河北省邢臺(tái)市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

—2024學(xué)年上學(xué)期高二期末考試數(shù)學(xué)說(shuō)明：1．本試卷共4頁(yè)，滿(mǎn)分150分。2．請(qǐng)將所有答案填寫(xiě)在答題卡上，答在試卷上無(wú)效。一、選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在長(zhǎng)方體中，下列向量與是相等向量的是（）A． B． C． D．2．如圖，在中，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A． B． C． D．3．過(guò)兩點(diǎn)，的直線(xiàn)的傾斜角為120°，則=（）A． B． C． D．4．已知，，直線(xiàn)過(guò)且與線(xiàn)段相交，則直線(xiàn)的斜率的取值范圍是（）A． B．C．或 D．以上都不對(duì)5．直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則的值為（）A．或 B．或C． D．6．圓：關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的圓的方程為（）A． B．C． D．7．已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則=（）A．240 B．120 C．180 D．608．已知雙曲線(xiàn)：的左，右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，且，則雙曲線(xiàn)的方程是（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，10．已知圓與直線(xiàn)，下列選項(xiàng)正確的是（）A．直線(xiàn)與圓必相交B．直線(xiàn)與圓不一定相交C．直線(xiàn)與圓相交且所截最短弦長(zhǎng)為D．直線(xiàn)與圓可以相切11．已知點(diǎn)，，直線(xiàn)：，則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，到直線(xiàn)距離相等B．當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與直線(xiàn)平行C．當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)在軸上的截距為-2D．當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的斜率不存在12．已知點(diǎn)是拋物線(xiàn)C：y2=2px上一點(diǎn)，是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于不同于的點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．三、填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分。13．過(guò)點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為_(kāi)_____．14．拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為_(kāi)_____．15．已知數(shù)列滿(mǎn)足，則=______．16．已知向量，，若與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．四、解答題：本題共6個(gè)小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（本小題滿(mǎn)分10分）已知直線(xiàn)：，直線(xiàn)：（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值．18．（本小題滿(mǎn)分12分）已知圓過(guò)點(diǎn)，和．（1）求圓的方程；（2）求與垂直且被圓截得弦長(zhǎng)等于的直線(xiàn)的方程．19．（本小題滿(mǎn)分12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，半焦距為1．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，且斜率為1的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，求的面積．20．（本小題滿(mǎn)分12分）已知數(shù)列滿(mǎn)足：，，數(shù)列為等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求和：．21．（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，在三棱臺(tái)中，，，，，，且為中點(diǎn)．求證：；22．（本小題滿(mǎn)分12分）已知拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求面積的最小值；（2）設(shè)直線(xiàn)交拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)，求證：平行于軸．高二數(shù)學(xué)參考答案1．B【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)，結(jié)合相等向量的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】如圖所示的長(zhǎng)方體中，A：向量與方向相反，所以這兩個(gè)向量不相等，因此本選項(xiàng)不正確；B：向量與大小相等，方向相同，所以這兩個(gè)向量相等，因此本選項(xiàng)正確；C：向量與方向相反，所以這兩個(gè)向量不相等，因此本選項(xiàng)不正確；D：顯然向量與向量方向相反，所以這兩個(gè)向量不相等，因此本選項(xiàng)不正確，故選：B2．C【分析】由中點(diǎn)的向量公式與向量的減法運(yùn)算即可得到答案．【詳解】如圖所示，連接，因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以．故選：C．3．B【分析】由傾斜角與斜率及兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系可求．【詳解】設(shè)直線(xiàn)斜率為，則，故選：B．4．C【分析】根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式，即可求解．【詳解】由題意得，，若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)且與線(xiàn)段相交，則或，故選：C．5．C【分析】由兩條直線(xiàn)平行可得，求出的值，再檢驗(yàn)．【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)平行，則，解得或，當(dāng)時(shí)，兩直線(xiàn)方程都是，則兩直線(xiàn)重合，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，兩直線(xiàn)方程分別為：，，滿(mǎn)足題意；綜上，．