河南省九師聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月月考理科數(shù)學(xué)試題

高三數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：高考范圍.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)不等式化簡集合,進(jìn)而根據(jù)集合交并補(bǔ)運(yùn)算即可求解.【詳解】，故，所以.故選:D2.在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】先化簡，即可判斷.【詳解】，故對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限.故選：C.3.新能源汽車是指采用非常規(guī)的車用燃料作為動力來源（或使用常規(guī)的車用燃料、采用新型車載動力裝置），綜合車輛的動力控制和驅(qū)動方面的先進(jìn)技術(shù)，形成的技術(shù)原理先進(jìn)、具有新技術(shù)、新結(jié)構(gòu)的汽車．新能源汽車包括混合動力電動汽車（HEV）、純電動汽車（BEV，包括太陽能汽車）、燃料電池電動汽車（FCEV）、其他新能源（如超級電容器、飛輪等高效儲能器）汽車等．非常規(guī)的車用燃料指除汽油、柴油之外的燃料．下表是2021年我國某地區(qū)新能源汽車的前5個(gè)月銷售量與月份的統(tǒng)計(jì)表：月份代碼x12345銷售量y（萬輛）0.50.611.41.5由上表可知其線性回歸方程為，則的值是（）．A.0.28 B.0.32 C.0.56 D.0.64【答案】A【解析】【分析】先計(jì)算，，再根據(jù)樣本中心點(diǎn)適合方程解得的值即可.【詳解】由表中數(shù)據(jù)可得，，將代入，即，解得．故選:A．4.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦的和差角公式可得，平方可得，進(jìn)而化切為弦即可求解.【詳解】由，則，即，所以，則，故.故選：A.5.已知平面向量，滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，可得化簡結(jié)合已知條件和數(shù)量積公式可求出，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出的值【詳解】由于，所以，，所以，所以，故選：D6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的是56，則輸入的是（）A.10 B.11 C.12 D.13【答案】C【解析】【分析】模擬程序運(yùn)行，得出程序的功能是求和，結(jié)合條件從而可得出答案.【詳解】模擬程序的運(yùn)行，可得程序的功能是計(jì)算并輸出：根據(jù)題意可得即解得：所以當(dāng)時(shí)，則中止循環(huán)，故故選：C7.的展開式中，的系數(shù)是（）A.5 B.15 C.20 D.25【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得到與的展開式通項(xiàng)，列出方程即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，的展開式通項(xiàng)為，的展開式通項(xiàng)為，由可得因此的展開式中，的系數(shù)為.故選:B.8.已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則的最大值是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等變換化簡，結(jié)合正弦函數(shù)零點(diǎn)性質(zhì)，即可求解．【詳解】，令，，．又函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，所以，解得，，所以，，，，所以的最大值是．故選：C．9.在四棱錐中，底面為正方形，且平面，，則直線與直線所成角的余弦值是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】連接交于，取的中點(diǎn)，連接，．運(yùn)用中位線定理，可得即為直線與直線所成角．運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)和勾股定理，解△，即可得到所求值．【詳解】連接，與交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，．由中位線定理，可得，且，即有即為直線與直線所成角．由平面，設(shè)，可得直角△中，，，在直角△中，，∴為等腰三角形，在正方形中，，可得．故選：D．10.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與曲線交于點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為4，記的平行于的切線為的平行于的切線為，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）A. B.的方程為C.的方程為 D.的方程為【答案】D【解析】【分析】選項(xiàng)A：利用點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算出即可；選項(xiàng)B：利用兩點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算出的方程即可；選項(xiàng)C：設(shè)出的方程，利用與相切，然后求出直線方程即可；選項(xiàng)D：設(shè)出的方程，利用與相切，然后求出直線方程即可.【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)在曲線上，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，解得，故A正確；選項(xiàng)B：因?yàn)?，，所以得的方程為，故B選項(xiàng)正確；選項(xiàng)C：由選項(xiàng)A可知的方程為，設(shè)，聯(lián)立，得，因?yàn)榕c相切，所以，解得，所以，即的方程為，故C選項(xiàng)正確；設(shè)，聯(lián)立，得，因?yàn)榕c相切，所以，解得，所以，即的方程為，故D錯(cuò)誤；故選：.11.