山西省2024屆高三上學(xué)期優(yōu)生聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1山西省2024屆高三上學(xué)期優(yōu)生聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?故選：B2.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由，等價(jià)于，解得或，所以，又，所以.故選：C3.第19屆亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)于2023年9月23日至10月8日在中國杭州舉行，時(shí)值中秋和國慶假期，某班同學(xué)利用假期在家通過網(wǎng)絡(luò)直播觀看比賽.已知該班有30名學(xué)生喜歡看排球比賽，40名同學(xué)喜歡看籃球比賽，50名同學(xué)喜歡看排球比賽或籃球比賽，若從喜歡看排球比賽的同學(xué)中抽取1人，則此同學(xué)喜歡看籃球比賽的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)有人兩種比賽都喜歡，則有人只喜歡看排球比賽，人只喜歡看籃球比賽，所以有，解得人，所以從喜歡看排球比賽的同學(xué)中抽取1人，則此同學(xué)喜歡看籃球比賽的概率為.故選：B4.已知平面向量、滿足，若，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，且，所以，即，所以，設(shè)與的夾角為，則，因?yàn)?，所以，即與的夾角為.故選：D5.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C上，若點(diǎn)，則周長的最小值為（）．A.13 B.12 C.10 D.8〖答案〗A〖解析〗，故,記拋物線的準(zhǔn)線為，則：，記點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)到的距離為，則.故選：A.6.已知、是兩個(gè)平面，直線，，若以①；②；③中兩個(gè)為條件，另一個(gè)為結(jié)論構(gòu)成三個(gè)命題，則其中正確的命題有（）A.①③②；①②③ B.①③②；②③①C.①②③；②③① D.①③②；①②③；②③①〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗（1）①②③為真命題因?yàn)?，，設(shè)平行于內(nèi)一條直線，所以，根據(jù)面面垂直的判定定理可知：，所以①②③為真命題；（2）①③②為真命題因?yàn)椋?，所以或，又因?yàn)?，所以，所以①③②為真命題；（3）②③①為假命題作出正方體如下圖所示：記直線為，平面為，平面為，所以，，但，所以②③①為假命題；故選：A.7.已知函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于軸對稱，若將的圖象向左至少平移個(gè)單位長度后可得到的圖象，則（）A.圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱B.C.在上單調(diào)遞增D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱〖答案〗B〖解析〗由題意，可設(shè)，，因?yàn)榕c的圖象關(guān)于軸對稱，所以，則，解得，由于，，故的最小值為，因?yàn)榈膱D象向左至少平移個(gè)單位長度后可得到的圖象，所以，解得，則.對于A，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，而，所以不是奇函?shù)，圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱，錯(cuò)誤；對于B，，B正確；對于C，由，得，又在上不單調(diào)，C錯(cuò)誤；對于D，，故不是圖象的對稱中心，D錯(cuò)誤.故選：B.8.如圖所示是畢達(dá)哥拉斯的生長程序：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形，如此繼續(xù).設(shè)初始正方形的邊長為，依次構(gòu)造出的小正方形（含初始正方形）的邊長構(gòu)成數(shù)列，若的前n項(xiàng)和為，令，其中表示x，y中的較大值.若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)榈那皀項(xiàng)和為，所以當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，符合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列滿足，因?yàn)?，公比，所以，所以，因?yàn)閿?shù)列是遞減數(shù)列，而是遞增數(shù)列；，其中表示x，y中的較大值.若恒成立，所以是數(shù)列中的最小項(xiàng)，所以當(dāng)時(shí)，則，即，解得，當(dāng)時(shí)，則，即，解得，取并集可得，故選：D.二、選擇題9.下列代數(shù)式的值為的是（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A選項(xiàng)，；對于B選項(xiàng)，；對于C選項(xiàng)，；對于D選項(xiàng)，.故選：BCD.10.已知，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?，所以，故，又因，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故C正確；對于D，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故D正確.故選：BCD.11.已知定義在上的函數(shù)滿足，且為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A.是周期為的周期函數(shù) B.C.當(dāng)時(shí)， D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A選項(xiàng)，因?yàn)槎x在上的函數(shù)滿足，則，故是周期為的周期函數(shù)，A對；對于B選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，在等式中，令可得，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，則，解得，故當(dāng)時(shí)，，所以，，B對；對于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)椋瑒t函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)，可知，，則，且，所以，，因，故，D對.故選：ABD.12.在長方體中，，E是棱的中點(diǎn)，過點(diǎn)B，E，的平面交棱于點(diǎn)F，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則（）A.三棱錐的體積為定值B.存在點(diǎn)P，使得C.直線與平面所成角的正切值的最大值為D.三棱錐外接球的表面積的取值范圍是〖答案〗ACD〖解析〗對于A，因?yàn)槠矫嫫矫妫鶕?jù)面面平行的性質(zhì)，平面與這兩個(gè)平面的交線互相平行，即，因?yàn)槊妫妫云矫?，又點(diǎn)P在線段上，所以三棱錐的體積為定值，故A正確；對于B，若存在點(diǎn)P，使得，因?yàn)?，則，因?yàn)椋?，平?