高校工程數(shù)學第3節(jié)復合閉路定理教學課件

§3.3根本定理的推廣——復合閉路定理一、閉路變形原理二、復合閉路定理三、典型例題四、小結與思考一、閉路變形原理把柯西-古薩根本定理推廣到多連域的情況。如果函數(shù)f(z)在多連域D內解析，C為D內的任何一條簡單閉曲線，且C的內部完全屬于D，從而f(z)在C上及其內部解析，故知：根據(jù)根本定理知，當C的內部不完全屬于D時，就不一定有上面的等式。閉路變形原理把根本定理推廣到多連域的情形：假設C及C1為D內的任意兩條(正向為逆時針力向)簡單閉曲線，C1在C的內部，而且以C及C1為邊界的區(qū)域D1全屬于D。閉路變形原理作兩條不相交的弧段

及

，它們依次連接C上某一點A到C1上的一點A'，以及C1上某一點C'(異于A')到C上的一點B，而且此兩弧段除去它們的端點外全屬于D1。這樣就使得AEBB'E'A'A及AA'F'B'BFA形成兩條全在D內的簡單閉曲線，它們的內部全屬于D(如圖)。閉路變形原理由前分析知：︵︵︵︵︵︵︵︵得：閉路變形原理︵︵︵︵閉路變形原理(3.3.1)說明，如果我們把兩條簡單閉曲線C及看成一條復合閉路Г，而且它的正向為：外面的閉曲線C按逆時針進行，內部的閉曲線按順時針進行〔就是沿Γ的正向進行時，Γ的內部總在Γ的左手邊〕，那末〔〕說明，一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內作連續(xù)變形而改變它的值。這一重要事實，稱為閉路變形原理。在變形過程中曲線不經(jīng)過函數(shù)f(z)的不解析的點.二、復合閉路定理累次用同樣的方法，可以證明：[定理]〔復合閉路定理〕設C為多連域D內的一條簡單閉曲線，C1,C2,…,Cn是在C內部的簡單閉曲線，它們互不包含也互不相交，并且以C,C1,C2,…,Cn為邊界的區(qū)域全屬于D。如果f(z)在D內解析，那么1〕其中，C及Ck均取逆時針(正)方向。2〕這里Γ為由C及所組成的復合閉路，(其方向是：C取正方向，取負方向)。復合閉路定理例如，從本章§1的例2知，當C為z0以為中心的正向圓周時，

，所以，根據(jù)閉路變形原理，對于包含z0的任何一條正向簡單閉曲線Γ有：

。三、典型例題[例1][解]依題意知,[例1]根據(jù)復合閉路定理,典型例題[例2]

解圓環(huán)域的邊界構成一條復合閉路,根據(jù)閉路復合定理,典型例題[例3]解[例3]由復合閉路定理,此結論非常重要,用起來很方便,因為不必是圓,a也不必是圓的圓心,只要a在簡單閉曲線內即可.典型例題[例3-3-1]計算

的值，Γ為包含圓周|z|=1在內的任何正向簡單閉曲線。[解]設C1及C2是Γ內的兩個互不包含也不相交的正向圓周，而且在被積函數(shù)的兩個奇點z=0與z=1中，C1只包圍原點z=0，C2只包圍z=1(如圖)。

[例3-3-1]那末可得：四、小結與思考本課所講述的復合閉路定理與閉路變形原理是復積分中的重要定理,掌握并能靈活應用它是本章的難點.常用結論:思考題1、復