已知點(diǎn)是函數(shù)圖象上的動點(diǎn)，則的最小值是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】函數(shù)式化簡后知函數(shù)圖象是半圓（下半圓），所求最小值表達(dá)式變形后可能通過半圓上的點(diǎn)到直線的距離來表示，從而由圓心到直線的距離可得出最小值．【詳解】式子變形為，又，因此函數(shù)圖象是圓在下方的半圓，如圖，作出直線，平移該直線，由圖可知它能與下半圓相切，表示點(diǎn)到直線的距離．圓心為，半徑為1，，因此到直線的距離的最小值是，所以的最小值是．故選：A．12若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合奇偶性單調(diào)性來比較大小.【詳解】令，∵，∴是偶函數(shù)，∵，令，則，∴在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，∴在上單調(diào)遞增.由可得，即，∴，∵是偶函數(shù)，則，∴.故選：C.【點(diǎn)睛】本題求解的關(guān)鍵是把等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系，通過構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的性質(zhì)來求解，一次導(dǎo)數(shù)解決不了問題時(shí)，考慮二次導(dǎo)數(shù).三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為，則______.【答案】3【解析】【分析】求出，根據(jù)即可求解.【詳解】由已知得，因?yàn)椋?故答案為：3.14.在銳角三角形中，角的對邊分別是，若，則______.【答案】##0.5【解析】【分析】由正弦定理結(jié)合誘導(dǎo)公式得到，因?yàn)?，從而求出，利用同角三角函?shù)關(guān)系求出答案.【詳解】，由正弦定理得：，即，其中，故因?yàn)?，所以，故，所?故答案為：.15.在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積是______．【答案】29π【解析】【分析】由題意，，，，將三棱錐放到長方體中，可得長方體的三條面對角線分別為，，5，求出長方體的棱長，長方體的外接球就是三棱錐的外接球．【詳解】由題意，，，，將三棱錐放到長方體中，可得長方體的三條面對角線分別為，，5，設(shè)長方體的長寬高分別為a,b,c,即，，，解得：，，．長方體的體對角線即為三棱錐和長方體公共外接球的直徑2R，∴﹒故答案為：29π．16.已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)，，它們的離心率分別為，，點(diǎn)為它們的一個(gè)交點(diǎn)，且，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線的定義求出用表示，在中，根據(jù)余弦定理可得找到的關(guān)系，然后整理成離心率解決.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為，焦距，點(diǎn)為橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，則，，解得，，如圖：在中，根據(jù)余弦定理可得，整理得，即，設(shè)，，則有，，所以，即有，所以，所以，設(shè)，則，且，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，所以.故答案為：四?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】（1）；（2）見解析﹒【解析】【分析】(1)利用公式法(與關(guān)系)即可求的的通項(xiàng)公式；(2)分析的通項(xiàng)公式可知其前n項(xiàng)和可以用錯(cuò)位相減法求得﹒【小問1詳解】∵∴當(dāng)n≥2時(shí)，∴∴∴為從第二項(xiàng)開始的等比數(shù)列，公比為q＝3，又，∴，∴(n≥2)，n＝1時(shí)也滿足上式，∴)；【小問2詳解】∵，∴①∴②①－②得，∴∵，∴，∴．18.某大型工廠有6臺大型機(jī)器，在1個(gè)月中，1臺機(jī)器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的，出現(xiàn)故障時(shí)需1名工人進(jìn)行維修，每臺機(jī)器出現(xiàn)故障的概率為.已知1名工人每月只有維修2臺機(jī)器的能力（若有2臺機(jī)器同時(shí)出現(xiàn)故障，工廠只有1名維修工人，則該工人只能逐臺維修，對工廠的正常運(yùn)行沒有任何影響），每臺機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)得到維修，就能使該廠獲得10萬元的利潤，否則將虧損2萬元.該工廠每月需支付給每名維修工人1萬元的工資.（1）若每臺機(jī)器在當(dāng)月不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時(shí)，有工人進(jìn)行維修（例如：3臺大型機(jī)器出現(xiàn)故障，則至少需要2名維修工人），則稱工廠能正常運(yùn)行.若該廠只有1名維修工人，求工廠每月能正常運(yùn)行的概率；（2）已知該廠現(xiàn)有2名維修工人.（ⅰ）記該廠每月獲利為萬元，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）以工廠每月獲利的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，試問該廠是否應(yīng)再招聘1名維修工人？【答案】（1）；（2）（ⅰ）見解析；（ⅱ）是.【解析】【分析】（1）由該工廠只有1名維修工人，所以要使工廠能正常運(yùn)行，最多只能出現(xiàn)2臺大型機(jī)器出現(xiàn)故障．利用二項(xiàng)分布計(jì)算公式即可得出．

