2024年高考數(shù)學(xué)優(yōu)等生培優(yōu)第27講 三角函數(shù)圖像變換及最值-解析版72

第27講三角函數(shù)圖像變換及最值通關(guān)一、三角函數(shù)圖像變換由函數(shù)的圖像變換為函數(shù)的圖像.方法一先相位變換,后周期變換,再振幅變換.的圖像的圖像的圖像的圖像.方法二先周期變換,后相位變換,再振幅變換.的圖像的圖像的圖像的圖像通關(guān)二、三角函數(shù)最值題型歸類1.,引入輔助角,化為求解.2.,設(shè),化為二次函數(shù)在閉區(qū)間,上的最值求解,也可以是或型.3.,設(shè),則,故,故原函數(shù)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解.4.與,根據(jù)根函數(shù)的有界性,既可用分析法求最值,也可用不等式法求最值,更可用數(shù)形結(jié)合法求最值.這里需要注意的是化為關(guān)于或的函數(shù)求解時(shí)務(wù)必注意或的范圍.結(jié)論一、五點(diǎn)法作的圖像找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),分別為使取得最小值、最大值的點(diǎn)和曲線與軸的交點(diǎn).其步聚為:1.先確定周期,在一個(gè)周期內(nèi)作出圖像;2.令,令分別取,求出對應(yīng)的值,列表如下:0000由此可得五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)；描點(diǎn)畫圖，再利用函數(shù)的周期性把所得圖像向左右分別延伸，得到的圖像.【例1】畫出函數(shù)的簡圖,并說明此函數(shù)圖形怎樣由的圖像變化而來.【解析】由五點(diǎn)法列表:0030-30描點(diǎn)畫圖如下:這種曲線也可由圖像變換得到,即【變式】如何由的圖像得到的圖像.【解析】解法一:解法二:(1)先將的圖像向右平移個(gè)單位,得到的圖像;(2)再將上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變,得到的圖像;(3)再將圖像上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍橫坐標(biāo)不變,即可得到的圖像.結(jié)論二、型函數(shù)的最值可將中的看作,即令,則,這樣就轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.但這里應(yīng)注意換元前后變量的取值范圍要保持不變,即要根據(jù)給定的的取值范圍,求出的取值范圍.【例2】設(shè),則函數(shù)的值域?yàn)開________.【答案】【解析】令,由于,故.因?yàn)楫?dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,所以當(dāng),即時(shí),;當(dāng),即時(shí),.【變式】函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ?A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，函數(shù)y取得最小值－5，當(dāng)時(shí)，函數(shù)y取得最小值3.所以的值域是[－5，3].故選C.結(jié)論三、型函數(shù)的最值可利用降冪公式（，，）將整理轉(zhuǎn)化為，引入輔助角，化為，求最值.【例3】函數(shù)的最大值為_____________.【答案】【解析】.因?yàn)椋?，所以?dāng)，即時(shí)，.【變式】設(shè)，則函數(shù)的值域?yàn)開__________.【答案】[－1，2]【解析】，因?yàn)椋?，所以，所以函?shù)在區(qū)間上的最小值為－1，最大值為2，即值域?yàn)閇－1，2].結(jié)論四、型函數(shù)的最值對于，令，，因?yàn)?，所以，則函數(shù)就變?yōu)榈男问?，因此，此類函?shù)的最值也可以通過換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.對于形如的函數(shù)也可以采用同樣的方法.此類題目也應(yīng)該注意換元前后變量的取值范圍要保持相同.【例4】函數(shù)的最小值為___________.【答案】【解析】由已知得，令，則，，且，所以.故當(dāng)時(shí)，.【變式】函數(shù)的最大值為___________.【答案】【解析】，令，則，且，所以，當(dāng)時(shí)，.結(jié)論五、型函數(shù)的最值此類題目的特點(diǎn)是分子或分母中含有或的一次式的形式，一般可將其化為的形式，然后利用三角函數(shù)的有界性求其最值.【例5】函數(shù)的值域?yàn)開__________.【答案】[－1，1]【解析】由得，所以(其中為輔助角，所以.