高中數(shù)學選擇性學案第1章1-4兩條直線的交點1-5-1平面上兩點間的距離

1.4兩條直線的交點1.5平面上的距離平面上兩點間的距離1.兩條直線的交點方程組QUOTE的解一組無數(shù)組無解直線l1,l2的公共點一個無數(shù)個零個直線l1,l2的位置關(guān)系相交重合平行2.兩點間的距離公式(1)公式:兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的距離公式P1P2=QUOTE,特別地,原點O(0,0)與任一點P(x,y)的距離OP=QUOTE.(2)本質(zhì):用代數(shù)方法求平面內(nèi)兩點之間的距離.兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的距離公式能否表示為P1P2=QUOTE?為什么?提示:能,因為QUOTE=QUOTE.3.中點坐標公式對于平面上的兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),線段P1P2的中點M(x0,y0),則QUOTE1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”).(1)求兩直線的交點就是解由兩直線方程組成的方程組. ()(2)兩直線l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0相交的充要條件是A1B2A2B1≠0. ()(3)方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,表示經(jīng)過直線l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交點的所有直線. ()(4)兩點間的距離公式與兩點的先后順序無關(guān). ()提示:(1)√.由兩直線方程組成的方程組的解同時滿足兩個方程,在兩條直線上,所以是交點坐標.(2)√.兩直線l1與l2相交,需QUOTE≠Q(mào)UOTE(分母不為零),轉(zhuǎn)化為整式即為A1B2A2B1≠0,也去掉了分母的限制條件.(3)×.無論λ取什么實數(shù),都得不到A2x+B2y+C2=0,因此它不能表示直線l2.(4)√.兩點間的距離公式包含差的平方,所以與兩點的先后順序無關(guān).2.直線x=1與直線y=2的交點坐標是 ()A.(1,2) B.(2,1)C.(1,1) D.(2,2)【解析】選A.直線x=1與直線y=2是互相垂直的直線,其交點坐標是(1,2).3.已知M(2,1),N(1,5),則MN等于 ()A.5 B.QUOTEC.QUOTE D.4【解析】選A.MN=QUOTE=5.4.(教材二次開發(fā):例題改編)已知兩條直線l1:ax+3y3=0,l2:4x+6y1=0,若l1與l2相交,則實數(shù)a滿足的條件是.

【解析】l1與l2相交,則有:QUOTE≠Q(mào)UOTE,所以a≠2.答案:a≠2類型一求兩條直線的交點坐標(數(shù)學運算)1.直線4x+2y2=0與直線3x+y2=0的交點坐標是 ()A.(2,2) B.(2,2) C.(1,1) D.(1,1)2.(多選題)若三條直線l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0不能圍成三角形,則a的取值為 ()A.a=1 B.a=-1 C.a=2 3.經(jīng)過兩直線l1:3x+4y2=0和l2:2x+y+2=0的交點且過坐標原點的直線l的方程是.

