新教材2023版高中數(shù)學(xué)第2章平面解析幾何初步2.1直線的斜率學(xué)生用書湘教版選擇性必修第一冊

2.1直線的斜率最新課程標(biāo)準(zhǔn)(1)理解直線的傾斜角和斜率的概念．(2)了解斜率公式的推導(dǎo)過程，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式．新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)要點(diǎn)一直線的傾斜角1．定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，把x軸正向繞交點(diǎn)______旋轉(zhuǎn)到與直線l向上的方向首次重合所成的角α叫作直線l的傾斜角?.2．范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是________，并規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0.要點(diǎn)二直線的斜率1．定義：一條直線的傾斜角α(α≠π2)的________值k稱為這條直線的斜率．即k2．斜率公式?：經(jīng)過兩個(gè)不同點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝________．批注?任何一條直線都有傾斜角；不同的直線其傾斜角有可能相同，如平行的直線其傾斜角是相同的．批注?在應(yīng)用斜率公式求斜率時(shí)，首先應(yīng)注意這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等，若相等，則過這兩點(diǎn)的直線與x軸垂直，即直線的傾斜角為π2基礎(chǔ)自測1.判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)若α是直線l的傾斜角，則0°≤α＜180°.()(2)若k是直線的斜率，則k∈R.()(3)任一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率．()(4)任一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角．()2．直線y＝x－3的傾斜角為()A．120°B．135°C．45°D．60°3．已知直線l的傾斜角為30°，則直線l的斜率為()A.33B．C．1D．24．已知一條直線過點(diǎn)(3，－2)與點(diǎn)(－1，－2)，則這條直線的傾斜角是()A．0°B．45°C．60°D．90°5．已知直線l的向上方向與x軸正向所成的角為60°，則直線的斜率為________．題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1直線的傾斜角例1(1)(多選)下列命題正確的是()A．直線x＝1的傾斜角不存在B．直線x＝π4的傾斜角為C．若直線的傾斜角為α，則sinα≥0D．若直線l經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)(－1，1)，則直線l的傾斜角為135°(2)設(shè)直線l過原點(diǎn)，其傾斜角為α，將直線l繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)40°，得直線l1，則直線l1的傾斜角為()A．α＋40°B．α－140°C．140°－αD．當(dāng)0°≤α＜140°時(shí)為α＋40°，當(dāng)140°≤α＜180°時(shí)為α－140°方法歸納求直線的傾斜角的方法及注意事項(xiàng)(1)方法：結(jié)合圖形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)注意：①當(dāng)直線與x軸平等或重合時(shí)，傾斜角為0°；當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，傾斜角為90°.②直線傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°.鞏固訓(xùn)練1(1)如圖，直線l的傾斜角為()A．60°B．120°C．30°D．150°(2)一條直線l與x軸相交，其向上的方向與y軸正方向所成的角為α(0°＜α＜90°)，則其傾斜角為()A．αB．180°－αC．180°－α或90°－αD．90°＋α或90°－α題型2直線的斜率例2(1)若直線l的斜率k＝－2，又過一點(diǎn)(3，2)，則直線l經(jīng)過點(diǎn)()A．(0，4)B．(4，0)C．(0，－4)D．(－2，1)(2)在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(2，2)，B(－2，3－1)，若過點(diǎn)P(－1，－1)的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍是________．方法歸納求直線斜率3種方法鞏固訓(xùn)練2(1)已知直線l的傾斜角為α，且sinα＝45，則直線lA．34B．43C．