福建省福州重點中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題(含答案)

福州重點2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．滿分150分．第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若直線與直線垂直，則實數(shù)a的取值是（）A．或B．C．D．2．已知等比數(shù)列中，則（）A．10B．14C．18D．543．已知雙曲線的一條漸近線方程為，實軸長為4，則雙曲線的方程為（）A．B．C．或D．或4．已知不重合的直線和平面，則下列判斷正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則5．在平行六面體中，E為延長線上一點，且，則（）A．B．C．D．6．函數(shù)的圖象大致是以下的（）A．B．C．D．7．已知圓上動弦的長為，若圓上存在點P恰為線段的中點，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．B．C．D．8．已知，則（）A．B．C．D．二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9．下列求導(dǎo)正確的是（）A．B．C．D．10．已知直線經(jīng)過拋物線的焦點F，且l與C相交于A，B兩點，則下列結(jié)論中正確的是（）A．B．C．D．以為直徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相切11．已知是公比為的等比數(shù)列，且其前n項和滿足對任意恒成立，則給出的下列結(jié)論中正確的是（）A．是遞增數(shù)列B．時，是遞增數(shù)列C．是遞減數(shù)列D．時，是遞減數(shù)列12．已知空間直角坐標(biāo)系中，同在球F的球面上，則下列結(jié)論中正確的是（）A．平面B．球F的表面積為C．E點的軌跡長度為D．球的弦長度的最大值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知向量，則點A到直線的距離為___________．14．函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)m的取值范圍是___________．15．已知雙曲線的右焦點為F，一條過原點O的直線與雙曲線左右兩支分別相交于A，B兩點，，若，則雙曲線C的離心率為___________．16．若數(shù)列滿足：，則定義數(shù)列為函數(shù)的“切線——零點數(shù)列”．已知，數(shù)列為函數(shù)的“切線——零底數(shù)列”，，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項和___________．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，求的面積．18．（本小題滿分12分）已知圓，直線．（1）若直線l與圓O相切，求m的值；（2）當(dāng)時，已知P為直線l上的動點，過P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，當(dāng)切線長最短時，求弦所在直線的方程．19．（本小題滿分12分）如圖，多面體由兩個完全相同的四棱錐底面重合拼接而成，它們的公共底面為矩形，四邊形為平行四邊形，，，M為棱的中點．（1）求證：平面；（2）若該多面體體積為4，求直線與平面夾角的余弦值．20．（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前n項和為．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）若曲線在處的切線與y軸垂直，求實數(shù)a的值；（2）若函數(shù)存在極大值為，求實數(shù)a的值．22．（本小題滿分12分）已知圓錐曲線C的對稱中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過點與點．（1）求曲線C的方程；（2）已知T為直線上的動點（T不在x軸上），A，B為曲線C與x軸的交點，直線與曲線C相交的另一點為M，直線與曲線C相交的另一點為N，記和的面積分別為，若，求直線的方程．高二數(shù)學(xué)參考答案選擇題123456ADCDBD789101112CBADBCABDACD填空題1314151611．【解析】，解得或，選A．2．【解析】，選D．3．【解析】實軸長，若雙曲線焦點在x軸上，則雙曲線方程為，若雙曲線焦點在y軸上，則雙曲線方程為，故選C．4．【解析】若，則或，A錯；若，則或m與相交或，B錯；若，則或，C錯；若，則，D對；故選D．5．【解析】，選B．6．【解析】非奇函數(shù)也非偶函數(shù)，故排除AB，時，，故，選D．7．【解析】由圓的弦長為可知中點P到的距離即為，所以動點P的軌跡為圓，可知若圓上存在點P，則圓與圓有公共點，所以，即，解得，選C．8．【解析】，而，所以b最大，構(gòu)造函數(shù)，因為，當(dāng)時，當(dāng)時，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又因為，所以，即，故，選B．9．【解析】因為，故B錯，，故C錯，選AD．10．【解析】依題意可知，所以，解得，A錯；由消去y可得，所以，B對；由韋達(dá)定理得，C對；以為直徑的圓的圓心橫坐標(biāo)為，而，故該圓圓心到y(tǒng)軸的距離恰好等于半徑，所以該圓與y軸相切，與準(zhǔn)線相離，D錯；故選BC．11．【解析】依題意可知，移項整理得對恒成立．當(dāng)時，不滿足題意，舍去；當(dāng)時，得恒成立，所以或，所以為遞增數(shù)列，A對C錯；當(dāng)時，由上面結(jié)論可知，所以，故是遞增數(shù)列，B對；當(dāng)時，由上述結(jié)論可知，所以，故是遞減數(shù)列，D對；故選ABD．12．【解析】依題意可知，平面的法向量為，所以，又因為平面為坐標(biāo)平面平面，所以平面，A對；設(shè)球心，因為同在球F的球面上，所以球半徑R，故，解得，即，半徑，所以球F的表面積為，B錯；由得為點E滿足的軌跡方程，所以其軌跡長度為該圓周長，C對；，且由E的軌跡方程可知，所以當(dāng)時，弦長度的最大值為，D對；故選ACD．13．【解析】在方向上投影向量的模為，所以．14．【解析】在上恒成立，所以，解得15．【解析】設(shè)為雙曲線的左焦點，連接，則由雙曲線對稱性及其定義可知四邊形為平行四邊形，且，因為且，所以，，由余弦定理可得，解得．16．【解析】依題意可知，所以，故，即，且，所以（常數(shù)），故是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，所以．17．【解】（1）因為2分令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．4分（2）由（1）可得，所以，5分因為，所以，所以，故，6分因為，且，所以，解得或，8分當(dāng)時，，當(dāng)時，．10分18．【解】（1）設(shè)圓心O到直線l的距離為d，因為直線l與圓O相切，所以，2分解得；4分（2）當(dāng)時，直線，連接，則，所以O(shè)，A，P，B四點共圓，切線長，故最短當(dāng)且僅當(dāng)最短，即時最短，6分因為，所以，此時，所以，聯(lián)立得，8分故以為直徑的圓的方程為，10分因為弦即圓O與上述圓的公共弦，所以弦所在直線方程為．12分19．【解】（1）連接交于N，連接，1分因為四邊形為平行四邊形，所以N為中點，2分因為M為中點，所以為三角形的中位線，所以，3分因為平面平面，所以平面；4分（2）依題意可知平面平面，平面平面，平面，且，所以平面，即為四棱錐的高，所以，因為矩形中，，又因為平行四邊形中，所以兩兩垂直，5分以D為原點，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，6分設(shè)則，解得，7分則，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，9分設(shè)直線與平面所成角為，則，11分所以與平面所成角的余弦值為．12分20．【解】（1）證明：當(dāng)時，，所以；1分當(dāng)時，因為，2分所以，3分因為，所以，4分化簡得，所以，5分所以，6分所以是以2為首項和公差的等差數(shù)列；7分（2）由（1）可得，8分所以，10分12分21．【解】（1）依題意，，2分因為在處的切線與y軸垂直，所以，解得；4分（2）由（1）知，5分①當(dāng)時，由得，由得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間，此時有極大值，解得，不合題意，舍去；6分②當(dāng)時，分以下三種情況：（i）若，則在定義域內(nèi)恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間，無極值，舍去；7分（ii）若，令得或，令得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，此時有極大值，解得；9分（iii）若，令得或，令得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，此時有極大值，10分設(shè)，因為，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，故此時不存在a符合題意，11分綜上所述，實數(shù)．12分22．【解】（1）設(shè)曲線，因為曲線C過點與點，所以，2分解得，所以曲線方程