【解析】1.選C.解方程組QUOTE得QUOTE所以交點坐標為(1,1).2.選ABC.由題意可得l1和l3平行,或l2和l3平行,或l1和l2平行.若l1和l3平行,則QUOTE=QUOTE,求得a=1;若l2和l3平行,則QUOTE=QUOTE,求得a=1.若l1和l2平行,則QUOTE=QUOTE,求得a=±1.當三條直線l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0交于同一個點時,a=2;綜上可得,實數(shù)a所有可能的值為1,1,2.3.方法一:由方程組QUOTE解得QUOTE即l1與l2的交點坐標為(2,2).因為直線過坐標原點,所以其斜率k=QUOTE=1.故直線方程為y=x,即x+y=0.方法二:因為l2不過原點,所以可設l的方程為3x+4y2+λ(2x+y+2)=0(λ∈R),即(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ2=0.將原點坐標(0,0)代入上式,得λ=1,所以直線l的方程為5x+5y=0,即x+y=0.答案:x+y=0過兩條直線交點的直線方程求法求過兩條直線交點的直線方程,一般是先解方程組求出交點坐標,再結(jié)合其他條件寫出直線方程.也可用過兩條直線A1x+B1y+C1=0與A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,再根據(jù)其他條件求出待定系數(shù),寫出直線方程.過直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交點的直線系有兩種:①λ1(A1x+B1y+C1)+λ2(A2x+B2y+C2)=0可表示過l1,l2交點的所有直線;②A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0不能表示直線l2.【補償訓練】1.兩條直線2x+3yk=0和xky+12=0的交點在y軸上,那么k的值是 ()A.24B.6C.±6D.24【解析】選C.設交點P(0,y),代入2x+3yk=0,得y=QUOTE,所以PQUOTE,代入xky+12=0,得0QUOTE+12=0,所以k=±6.2.若三條直線2x+3y+8=0,xy1=0,x+ky=0相交于一點,則k的值為 ()A.2 B.QUOTE C.2 D.QUOTE【解析】選B.易求直線2x+3y+8=0與xy1=0的交點坐標為(1,2),代入x+ky=0,得k=QUOTE.類型二過定點的直線(數(shù)學運算,直觀想象)【典例】求證:不論λ為何實數(shù),直線(λ+2)x(λ1)y=6λ3都恒過一定點.四步內(nèi)容理解題意條件:直線方程:(λ+2)x(λ1)y=6λ3結(jié)論:直線恒過定點思路探求給λ任取兩個特殊值,得兩條直線的方程,聯(lián)立得交點;也可整理為關(guān)于λ的一次式,令系數(shù)與常數(shù)項都為零解得交點.書寫表達證明:方法一:(特殊值法)取λ=0,得到直線l1:2x+y+3=0,取λ=1,得到直線l2:x=3,故l1與l2的交點為P(3,3).將點P(3,3)代入方程左邊,得(λ+2)×(3)(λ1)×3=6λ3,所以點(3,3)在直線(λ+2)x(λ1)y=6λ3上.所以直線(λ+2)x(λ1)y=6λ3恒過定點(3,3).方法二:(分離參數(shù)法)由(λ+2)x(λ1)y=6λ3,整理得(2x+y+3)+λ(xy+6)=0.則直線(λ+2)x(λ1)y=6λ3通過直線2x+y+3=0與xy+6=0的交點.由方程組QUOTE得QUOTE所以直線(λ+2)x(λ1)y=6λ3恒過定點(3,3).題后反思交點一定是二元一次方程組的解.解決過定點問題常用的三種方法(1)特殊值法:給方程中的參數(shù)取兩個特殊值,可得關(guān)于x,y的兩個方程,從中解出的x,y的值即為所求定點的坐標;(2)點斜式法:將含參數(shù)的直線方程寫成點斜式y(tǒng)y0=k(xx0),則直線必過定點(x0,y0);(3)分離參數(shù)法:將含參數(shù)的直線方程整理為過交點的直線系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0的形式,則該方程表示的直線必過直線A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交點,而此交點就是定點.