±34(2)已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1，2)，且不經(jīng)過第四象限，則直線l的斜率k的取值范圍是()A．(－1，0]B．[0，1]C．[1，2]D．[0，2]題型3斜率與傾斜角的變化關(guān)系例3(1)若右圖中直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則()A.k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2(2)已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)M(m＋3，2m＋5)，N(m－2，1)．①當(dāng)m為何值時(shí)，直線MN的傾斜角為銳角？②當(dāng)m為何值時(shí)，直線MN的傾斜角為鈍角？③直線MN的傾斜角可能為直角嗎？方法歸納斜率與傾斜角的變化關(guān)系當(dāng)傾斜角為銳角時(shí)，傾斜角越大，斜率為正且越大；當(dāng)傾斜角為鈍角時(shí)，傾斜角越大，斜率為負(fù)且越大．鞏固訓(xùn)練3已知兩點(diǎn)A(－1，2)，B(m，3)，求：(1)直線AB的斜率k；(2)已知實(shí)數(shù)m∈-33-1，易錯(cuò)辨析忽略直線的斜率不存在致誤例4已知直線l經(jīng)過兩點(diǎn)A(2，－1)，B(t，4)，則直線l的斜率為________．解析：當(dāng)t＝2時(shí)，直線l與x軸垂直，所以直線l的斜率不存在；當(dāng)t≠2時(shí)，直線l的斜率k＝4--1綜上所述，當(dāng)t＝2時(shí)，直線l的斜率不存在；當(dāng)t≠2時(shí)，直線l的斜率k＝5t答案：不存在或5【易錯(cuò)警示】出錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得漏掉了t＝2的情況．在利用斜率公式求直線的斜率時(shí)，一定要注意兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相等的情況．第2章平面解析幾何初步2．1直線的斜率新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一1．逆時(shí)針2．0≤α＜π要點(diǎn)二1．正切tanα2.y[基礎(chǔ)自測]1．(1)√(2)√(3)√(4)×2．解析：由y＝x－3可得直線的斜率為k＝1，設(shè)直線的傾斜角為θ，tanθ＝1，因?yàn)?°≤θ＜180°，所以θ＝45°.答案：C3．解析：由題意可知，k＝tan30°＝33答案：A4．解析：∵k＝04＝0，∴θ答案：A5．解析：因?yàn)橹本€l的向上方向與x軸正向所成的角為60°，所以直線l的傾斜角為60°，所以直線的斜率為k＝tan60°＝3.答案：3題型探究·課堂解透例1解析：(1)對于A，直線x＝1與x軸垂直，其傾斜角為90°，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)橹本€x＝π4垂直于x軸，故傾斜角為90°，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?°≤α＜180°，所以sinα≥0，故選項(xiàng)正確；對于D，畫圖可知，直線l(2)根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示：因?yàn)?°≤α＜180°，顯然A，B，C未分類討論，均不全面，不合題意．通過畫圖(如圖所示)可知：當(dāng)0°≤a＜140°時(shí)，l1的傾斜角為α＋40°；當(dāng)140°≤α＜180°時(shí)，l1的傾斜角為40°＋α－180°＝α－140°.答案：(1)CD(2)D鞏固訓(xùn)練1解析：(1)由圖易知l的傾斜角為45°＋105°＝150°.(2)如圖，當(dāng)l向上方向的部分在y軸左側(cè)時(shí)，傾斜角為90°＋α；當(dāng)l向上方向的部分在y軸右側(cè)時(shí)，傾斜角為90°－α.答案：(1)D(2)D例2解析：(1)對于A，k＝4-20對于B，k＝2-對于C，k＝2-對于D，k＝2-13解析：(2)如圖可得kPA＝-1-2-1-2＝1，所以直線l斜率的取值范圍是(－∞，－3]∪答案：(1)B(2)(－∞，－3]∪鞏固訓(xùn)練2解析：(1)∵sinα＝45且0°≤α∴cosα＝±1-sin2∴k＝tanα＝sinαcosα(2)由作圖可知當(dāng)直線位于圖陰影部分所示的區(qū)域內(nèi)時(shí)，滿足題意，所以直線l的斜率滿足0≤k≤2.答案：(1)D(2)D例3解析：(1)直線l1的傾斜角α1是鈍角，故k1＜0.直線l2與l3的傾斜角α2與α3均為銳角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2.(2)①若傾斜角為銳角，則斜率大于0，即k＝2m+5-1m+3-m②若傾斜角為鈍角，則斜率小于0，即k＝2m+5-1m+3-m③當(dāng)直線MN垂直于x軸時(shí)直線的傾斜角為直角，此時(shí)，m＋3＝m－2，此方程無解，故直線MN的傾斜角不可能