北京市海淀區(qū)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)

海淀區(qū)2023—2024學(xué)年第一學(xué)期期末練習(xí)高三數(shù)學(xué)2024.01本試卷共6頁，150分．考試時長120分鐘．考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回．第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．已知集合，，，則（）A． B． C． D．2．如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的點(diǎn)分別為，，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．3．已知直線，直線，且，則（）A．1 B． C．4 D．4．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A． B．4 C．5 D．5．在正四棱錐中，，二面角的大小為，則該四棱錐的體積為（）A．4 B．2 C． D．6．已知，直線與交于，兩點(diǎn)．若為直角三角形，則（）A． B． C． D．7．若關(guān)于的方程（且）有實(shí)數(shù)解，則的值可以為（）A．10 B．e C．2 D．8．已知直線，的斜率分別為，，傾斜角分別為，，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．已知是公比為（）的等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和．若對任意的，恒成立，則（）A．是遞增數(shù)列 B．是遞減數(shù)列 C．是遞增數(shù)列 D．是遞減數(shù)列10．蜜蜂被譽(yù)為“天才的建筑師”．蜂巢結(jié)構(gòu)是一種在一定條件下建筑用材面積最小的結(jié)構(gòu)．下圖是一個蜂房的立體模型，底面是正六邊形，棱，，，，，均垂直于底面，上頂由三個全等的菱形，，構(gòu)成．設(shè)，，則上頂?shù)拿娣e為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11．在的展開式中，的系數(shù)為______．12．已知雙曲線的一條漸近線為，則該雙曲線的離心率為______．13．已知點(diǎn)，，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則______；點(diǎn)到直線的距離為______．14．已知無窮等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，公差為，則能使得為某一個等差數(shù)列的前項(xiàng)和（，2，…）的一組，的值為______，______．15．已知函數(shù)．給出下列四個結(jié)論：①任意，函數(shù)的最大值與最小值的差為2；②存在，使得對任意，；③當(dāng)時，對任意非零實(shí)數(shù)，；④當(dāng)時，存在，，使得對任意，都有．其中所有正確結(jié)論的序號是______．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16．（本小題13分）如圖，在四棱柱中，側(cè)面是正方形，平面平面，，，為線段的中點(diǎn)，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．17．（本小題14分）在中，．（Ⅰ）求的大??；（Ⅱ）若，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在，求邊上中線的長．條件①：的面積為；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．18．（本小題13分）甲、乙、丙三人進(jìn)行投籃比賽，共比賽10場，規(guī)定每場比賽分?jǐn)?shù)最高者獲勝，三人得分（單位：分）情況統(tǒng)計如下：場次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（Ⅰ）從上述10場比賽中隨機(jī)選擇一場，求甲獲勝的概率；（Ⅱ）在上述10場比賽中，從甲得分不低于10分的場次中隨機(jī)選擇兩場，設(shè)表示乙得分大于丙得分的場數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）假設(shè)每場比賽獲勝者唯一，且各場相互獨(dú)立，用上述10場比賽中每人獲勝的頻率估計其獲勝的概率．甲、乙、丙三人接下來又將進(jìn)行6場投籃比賽，設(shè)為甲獲勝的場數(shù)，為乙獲勝的場數(shù)，為丙獲勝的場數(shù)，寫出方差，，的大小關(guān)系．19．（本小題15分）已知橢圓（）過點(diǎn)，焦距為．（Ⅰ）求橢圓的方程，并求其短軸長；（Ⅱ）過點(diǎn)且不與軸重合的直線交橢圓于兩點(diǎn)，，連接并延長交橢圓于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，其中為原點(diǎn)．設(shè)直線的斜率為，求的最大值．20．