向分別為工、

y、z軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-_xyz.

因?yàn)锳B=AC=A4)=2,所以A(0,0,2),C(0,-2,0),8(2,0,0),C,(0,-2,2)

所以屬=(-2,-2