2024-2024高考數(shù)學(xué)真題分類-第24章-圓錐曲線-2-雙曲線及其性質(zhì)(理科)

·PAGE1·第2節(jié)雙曲線及其性質(zhì)題型116雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1.〔2024江西理14〕拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，假設(shè)為等邊三角形，那么．2.(2024陜西理11〕雙曲線的離心率為，那么等于.3．〔2024廣東理7〕中心在原點(diǎn)的雙曲線的右焦點(diǎn)為，離心率等于，在雙曲線的方程是〔〕.A． B．C． D．4.〔2024天津理5〕雙曲線的一條漸近線平行于直線：，雙曲線的一個焦點(diǎn)在直線上，那么雙曲線的方程為〔〕.A.B.C.D.5.〔2024廣東理4〕假設(shè)實(shí)數(shù)滿足那么曲線與曲線的〔〕.A.焦距相等B.實(shí)半軸長相等C.虛半軸長相等D.離心率相等6.〔2024北京理11〕設(shè)雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且與具有相同漸近線，那么的方程為________；漸近線方程為________.7.〔2024福建理3〕假設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，且，那么〔〕.A．11 B．9 C．5 D．37．解析由雙曲線定義得，即，得．應(yīng)選B．8.〔2024廣東理7〕雙曲線的離心率，且其右焦點(diǎn)為，那么雙曲線的方程為〔〕.A． B． C．D．8．解析因?yàn)樗箅p曲線的右焦點(diǎn)為，且離心率為，所以，，所以，所以所求雙曲線方程為.應(yīng)選C．9.〔2024天津理6〕雙曲線的一條漸近線過點(diǎn)，且雙曲線的一個焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，那么雙曲線的方程為〔〕.A． B． C． D．9．解析雙曲線的漸近線方程為，由點(diǎn)在漸近線上，所以，雙曲線的一個焦點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線方程上，所以，由此可解得，，所以雙曲線方程為.應(yīng)選D.10.〔2024江蘇3〕在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的焦距是．10.解析，故焦距為．11.〔2024全國乙理5〕方程EQ\F(x2,m2+n)EQ\F(y2,3m2–n)表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為，那么的取值范圍是〔〕.A.B.C.D.11.A解析由表示雙曲線，那么，得，所以焦距，得，因此.應(yīng)選A.12.〔2024天津理6〕雙曲線，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長為半徑的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于，，，四點(diǎn)，四邊形的面積為，那么雙曲線的方程為〔〕.A.B.C.D.12.D解析根據(jù)對稱性，不妨設(shè)在第一象限，，聯(lián)立，得.所以，得.故雙曲線的方程為.應(yīng)選D.13.〔2024北京理13〕雙曲線的漸近線為正方形的邊，所在的直線，點(diǎn)為該雙曲線的焦點(diǎn).假設(shè)正方形的邊長為，那么_______________.13.解析可得雙曲線C的漸近線方程為，所以.再由正方形的邊長為，得其對角線的長，所以，解得.14.〔2024北京理9〕假設(shè)雙曲線的離心率為，那么實(shí)數(shù)_________.14.解析由題知，那么.15.〔2024天津理5〕雙曲線的左焦點(diǎn)為，離心率為.假設(shè)經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，那么雙曲線的方程為〔〕.A.B.C.D.15.解析由題意得，，所以.又因?yàn)椋?，，那么雙曲線方程為.應(yīng)選B.16.〔2024全國3卷理科5〕雙曲線的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，那么的方程為〔〕.A． B． C． D．16．解析因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，那么①又因?yàn)闄E圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，易知，那么②由①,②，解得，那么雙曲線的方程為.應(yīng)選B.題型117雙曲線的漸近線1.〔2024江蘇3〕雙曲線的兩條漸近線的方程為.2．〔2024四川理6〕拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是〔〕A.B.C.D.3.(2024福建理3〕雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離等于〔〕.A.B.C.D.4.〔2024新課標(biāo)1理4〕是雙曲線：的一個焦點(diǎn)，那么點(diǎn)到的一條漸近線的距離為〔〕.A.B.C.D.5.〔2024山東理10〕,橢圓的方程為，雙曲線的方程為，與的離心率之積為，那么的漸近線方程為〔〕.A.B.C.D.6.〔2024北京理11〕設(shè)雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且與具有相同漸近線，那么的方程為________；漸近線方程為________.7.〔2024安徽理4〕以下雙曲線中，焦點(diǎn)在軸上且漸近線方程為的是〔〕.A．B．C．D．7.解析由題可得選項(xiàng)A，C的漸近線方程都為，但選項(xiàng)A的焦點(diǎn)在軸上．應(yīng)選C．8.〔2024北京理10〕雙曲線的一條漸近線為，那么.8.解析依題意，雙曲線的漸近線方程為，那么，得.9.〔2024江蘇12〕在平面直角坐標(biāo)系中，為雙曲線右支上的一個動點(diǎn)．假設(shè)點(diǎn)到直線的距離大于恒成立，那么實(shí)數(shù)的最大值為．9.解析找到到直線的最小距離〔或取不到〕，該值即為實(shí)數(shù)的最大值．由雙曲線的漸近線為，易知與平行，因此該兩平行線間的距離即為最小距離〔且無法到達(dá)〕，故實(shí)數(shù)的最大值為．10.〔2024四川理5〕過雙曲線的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于兩點(diǎn)，那么〔〕.A. B. C.6 D.10.解析由題意可得，，故.所以漸近線的方程為.將代入漸近線方程，得.那么.應(yīng)選D.11.