求證:不論m取什么實數(shù),直線(2m1)x+(m+3)y(m11)=0都經(jīng)過一定點,并求出這個定點坐標.【解析】方法一:對于方程(2m1)x+(m+3)y(m11)=0,令m=0,得x3y11=0;令m=1,得x+4y+10=0.解方程組QUOTE得兩條直線的交點坐標為(2,3).將點(2,3)代入直線方程,得(2m1)×2+(m+3)×(3)(m11)=0.這表明不論m取什么實數(shù),所給直線均經(jīng)過定點(2,3).方法二:將已知方程(2m1)x+(m+3)y(m11)=0,整理為(2x+y1)m+(x+3y+11)=0.由于m取值的任意性,有QUOTE解得QUOTE所以不論m取什么實數(shù),所給直線均經(jīng)過定點(2,3).類型三兩點間的距離(數(shù)學運算,直觀想象)【典例】已知△ABC三頂點坐標A(3,1),B(3,3),C(1,7),試判斷△ABC的形狀.【思路導引】計算三角形的各邊長,通過長度獲得關(guān)系;或者由斜率獲得關(guān)系.【解析】方法一:因為AB=QUOTE=2QUOTE,AC=QUOTE=2QUOTE,又BC=QUOTE=2QUOTE,所以AB2+AC2=BC2,且AB=AC,所以△ABC是等腰直角三角形.方法二:因為kAC=QUOTE=QUOTE,kAB=QUOTE=QUOTE,則kAC·kAB=1,所以AC⊥AB.又AC=QUOTE=2QUOTE,AB=QUOTE=2QUOTE,所以AC=AB,所以△ABC是等腰直角三角形.判斷三角形形狀的方法在分析三角形的形狀時,要從兩方面考慮:一是要考慮角的特征,主要考察是否為直角或等角;二是要考慮三角形邊的長度特征,主要考察邊是否相等或滿足勾股定理.已知點A(2,1),B(4,3),C(0,5).求證:△ABC是等腰三角形.【證明】因為AB=QUOTE=2QUOTE,AC=QUOTE=2QUOTE,BC=QUOTE=2QUOTE,所以AC=BC.又因為點A,B,C不共線,所以△ABC是等腰三角形.類型四坐標法證題(直觀想象,邏輯推理)【典例】在△ABC中,D是BC邊上任意一點(D與B,C不重合),且AD2+BD·DC=AB2,求證:△ABC為等腰三角形.【思路導引】在圖形中建立坐標系,設點,說明AB=AC.【證明】如圖,作AO⊥BC,垂足為O,以BC所在直線為x軸,以OA所在直線為y軸,建立平面直角坐標系xOy.設A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0).因為AD2+BD·DC=AB2,所以由兩點間距離公式,可得d2+a2+(db)(cd)=b2+a2,化簡得(c+b)(db)=0.又db≠0,所以c+b=0,即b=c,所以OB=OC,所以AB=AC,即△ABC為等腰三角形.坐標法解決幾何問題關(guān)鍵坐標法解決幾何問題時,關(guān)鍵要結(jié)合圖形的特征,建立平面直角坐標系.坐標系建立的是否合適,會直接影響問題能否方便解決.建系的原則主要有兩點:①讓盡可能多的點落在坐標軸上,這樣便于運算;②如果條件中有互相垂直的兩條線,要考慮將它們作為坐標軸;如果圖形為中心對稱圖形,可考慮將中心作為原點;如果有軸對稱性,可考慮將對稱軸作為坐標軸.已知:等腰梯形ABCD中,AB∥DC,對角線為AC和BD.求證:AC=BD.【證明】如圖所示,建立直角坐標系,設A(0,0),B(a,0),C(b,c),則點D的坐標是(ab,c).所以AC=QUOTE=QUOTE,BD=QUOTE=QUOTE.故AC=BD.1.(教材二次開發(fā):練習改編)已知直角坐標平面上連接點(2,5)和點M的線段的中點是(1,0),那么點M到原點的距離為 ()A.41B.QUOTEC.QUOTED.39【解析】選B.設M(x,y),由題意得QUOTE解得QUOTE所以M(4,5).則M到原點的距離為QUOTE=QUOTE.2.若直線ax+by11=0與3x+4y2=0平行,并且經(jīng)過直線2x+3y8=0和x2y+3=0的交點,則a,b的值分別為 ()A.3,4 B.3,4C.4,3 D.4,3【解析】選B.由QUOTE得QUOTE由題意得QUOTE得QUOTE3.過直線2xy+2=0和x+y+1=0的交點,且斜率為3的直線方程是.

【解析】解方程組QUOTE得QUOTE所以兩直線的交點坐標為(1,0),又所求直線的斜率為3,故所求直線的方程為y0=3[x(1)],即3xy+3