（2）X的可能取值為34，46，58．利用二項(xiàng)分布列的計(jì)算公式即可得出概率分布列．【詳解】（1）因?yàn)樵搹S只有1名維修工人，所以要使工廠正常運(yùn)行，最多只能出現(xiàn)2臺大型機(jī)器出現(xiàn)故障，故該工廠能正常運(yùn)行的概率為.（2）（ⅰ）的可能取值為34，46，58，，，，則的分布列為故.（ⅱ）若該廠有3名維修工人，則該廠獲利的數(shù)學(xué)期望為萬元.因，所以該廠應(yīng)再招聘1名維修工人.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)分布列的概率計(jì)算公式及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19.如圖，在直三棱柱中，，D，E分別為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，二面角的大小為，求直線與平面所成角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)取的中點(diǎn)M，連結(jié)，根據(jù)平行四邊形的判斷定理和性質(zhì)可得，利用線面平行的判定定理即可證明；(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，根據(jù)空間垂直向量的坐標(biāo)表示求出b，利用向量法求出平面、平面的法向量，結(jié)合向量的數(shù)量積求出二面角，進(jìn)而求得c，再利用向量法即可求出直線與平面所成角.【小問1詳解】取的中點(diǎn)M，連結(jié)，則，且，且.所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以.又平面平面，所以平面.【小問2詳解】以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以.因?yàn)?，所以，所?又，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，所以，令，則，所以；又平面的一個(gè)法向量，所以，即，解得，所以.又，所以，所以直線與平面所成角.20.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，且過點(diǎn)．（1）求C的方程；（2）若直線與C交于M，N兩點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)G，證明：點(diǎn)G在定直線上，并求出此定直線的方程．【答案】（1）；（2）證明見解析，.【解析】【分析】（1）由橢圓的長軸長及所過的點(diǎn)列方程組求參數(shù)，即可得橢圓方程.（2）設(shè)則，，聯(lián)立直線l與橢圓方程，由判別式、韋達(dá)定理求k的范圍及、關(guān)于k的表達(dá)式，再聯(lián)立直線與求交點(diǎn)坐標(biāo)，即可證結(jié)論并確定直線方程.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，解得．因?yàn)镃過點(diǎn)，所以，解得．所以C的方程為．【小問2詳解】由題意，設(shè)，則，．由，整理得，則，解得且，，．由得：，所以點(diǎn)G在定直線上．21.已知函數(shù)，其中．（1）若函數(shù)的最小值為，求a的值；（2）若存在，且，使得，求a的取值范圍．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，分和兩種情況討論求解即可；（2）由題知，進(jìn)而令，，，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，再討論時(shí)，函數(shù)在區(qū)間無零點(diǎn)，進(jìn)而進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為，當(dāng)時(shí)則有兩不等正實(shí)根和，且函數(shù)在減區(qū)間上存在零點(diǎn)問題，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)即可.【小問1詳解】解：函數(shù)定義域，．若，則，函數(shù)為減函數(shù)，無最小值．若，由得．所以，，，的變化情況如下表：－0＋極小值所以，的最小值即極小值為．所以，，即．設(shè)，則，所以，為上的增函數(shù)，又因?yàn)椋?，．【小?詳解】解：由，得，即，將代入，有：，得．令，，，所以，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)．所以，．其中．因?yàn)楹瘮?shù)的對稱軸方程為．所以，當(dāng)，則恒成立，得在區(qū)間為減函數(shù)，又，所以，函數(shù)在區(qū)間無零點(diǎn)．當(dāng)，則有兩不等正實(shí)根和，設(shè)，有，且．所以，，，的變化如表：＋0－極大值又，得．下面證明函數(shù)在減區(qū)間上存在零點(diǎn)．考慮到中含參數(shù)a，?。畡t，當(dāng)時(shí)，，則．令，則，令，當(dāng)時(shí)，有，所以，函數(shù)在時(shí)為減函數(shù)，由，知恒成立．所以，為上的減函數(shù)．所以．又，于是，所以，函數(shù)在減區(qū)間上存在零點(diǎn)．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意，利用換元方法，將問題轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，進(jìn)而先排除當(dāng)函數(shù)在區(qū)間無零點(diǎn)，進(jìn)一步將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在減區(qū)間上存在零點(diǎn).（二）選考題：共10分.請考生在第22?23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.選修41：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)把的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程：(2)求與交點(diǎn)的極坐標(biāo).【答案】（1）（2）與交點(diǎn)的極坐標(biāo)為，和【解析】【分析】（1）先把曲線化成直角坐標(biāo)方程，再化簡成極坐標(biāo)方程；（2）聯(lián)立曲線和曲線的方程解得即可.【詳解】(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為：，即.的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程為；(2)聯(lián)立可得：，與交點(diǎn)的極坐標(biāo)為，和.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程，直角坐標(biāo)方程，極坐標(biāo)方程的互