（江蘇專用）高考數(shù)學二輪復習 專題檢測23 關于平面向量數(shù)量積運算的三類經(jīng)典題型

23關于平面向量數(shù)量積運算的三類經(jīng)典題型1．(2014·課標全國Ⅱ改編)設向量a，b滿足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，則a·b＝________.答案1解析|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6將上面兩式左右兩邊分別相減，得4a·b＝4∴a·b＝1.2．(2014·四川改編)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m＝________.答案2解析因為a＝(1,2)，b＝(4,2)，所以c＝ma＋b＝(m,2m)＋(4,2)＝(m＋4,2m＋根據(jù)題意可得eq\f(c·a,|c||a|)＝eq\f(c·b,|c||b|)，所以eq\f(5m＋8,\r(5))＝eq\f(8m＋20,\r(20))，解得m＝2.3．(2013·江西)設e1，e2為單位向量，且e1，e2的夾角為eq\f(π,3)，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，則向量a在b方向上的投影為________．答案eq\f(5,2)解析a在b方向上的投影為|a|cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|b|).∵a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2eeq\o\al(2,1)＋6e1·e2＝5.|b|＝|2e1|＝2.∴eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(5,2).4.如圖，在等腰直角△ABO中，OA＝OB＝1，C為AB上靠近點A的四等分點，過C作AB的垂線l，P為垂線上任一點，設eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OP,\s\up6(→))＝p，則p·(b－a)＝________.答案－eq\f(1,2)解析以OA，OB所在直線分別作為x軸，y軸，O為坐標原點建立平面直角坐標系，則A(1,0)，B(0,1)，C(eq\f(3,4)，eq\f(1,4))，直線l的方程為y－eq\f(1,4)＝x－eq\f(3,4)，即x－y－eq\f(1,2)＝0.設P(x，x－eq\f(1,2))，則p＝(x，x－eq\f(1,2))，而b－a＝(－1,1)，所以p·(b－a)＝－x＋(x－eq\f(1,2))＝－eq\f(1,2).5．在平面上，eq\o(AB1,\s\up6(→))⊥eq\o(AB2,\s\up6(→))，|eq\o(OB1,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB2,\s\up6(→))|＝1，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\o(AB2,\s\up6(→)).若|eq\o(OP,\s\up6(→))|<eq\f(1,2)，則|eq\o(OA,\s\up6(→))|的取值范圍是________．答案(eq\f(\r(7),2)，eq\r(2)]解析由題意，知B1，B2在以O為圓心的單位圓上，點P在以O為圓心，eq\f(1,2)為半徑的圓的內(nèi)部．又eq\o(AB1,\s\up6(→))⊥eq\o(AB2,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\o(AB2,\s\up6(→))，所以點A在以B1B2為直徑的圓上，當P與O點重合時，|eq\o(OA,\s\up6(→))|取得最大值eq\r(2)，當P在半徑為eq\f(1,2)的圓周上時，|eq\o(OA,\s\up6(→))|取得最小值eq\f(\r(7),2).6．(2014·江蘇)如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝2，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))的值是________．答案22解析由eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，得eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→)).因為eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝2，所以(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→)))＝2，即eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,16)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝2.又因為eq\o(AD,\s\up6(→))2＝25，eq\o(AB,\s\up6(→))2＝64，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝22.7．(2014·湖北)設向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，則實數(shù)λ＝________.答案±3解析由題意得，(a＋λb)·(a－λb)＝0，即a2－λ2b2＝18－2λ2＝0，解得λ＝±3.8．設非零向量a，b的夾角為θ，記f(a，b)＝acosθ－bsinθ.若e1，e2均為單位向量，且e1·e2＝eq\f(\r(3),2)，則向量f(e1，e2)與f(e2，－e1)的夾角為________．答案eq\f(π,2)解析由e1·e2＝eq\f(\r(3),2)，可得cos〈e1，e2〉＝eq\f(e1·e2,|e1||e2|)＝eq\f(\r(3),2)，故〈e1，e2〉＝eq\f(π,6)，〈e2，－e1〉＝π－〈e2，e1〉＝eq\f(5π,6).f(e1，e2)＝e1coseq\f(π,6)－e2sineq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)e1－eq\f(1,2)e2，f(e2，－e1)＝e2coseq\f(5π,6)－(－e1)sineq\f(5π,6)＝eq\f(1,2)e1－eq\f(\r(3),2)e2.f(e1，e2)·f(e2，－e1)＝(eq\f(\r(3),2)e1－eq\f(1,2)e2)·(eq\f(1,2)e1－eq\f(\r(3),2)e2)＝eq\f(\r(3),2)－e1·e2＝0，所以f(e1，e2)⊥f(e2，－e1)．故向量f(e1，e2)與f(e2，－e1)的夾角為eq\f(π,2).9．在平面直角坐標系中，O是坐標原點，兩定點A，B滿足|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2，則點集{P|eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的區(qū)域的面積是________．答案4eq\r(3)解析方法一(坐標法)由|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2，可得∠AOB＝eq\f(π,3).又A，B是定點，可設A(eq\r(3)，1)，B(0,2)，P(x，y)．由eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)λ，,y＝λ＋2μ))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(\r(3),3)x，,μ＝\f(y,2)－\f(\r(3),6)x.))因為|λ|＋|μ|≤1，所以|eq\f(\r(3),3)x|＋|eq\f(y,2)－eq\f(\r(3),6)x|≤1.整理，得2|x|＋|eq\r(3)y－x|≤2eq\r(3).當x≥0，且eq\r(3)y－x≥0時，不等式為x＋eq\r(3)y≤2eq\r(3)；當x≥0，且eq\r(3)y－x<0時，不等式為eq\r(3)x－y≤2；當x<0，且eq\r(3)y－x≥0時，不等式為eq\r(3)x－y≥－2；當x<0，且eq\r(3)y－x<0時，不等式為x＋eq\r(3)y≥－2eq\r(3).畫出不等式所表示的可行域，如圖中的陰影部分所示．求得E(0,2)，F(xiàn)(－eq\r(3)，－1)，C(0，－2)，D(eq\r(3)，1)．顯然該平面區(qū)域是一個矩形，邊長EF＝2eq\r(3)，ED＝2，故該平面區(qū)域的面積S＝EF×ED＝4eq\r(3).方法二(向量法)由|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2，知〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,3).當λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1時，在△OAB中，取eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，過點C作CD∥OB交AB于點D，作OE∥AB交OB于點E，顯然eq\o(OD,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)).由于eq\f(|CD|,|OB|)＝eq\f(|AC|,|AO|)＝1－λ，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→)).于是eq\o(OD,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→)).故當λ＋μ＝1時，點P在線段AB上．所以λ≥0，μ≥0，λ＋μ≤1時，點P必在△OAB內(nèi)(包括邊界)．考慮|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R的其他情形，點P構成的集合恰好是以AB為一邊，以OA，OB為對角線一半的矩形，其面積S＝4S△OAB＝4×eq\f(1,2)×2×2sineq\f(π,3)＝4eq\r(3).10．(2014·安徽)已知兩個不相等的非零向量a，b，兩組向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均由2個a和3個b排列而成，記S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4＋x5·y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值，則下列命題正確的是________(寫出所有正確命題的編號)．①S有5個不同的值；②若a⊥b，則Smin與|a|無關；③若a∥b，則Smin與|b|無關；④若|b|>4|a|，則Smin>0；⑤若|b|＝2|a|，Smin＝8|a|2，則a與b的夾角為eq\f(π,4).答案②④解析∵xi，yi(i＝1,2,3,4,5)均由2個a和3個b排列而成，∴S＝eq\i\su(i＝1,5,)xiyi，可能情況有以下三種：(1)S＝2a2＋3b2(2)S＝a2＋2a·b＋2b2(3)S＝4a·b＋b2∵2a2＋3b2－(a2＋2a·b＋2b2)＝a2＋b2－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cosθa2＋2a·b＋2b2－4a·b－b2＝a2＋b2－2a·b∴S的最小值為Smin＝b2＋4a·b因此S最多有3個不同的值，故①不正確．當a⊥b時，S的最小值為Smin＝b2與|a|無關，故②正確．當a∥b時，S的最小值為Smin＝b2＋4|a||b|或Smin＝b2－4|a||b|與|b|有關，故③不正確．當|b|>4|a|時，Smin＝b2＋4|a||b|cosθ≥b2－4|a||b|＝|b|(|b|－4|a|)>0，故④正確．當|b|＝2|a|時，由Smin＝b2＋4a·b＝8|a|2知，4a·b＝4a2，即a·b＝a2，∴|a||b|cosθ＝a2，∴cosθ＝eq\f(1,2)，∴θ＝eq\f(π,3)，故⑤不正確．因此正確命題的編號為②④.11．已知向量a＝(sinx，eq\f(3,4))，b＝(cosx，－1)．(1)當a∥b時，求cos2x－sin2x的值；(2)設函數(shù)f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝eq\r(3)，b＝2，sinB＝eq\f(\r(6),3)，求f(x)＋4cos(2A＋eq\f(π,6))(x∈[0，eq\f(π,3)])的取值范圍．解(1)因為a∥b，所以eq\f(3,4)cosx＋sinx＝0.所以tanx＝－eq\f(3,4).故cos2x－sin2x＝eq\f(cos2x－2sinxcosx,sin2x＋cos2x)＝eq\f(1－2tanx,1＋tan2x)＝eq\f(8,5).(2)f(x)＝2(a＋b)·b＝2(sinx＋cosx，－eq\f(1,4))·(cosx，－1)＝sin2x＋cos2x＋eq\f(3,2)＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,4))＋eq\f(3,2).由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，所以sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(\r(3)×\f(\r(6),3),2)＝eq\f(\r(2),2).所以A＝eq\f(π,4)或A＝eq\f(3π,4).因為b>a，所以A＝eq\f(π,4).所以f(x)＋4cos(2A＋eq\f(π,6))＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,4))－eq\f(1,2).因為x∈[0，eq\f(π,3)]，所以2x＋eq\f(π,4)∈[eq\f(π,4)，eq\f(11π,12)]．所以eq\f(\r(3),2)－1≤f(x)＋4cos(2A＋eq\f(π,6))≤eq\r(2)－eq\f(1,2).所以f(x)＋4cos(2A＋eq\f(π,6))的取值范圍為[eq\f(\r(3),2)－1，eq\r(2)－eq\f(1,2)]．12．在△ABC中，AC＝10，過頂點C作AB的垂線，垂足為D，AD＝5，且滿足eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(5,11)eq\o(DB,\s\up6(→)).(1)求|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|；(2)存在實數(shù)t≥1，使得向量x＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋teq\o(AC,\s\up6(→))，y＝teq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，令k＝x·y，求k的最小值．解(1)由eq\o(AD,\s\up