新教材2023版高中數(shù)學課時作業(yè)十五雙曲線及其標準方程北師大版選擇性必修第一冊

課時作業(yè)(十五)雙曲線及其標準方程[練基礎(chǔ)]1．雙曲線eq\f(x2,10)－eq\f(y2,2)＝1的焦距為()A．2eq\r(2)B．3eq\r(2)C．4eq\r(2)D．4eq\r(3)2．若雙曲線8kx2－ky2＝8的一個焦點坐標是(3,0)，則k＝()A．1B．－1C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)3．在雙曲線中，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),2)，且雙曲線與橢圓4x2＋9y2＝36有公共焦點，則雙曲線的方程是()A.eq\f(y2,4)－x2＝1B.eq\f(x2,4)－y2＝1C．x2－eq\f(y2,4)＝1D．y2－eq\f(x2,4)＝14．若雙曲線E：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,160)＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線E上，且|PF1|＝15，則|PF2|＝()A．9B．21C．9或21D．185．已知雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，點A，B在雙曲線的右支上，線段AB經(jīng)過雙曲線的右焦點F2，|AB|＝m，F(xiàn)1為另一焦點，則△ABF1的周長為()A．2a＋2mB．4a＋2mC．a(chǎn)＋mD．2a＋4m6．[多選題]若方程eq\f(x2,5－t)＋eq\f(y2,t－1)＝1所表示的曲線為C，則下面四個命題中正確的是()A．若1<t<5，則C為橢圓B．若t<1，則C為雙曲線C．若C為雙曲線，則焦距為4D．若C為焦點在y軸上的橢圓，則3<t<57．以橢圓eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,5)＝1長軸的兩端點為焦點，且經(jīng)過點(3，eq\r(10))的雙曲線的標準方程為________．8．與雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1共焦點，且過點(3eq\r(2)，2)的雙曲線方程．9．已知雙曲線eq\f(x2,m)－eq\f(y2,3m)＝1的一個焦點是(0,2)，橢圓eq\f(y2,n)－eq\f(x2,m)＝1的焦距等于4，則n＝________.10．一動圓與⊙A：(x＋5)2＋y2＝49和⊙B：(x－5)2＋y2＝1都外切，求動圓圓心P的軌跡方程．[提能力]11．[多選題]已知方程mx2＋ny2＝1，其中m2＋n2≠0，則()A．mn>0時，方程表示橢圓B．當m>0，n<0時，方程表示焦點在x軸上的雙曲線C．當m<0，n>0時，方程表示焦點在y軸上的雙曲線D．當n>m>0時，方程表示焦點在x軸上的橢圓12．已知雙曲線的兩個焦點為F1(－eq\r(5)，0)，F(xiàn)2(eq\r(5)，0)，P是此雙曲線上的一點，且PF1⊥PF2，|PF1||PF2|＝2，則該雙曲線的方程是()A.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,3)＝1B.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)－y2＝1D．x2－eq\f(y2,4)＝113．若方程eq\f(y2,4)－eq\f(x2,m＋1)＝1表示雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍是____________；若表示橢圓，則m的取值范圍是____________．14．設(shè)雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2.若點P在雙曲線上，且△F1PF2為銳角三角形，則|PF1|＋|PF2|的取值范圍是________．15．如圖，若F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的兩個焦點．(1)若雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16，求點M到另一個焦點的距離；(2)若P是雙曲線左支上的點，且|PF1|·|PF2|＝32，試求△F1PF2的面積．[培優(yōu)生]16．已知△ABC的頂點A(－p,0)，B(p,0)，其內(nèi)心在直線x＝q上，且p>q>0，則頂點C的軌跡方程為______________．課時作業(yè)(十五)1．解析：由c2＝a2＋b2＝10＋2＝12∴c＝2eq\r(3)，∴焦距2c＝4eq\r(3)，故選D.答案：D2．解析：依題意，知雙曲線的焦點在x軸上，且c＝3，方程可化為eq\f(x2,\f(1,k))－eq\f(y2,\f(8,k))＝1，則k>0，且a2＝eq\f(1,k)，b2＝eq\f(8,k)，所以eq\f(1,k)＋eq\f(8,k)＝9，解得k＝1，故選A.答案：A3．解析：橢圓的標準方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，故焦點坐標為(±eq\r(5)，0)，∴c＝eq\r(5).由eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),2)，得a＝2，又雙曲線中c2＝a2＋b2，則b2＝1.故雙曲線方程為eq\f(x2,4)－y2＝1.答案：B4．解析：由于|PF1|＝15<c＋a＝13＋3＝16，所以點P在雙曲線E的左支上，所以由雙曲線的定義，得|PF2|－|PF1|＝2a＝6，即|PF2|－15＝6，故|PF2|＝21.答案：B5．解析：由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|AF1|－|AF2|＝2a，,|BF1|－|BF2|＝2a，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|AF1|＝2a＋|AF2|，,|BF1|＝2a＋|BF2|，))且|AF2|＋|BF2|＝|AB|＝m，所以△ABF1的周長為|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2m.故選B.答案：B6．