高校工程數(shù)學(xué)第3節(jié)復(fù)合閉路定理教學(xué)課件

§3.3根本定理的推廣——復(fù)合閉路定理一、閉路變形原理二、復(fù)合閉路定理三、典型例題四、小結(jié)與思考一、閉路變形原理把柯西-古薩根本定理推廣到多連域的情況。如果函數(shù)f(z)在多連域D內(nèi)解析，C為D內(nèi)的任何一條簡單閉曲線，且C的內(nèi)部完全屬于D，從而f(z)在C上及其內(nèi)部解析，故知：根據(jù)根本定理知，當(dāng)C的內(nèi)部不完全屬于D時，就不一定有上面的等式。閉路變形原理把根本定理推廣到多連域的情形：假設(shè)C及C1為D內(nèi)的任意兩條(正向為逆時針力向)簡單閉曲線，C1在C的內(nèi)部，而且以C及C1為邊界的區(qū)域D1全屬于D。閉路變形原理作兩條不相交的弧段

及

，它們依次連接C上某一點A到C1上的一點A'，以及C1上某一點C'(異于A')到C上的一點B，而且此兩弧段除去它們的端點外全屬于D1。這樣就使得AEBB'E'A'A及AA'F'B'BFA形成兩條全在D內(nèi)的簡單閉曲線，它們的內(nèi)部全屬于D(如圖)。閉路變形原理由前分析知：︵︵︵︵︵︵︵︵得：閉路變形原理︵︵︵︵閉路變形原理(3.3.1)說明，如果我們把兩條簡單閉曲線C及看成一條復(fù)合閉路Г，而且它的正向為：外面的閉曲線C按逆時針進(jìn)行，內(nèi)部的閉曲線按順時針進(jìn)行〔就是沿Γ的正向進(jìn)行時，Γ的內(nèi)部總在Γ的左手邊〕，那末〔〕說明，一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值。這一重要事實，稱為閉路變形原理。在變形過程中曲線不經(jīng)過函數(shù)f(z)的不解析的點.二、復(fù)合閉路定理累次用同樣的方法，可以證明：[定理]〔復(fù)合閉路定理〕設(shè)C為多連域D內(nèi)的一條簡單閉曲線，C1,C2,…,Cn是在C內(nèi)部的簡單閉曲線，它們互不包含也互不相交，并且以C,C1,C2,…,Cn為邊界的區(qū)域全屬于D。如果f(z)在D內(nèi)解析，那么1〕其中，C及Ck均取逆時針(正)方向。2〕這里Γ為由C及所組成的復(fù)合閉路，(其方向是：C取正方向，取負(fù)方向)。復(fù)合閉路定理例如，從本章§1的例2知，當(dāng)C為z0以為中心的正向圓周時，

，所以，根據(jù)閉路變形原理，對于包含z0的任何一條正向簡單閉曲線Γ有：

。三、典型例題[例1][解]依題意知,[例1]根據(jù)復(fù)合閉路定理,典型例題[例2]

解圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路,根據(jù)閉路復(fù)合定理,典型例題[例3]解[例3]由復(fù)合閉路定理,此結(jié)論非常重要,用起來很方便,因為不必是圓,a也不必是圓的圓心,只要a在簡單閉曲線內(nèi)即可.典型例題[例3-3-1]計算

的值，Γ為包含圓周|z|=1在內(nèi)的任何正向簡單閉曲線。[解]設(shè)C1及C2是Γ內(nèi)的兩個互不包含也不相交的正向圓周，而且在被積函數(shù)的兩個奇點z=0與z=1中，C1只包圍原點z=0，C2只包圍z=1(如圖)。

[例3-3-1]那末可得：四、小結(jié)與思考本課所講述的復(fù)合閉路定理與閉路變形原理是復(fù)積分中的重要定理,掌握并能靈活應(yīng)用它是本章的難點.常用結(jié)論:思考題1、復(fù)