（本小題15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時，求證：①當(dāng)時，；②函數(shù)有唯一極值點(diǎn)；（Ⅱ）若曲線與曲線在某公共點(diǎn)處的切線重合，則稱該切線為和的“優(yōu)切線”．若曲線與曲線存在兩條互相垂直的“優(yōu)切線”，求，的值．21．（本小題15分）對于給定的奇數(shù)（），設(shè)是由個實(shí)數(shù)組成的行列的數(shù)表，且中所有數(shù)不全相同，中第行第列的數(shù)，記為的第行各數(shù)之和，為的第列各數(shù)之和，其中．記．設(shè)集合，記為集合所含元素的個數(shù)．（Ⅰ）對以下兩個數(shù)表，，寫出，，，的值；（Ⅱ）若，，…，中恰有個正數(shù)，，，…，中恰有個正數(shù)．求證：；（Ⅲ）當(dāng)時，求的最小值．海淀區(qū)2023—2024學(xué)年第一學(xué)期期末練習(xí)高三數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1．A 2．D 3．B 4．D 5．C6．A 7．D 8．B 9．B 10．D二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11． 12．2 13． 14．11（答案不唯一）15．②④三、解答題（共6小題，共85分）16．（共13分）解：（Ⅰ）連接．在四棱柱中，側(cè)面為平行四邊形，所以，．因?yàn)?，，M為AB中點(diǎn)，所以，．所以，．所以四邊形為平行四邊形．所以．因?yàn)槠矫?，所以平面．（Ⅱ）在正方形中，．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面．所以．因?yàn)?，平面，與相交，所以平面．所以．如圖建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)，則，，，．所以，，．設(shè)平面的法向量為，則即令，則，．于是．因?yàn)?，所以直線與平面所成角的正弦值為．17．（共14分）解：（Ⅰ）由正弦定理及，得．①因?yàn)?，所以．②由①②得．因?yàn)?，所以．所以．因?yàn)椋裕á颍┻x條件②：．由（Ⅰ）知，．所以．所以．因?yàn)?，所以．所以，即．所以是以AC為斜邊的直角三角形．因?yàn)?，所以．所以AC邊上的中線的長為1．選條件③：．由余弦定理得．設(shè)AC邊上的中線長為d，由余弦定理得．所以AC邊上的中線的長為1．18．（共13分）解：（Ⅰ）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在10場比賽中，甲共獲勝3場，分別是第3場，第8場，第10場．設(shè)A表示“從10場比賽中隨機(jī)選擇一場，甲獲勝”，則．（Ⅱ）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在10場比賽中，甲得分不低于10分的場次有6場，分別是第2場，第3場，第5場，第8場，第9場，第10場，其中乙得分大于丙得分的場次有4場，分別是第2場、第5場、第8場、第9場．所以X的所有可能取值為0，1，2．，，．所以X的分布列為X012P所以．（Ⅲ）．19．（共15分）解：（Ⅰ）由題意知，．所以，．所以橢圓E的方程為，其短軸長為4．（Ⅱ）設(shè)直線CD的方程為，，，則．由，得．所以．由得直線AM的方程為．由，得．因?yàn)椋?，．所以．因?yàn)镼為OD的中點(diǎn)，所以，所以．所以直線NQ的斜率．當(dāng)時，．當(dāng)時，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．所以．所以當(dāng)時，k取得最大值．20．（共15分）解：（Ⅰ）①當(dāng)時，．記（），則．所以在上是增函數(shù)．所以當(dāng)時，．所以當(dāng)時，．②由得，且．當(dāng)時，．因?yàn)椋?，所以．因?yàn)閷θ我夂愠闪ⅲ援?dāng)時，．所以0是的唯一極值點(diǎn)．（Ⅱ）設(shè)曲線與曲線的兩條互相垂直的“優(yōu)切線”的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，其斜率分別為，，則．因?yàn)?，所以．所以．不妨設(shè)，則，．因?yàn)椋伞皟?yōu)切線”的定義可知．所以，．由“優(yōu)切線”的定義可知，所以．當(dāng)，，時，取，，則，，，，符合題意．所以，，．21．（共15分）解：（Ⅰ），；，．由定義可知：將數(shù)表A中的每個數(shù)變?yōu)槠湎喾磾?shù)，或交換兩行（列），，的值不變．因?yàn)閙為奇數(shù)，，所以，，…，，，，…，均不為0．（Ⅱ）當(dāng)或時，不妨設(shè)，即，．若，結(jié)論顯然成立；若，不妨設(shè)，，則，，．所以，結(jié)論成立．當(dāng)且時，不妨設(shè)，，，，則當(dāng)時，；當(dāng)時，．因?yàn)楫?dāng)，時，，，所以．所以．同理可得：，，．所以．（Ⅲ）當(dāng)時，的最小值為．對于如下的數(shù)表A，．下面證明：．設(shè)，，…，中恰有s個正數(shù)，，，…，中恰有t個正數(shù)，．①若或，不妨設(shè)，即，．所以當(dāng)時，．由A中所有數(shù)不