〔2024浙江理9〕雙曲線的焦距是，漸近線方程是．11.解析因?yàn)?，所以焦距是，漸近線方程為.12.〔2024重慶理10〕設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，過作的垂線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，過，分別作，的垂線，兩垂線交于點(diǎn).假設(shè)到直線的距離小于，那么該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是〔〕.A.B.C.D.12.解析根據(jù)題意知點(diǎn)一定在軸上，所以點(diǎn)到直線的距離為，由圖知，，又因?yàn)椋?，解出，所以，根?jù)實(shí)際情況，所以．應(yīng)選A．13.〔2024上海理21〔1〕〕雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線過且與雙曲線交于，兩點(diǎn).假設(shè)的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；13.解析〔1〕由，，不妨取，那么，由題意，又，，所以，即，解得，因此漸近線方程為．14.〔2024江蘇08〕在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，其焦點(diǎn)是，那么四邊形的面積是．14.解析雙曲線的漸近線方程為，而右準(zhǔn)線為，所以，，從而．故填．15.〔2024山東理14〕.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右支與焦點(diǎn)為的拋物線交于兩點(diǎn)，假設(shè)，那么該雙曲線的漸近線方程為.15.解析設(shè)，由題意得.又，所以，從而雙曲線的漸近線方程為.題型118雙曲線離心率的值及取值范圍1．(2024湖南理14〕設(shè)是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，假設(shè)且的最小內(nèi)角為，那么的離心率為___.2.〔2024浙江理9〕如圖，是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，分別是，在第二.四象限的公共點(diǎn).假設(shè)四邊形為矩形，那么的離心率是A.B.C.D.3．〔2024湖北理5〕，那么雙曲線與的〔〕.A．實(shí)軸長相等B．虛軸長相等C．焦距相等D．離心率相等4.〔2024重慶理8〕設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)使得，那么該雙曲線的離心率為〔〕.B.C.D.5.〔2024湖北理9〕是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個公共點(diǎn)，且,那么橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為〔〕.A.B.C.3D.26.〔2024浙江理14〕設(shè)直線與雙曲線兩條漸近線分別交于點(diǎn)，假設(shè)點(diǎn)滿足，那么該雙曲線的離心率是__________.7.〔2024湖北理8〕將離心率為的雙曲線的實(shí)半軸長和虛半軸長同時增加個單位長度，得到離心率為的雙曲線，那么〔〕．A．對任意的， B．當(dāng)時，；當(dāng)時，C．對任意的， D．當(dāng)時，；當(dāng)時，7．解析由題意，，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，.應(yīng)選D.命題意圖考查雙曲線的有關(guān)概念、性質(zhì)及比較實(shí)數(shù)大小的根本方法8.〔2024湖南理13〕設(shè)是雙曲線的一個焦點(diǎn)，假設(shè)上存在點(diǎn)，使線段的中點(diǎn)恰為其虛軸的一個端點(diǎn)，那么的離心率為.8.解析根據(jù)對稱性，不妨設(shè)，短軸端點(diǎn)為，從而可知點(diǎn)在雙曲線上，所以.9.〔2024全國II理11〕為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，為等腰三角形，且頂角為，那么的離心率為〔〕．A.B.C.D.9.解析設(shè)雙曲線方程為，如以下列圖，由，，那么過點(diǎn)作軸，垂足為，在中，，，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入雙曲線方程可得，即有，所以.應(yīng)選D．命題意圖在圓錐曲線的考查中，雙曲線經(jīng)常以選擇或填空題的形式出現(xiàn).一般抓住其定義和性質(zhì)可以求解.此題中要充分利用頂角為的等腰三角形的性質(zhì)來求解.10.(2024山東理15)平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點(diǎn).假設(shè)△的垂心為的焦點(diǎn)，那么的離心率為.10.解析由題意，可設(shè)所在直線方程為，那么所在直線方程為，聯(lián)立，解得，而拋物線的焦點(diǎn)為的垂心，所以，所以，所以，所以，所以．11.〔2024山東理13〕雙曲線，假設(shè)矩形的四個頂點(diǎn)在上，，的中點(diǎn)為的兩個焦點(diǎn)，且，那么的離心率是_______.11.解析由題意，，又因?yàn)?，那么，于是點(diǎn)在雙曲線上，代入方程，得，再由得的離心率為.12.〔2024全國甲理11〕，是雙曲線E：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，與軸垂直，，那么E的離心率為〔〕.A.B.C.D.212.A解析離心率，因?yàn)椋?應(yīng)選A．13.〔2024四川理19〕數(shù)列的首項(xiàng)為，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，其中，.〔1〕假設(shè)，，成等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)雙曲線的離心率為，且，證明：.13.解析〔1〕由得，，，兩式相減得到，.又由得到，故對所有都成立.所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.從而.由，，成等差數(shù)列，可得，即，那么.又，所以.所以.〔2〕由〔1〕可知，.所以雙曲線的離心率.由，解得.因?yàn)椋?于是，故.14.〔2107全國2卷理科9〕假設(shè)雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，那么的離心率為〔〕.A．2B．C．D．14．解析取漸近線，化成一般式，圓心到