所以平面，與題意矛盾，故B錯(cuò)誤；對于C，如圖1所示，取的中點(diǎn)Q，連接，則點(diǎn)P在平面內(nèi)的射影在上，直線與平面所成角即，且有，由已知可得，最小為，所以的最大值為，故C正確；對于D，如圖2，取的中點(diǎn)G，連接，分別取，的中點(diǎn)，，連接，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所以三棱錐外接球的球心O在直線上，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，所以，設(shè)，則，所以,當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，取最小值，此時(shí)，三棱錐外接球的表面積為，當(dāng)點(diǎn)P與重合時(shí)，取最大值，此時(shí)，三棱錐外接球的表面積為，故D正確．故選：ACD.三、填空題13.已知，則_______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?，所以，即，所以，所以．故〖答案〗為?14.已知函數(shù)，若直線與曲線相切，則________________.〖答案〗〖解析〗設(shè)切點(diǎn)為，，由題意可得，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，又，所以，所以切點(diǎn)為，則，解得.故〖答案〗為：.15.月球背面指月球的背面，從地球上始終不能完全看見.某學(xué)習(xí)小組通過單光源實(shí)驗(yàn)來演示月球背面.由光源點(diǎn)射出的兩條光線與分別相切于點(diǎn)、，稱兩射線、上切點(diǎn)上方部分的射線與優(yōu)弧上方所夾的平面區(qū)域(含邊界)為圓的“背面”.若以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓處于的“背面”，則的最大值為__________.〖答案〗〖解析〗如圖設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，所以，解得，所以直線的方程為，即，令，解得，直線的方程為，即，令，解得，因?yàn)閳A處于圓的“背面”，所以，當(dāng)圓與圓外切且圓與（或）相切時(shí)，取最大值，由圓與圓外切得，圓與相切時(shí)，又，所以，所以，即，解得或，結(jié)合，所以，所以的最大值為，同理圓與相切時(shí)的最大值為，綜上可得的最大值為.故〖答案〗為：16.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的左支上，，，延長交的右支于點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)（異于兩點(diǎn)），則直線與的斜率之積__________.〖答案〗2〖解析〗依題意，設(shè)雙曲線的半焦距為，則，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，故由得，又因?yàn)?，所以，在中，，在中，，所以，解得，所以，所以雙曲線方程為，則，設(shè)，，，所以，故〖答案〗為：2.四、解答題17.在等差數(shù)列中，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.（1）解：設(shè)等差數(shù)列公差為，則，解得，所以，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，當(dāng)時(shí)，則有，當(dāng)時(shí)，由可得，上述兩個(gè)等式作差可得，即，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則.（2）解：因?yàn)?，則，①可得，②①②得，故.18.已知中，角所對的邊分別為.（1）求；（2）設(shè)是邊上的點(diǎn)，且滿足，求內(nèi)切圓的半徑.解：（1）已知，由正弦定理得，又，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?（2）如圖所示：在中根據(jù)余弦定理得，即，①又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，將兩邊平方并整理得，②?lián)立①②得到，所以，，所以，.所以的面積為.設(shè)其內(nèi)切圓半徑為，則，解得，所以內(nèi)切圓的半徑為.19.2020年某地在全國志愿服務(wù)信息系統(tǒng)注冊登記志愿者8萬多人．2019年7月份以來，共完成1931個(gè)志愿服務(wù)項(xiàng)目，8900多名志愿者開展志愿服務(wù)活動(dòng)累計(jì)超過150萬小時(shí)．為了了解此地志愿者對志愿服務(wù)的認(rèn)知和參與度，隨機(jī)調(diào)查了500名志愿者每月的志愿服務(wù)時(shí)長（單位：小時(shí)），并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求這500名志愿者每月志愿服務(wù)時(shí)長的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表）；（2）由直方圖可以認(rèn)為，目前該地志愿者每月服務(wù)時(shí)長服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進(jìn)行計(jì)算：若，令，則，且．（?。├弥狈綀D得到的正態(tài)分布，求；（ⅱ）從該地隨機(jī)抽取20名志愿者，記表示這20名志愿者中每月志愿服務(wù)時(shí)長超過10小時(shí)的人數(shù)，求（結(jié)果精確到0.001）以及的數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：，．若，則．解：（1）．．（2）（?。┯深}知，，所以，．所以．（ⅱ）由（?。┲?，可得．．故的數(shù)學(xué)期望．20.如圖，在三棱柱中，側(cè)面的面積為4，且四棱錐的體積為.（1）求點(diǎn)到平面的距離;（2）若平面平面，側(cè)面是正方形，為中點(diǎn)，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.解：（1）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由三棱柱知，四邊形是平行四邊形，所以，所以，由三棱柱知四邊形是平行四邊形，所以，又，所以，解得，即點(diǎn)到平面的距離為2；（2）取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，且，所以，又平面平面，則平面，且是正方形，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸正方向，過點(diǎn)作軸平行，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)槠矫嫫矫?，且是正方形，則平面，由（1）可知，，，則，，，，，且為的中點(diǎn)，則，所以，設(shè)平面法向量為，則，解得，取，則，所以平面的一個(gè)法向量為，又，設(shè)平面的法向量為，則，解得，取，則，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，，即平面與平面所成銳二面角的余弦值為.21.設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）作直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)是線段垂直平分線上一點(diǎn)，且滿足，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）依題意可得，所以，則，所以橢圓的方程為.（2）由，根據(jù)題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，由，消去整理得，設(shè)，則，所以，則，所以，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，①當(dāng)時(shí)，，線段的垂直平分線為軸，于是，．由，解得．②當(dāng)時(shí)，線段的垂直平分線的方程為．由點(diǎn)是線段垂直平分線