解析：由題意，若方程eq\f(x2,5－t)＋eq\f(y2,t－1)＝1表示橢圓，則滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－t>0，,t－1>0，,5－t≠t－1，))解得1<t<3或3<t<5，對于A，當t＝3時，原方程可化為x2＋y2＝2，且表示圓，所以不正確；若方程eq\f(x2,5－t)＋eq\f(y2,t－1)＝1表示焦點在y軸上的橢圓，則滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－t>0，,t－1>0，,5－t<t－1，))解得3<t<5，所以D項正確；對于B，當t<1時，5－t>0，t－1<0，此時表示焦點在x軸上的雙曲線，所以是正確的；對于C，當t＝0時，原方程為eq\f(x2,5)－y2＝1，此時雙曲線的焦距為2eq\r(6)，所以不正確．答案：BD7．解析：由題意得，雙曲線的焦點在x軸上，且c＝2eq\r(2).設(shè)雙曲線的標準方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則有a2＋b2＝c2＝8，eq\f(9,a2)－eq\f(10,b2)＝1，解得a2＝3，b2＝5.故所求雙曲線的標準方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,5)＝1.答案：eq\f(x2,3)－eq\f(y2,5)＝18．解析：由于所求的雙曲線與已知的雙曲線共焦點，從而可設(shè)所求的雙曲線方程為eq\f(x2,16－k)－eq\f(y2,4＋k)＝1.由于點(3eq\r(2)，2)在所求的雙曲線上，從而有eq\f(18,16－k)－eq\f(4,4＋k)＝1.整理，得k2＋10k－56＝0，∴k＝4或k＝－14.又16－k>0，4＋k>0，∴－4<k<16.從而得k＝4.故所求雙曲線的方程為eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.答案：eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝19．解析：因為雙曲線的焦點是(0，2)，所以雙曲線的標準方程是eq\f(y2,－3m)－eq\f(x2,－m)＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，c2＝－4m＝4，即m＝－1，故橢圓方程為：eq\f(y2,n)＋x2＝1，∴橢圓焦距2c＝2eq\r(n－1)＝4或2c＝2eq\r(1－n)＝4，解得n＝5或n＝－3(此時方程不表示橢圓，舍去).答案：510．解析：設(shè)動圓的半徑為r，依題意得|PA|＝r＋7，|PB|＝1＋r，如圖，∴|PA|－|PB|＝6.而A，B為定點，且|AB|＝10，由雙曲線的定義知P點的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的右支．又A(－5，0)，B(5，0)，∴|AB|＝10＝2c.∴c＝5.又2a＝6，∴a＝3，∴b2＝c2－a2＝16.故其軌跡方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x≥3).11．解析：當m<0，n<0，則mx2＋ny2＝1不表示橢圓，A錯誤；當m>0，n<0時，則eq\f(x2,\f(1,m))－eq\f(y2,－\f(1,n))＝1表示焦點在x軸上的雙曲線，B正確；當m<0，n>0時，則eq\f(y2,\f(1,n))－eq\f(x2,－\f(1,m))＝1表示焦點在y軸上的雙曲線，C正確；當n>m>0時，0<eq\f(1,n)<eq\f(1,m)，eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1表示焦點在x軸上的橢圓，D正確．故選BCD.答案：BCD12．解析：由題意知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2eq\r(5))2＝20.又|PF1||PF2|＝2，由雙曲線定義，得||PF1|－|PF2||＝2a，∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|＝20，即4a2＋2×2＝20，∴a2＝4.∴b2＝c2－a2＝1.∴雙曲線的方程是eq\f(x2,4)－y2＝1.答案：C13．解析：若表示雙曲線，則必有m＋1>0，即m>－1，若表示橢圓，則必有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1<0,m＋1≠－4))，解得m<－1且m≠－5.答案：(－1，＋∞)(－∞，－5)∪(－5，－1)14．解析：由已知得F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0).設(shè)P(x，y)是雙曲線右支上任一點，則1<x<2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝\r(（x＋2）2＋y2)，,|PF2|＝\r(（x－2）2＋y2)，,x2－\f(y2,3)＝1，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝2x＋1，,|PF2|＝2x－1，))又△F1PF2為銳角三角形，則|PF1|2＋|PF2|2>|F1F2|2，即(2x＋1)2＋(2x－1)2>42，得x>eq\f(\r(7),2)，故eq\f(\r(7),2)<x<2，所以|PF1|＋|PF2|＝4x∈(2eq\r(7)，8).答案：(2eq\r(7)，8)15．解析：(1)由雙曲線的定義得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|MF1|－|MF2|))＝2a＝6，又雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16，假設(shè)點M到另一個焦點的距離等于x，則|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.由于c－a＝5－3＝2，10>2，22>2，故點M到另一個焦點的距離為10或22.(2)將||PF2|－|PF1||＝2a＝6，兩邊平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(100－100,2|PF1|·|PF2|)＝0，∴∠F1PF2＝90°，∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,2)×32