故選：C6．D【分析】求出圓的圓心和半徑，得到圓心關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到對(duì)稱(chēng)的圓的方程．【詳解】由題意得圓的圓心為，半徑為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，故，解得，故關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，所以所求的圓的方程為．故選：D7．B【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及前項(xiàng)和公式求解即可．【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，所以，所以．故選：B．8．C【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)定義求解即可．【詳解】由題意可知，，解得，，所以雙曲線(xiàn)的方程是．故選：C．二．多選題全選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有錯(cuò)誤選項(xiàng)得0分。9．ACD【分析】根據(jù)空間向量共面基本定理進(jìn)行求解判斷即可．【詳解】對(duì)于，因?yàn)?，故三個(gè)向量共面，故符合題意；對(duì)于，假設(shè)，，共面，則，使得，故有，方程組無(wú)解，故假設(shè)不成立，故不符合題意；即，，不共面；對(duì)于，，故三個(gè)向量共面，故符合題意；對(duì)于，，故三個(gè)向量共面，故題意符合．故選：．10．AC【分析】求出直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，根據(jù)定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，結(jié)合幾何知識(shí)可知當(dāng)直線(xiàn)與過(guò)定點(diǎn)和圓心的直線(xiàn)垂直時(shí)，弦長(zhǎng)有最小值，由此可求出答案．【詳解】解：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，又，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線(xiàn)與圓必相交，所以A正確，B，D錯(cuò)誤，因?yàn)閳A心與點(diǎn)間的距離為，圓半徑為2．所以最短弦長(zhǎng)為，故C正確，故選：AC．11．BC【分析】利用點(diǎn)線(xiàn)距離公式判斷A，由直線(xiàn)方程得斜率判斷B，取，則，從而判斷C，計(jì)算得判斷D，由此得解．【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)為，此時(shí)，，顯然不滿(mǎn)足題意，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：時(shí)，直線(xiàn)為，，不過(guò)A點(diǎn)，而，，所以直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，故B正確；對(duì)于C：時(shí)，直線(xiàn)為，取，則，故C正確；對(duì)于D：時(shí)，直線(xiàn)為，直線(xiàn)斜率為，故D錯(cuò)誤；故選：BC．12．ABD【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的方程，求出的值，可判斷A選項(xiàng)；利用拋物線(xiàn)的焦半徑公式可判斷B選項(xiàng)；將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可判斷C選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷D選項(xiàng)．【詳解】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的方程，可得，可得，A對(duì)；所以，拋物線(xiàn)的方程為，其準(zhǔn)線(xiàn)方程為，故，B對(duì)；易知點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，解得或，即點(diǎn)，所以，，D對(duì)；，故、不垂直，C錯(cuò)．故選：ABD．13．【分析】根據(jù)給定條件，求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用橢圓的定義求解即得．【詳解】橢圓的半焦距，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由橢圓的定義得所求長(zhǎng)軸長(zhǎng)．故答案為：14．【分析】將拋物線(xiàn)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可得解．【詳解】由題意拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其準(zhǔn)線(xiàn)方程為．故答案為：．15．【分析】由已知可得，與已知的等式相減可得，從而可求得結(jié)果．【詳解】因?yàn)椋?，所以，故．故答案為?16．【分析】?jī)蓚€(gè)向量的夾角為鈍角等價(jià)于且與不共線(xiàn)．【詳解】由；由．綜上：且．故答案為：．17．（1）；（2）或．【分析】（1）（2）利用直線(xiàn)平行、垂直的判定列方程求參數(shù)值，對(duì)于平行情況需要驗(yàn)證所得參數(shù)是否符合要求．【詳解】（1）由，則，即，所以或；當(dāng)，，，兩線(xiàn)重合，不合題設(shè)；當(dāng)，，，符合題設(shè)；綜上，．；（2）由，則，即，所以，即或。18．（1）（2）或【分析】（1）假設(shè)圓的一般方程，代入即可得到圓的方程．（2）先求出直線(xiàn)的方程，進(jìn)而設(shè)出與垂直的直線(xiàn)的方程，求出圓心到直線(xiàn)的距離和線(xiàn)段的長(zhǎng)相等求解即可得到直線(xiàn)的方程．【詳解】（1）設(shè)圓的一般方程為：，分別代入點(diǎn)和．，解得，故圓的方程為：．（2）因?yàn)?、所以直線(xiàn)的方程為：，故設(shè)直線(xiàn)的方程為：由題意可知，圓心，被圓截得弦長(zhǎng)等于則可知圓心到直線(xiàn)與直線(xiàn)的距離相等．故有|解得或所以直線(xiàn)的方程：或19．（1）（2）【分析】（1）由題列出a、b、c的方程，解之即可；（2）將直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立，韋達(dá)定理，然后利用弦長(zhǎng)公式求底，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求高，即可求出三角形的面積．【詳解】（1）由題意，設(shè)所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：，因?yàn)榻咕酁?，，又離心率，，；再由，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）由（1）知：左焦點(diǎn)為，直線(xiàn)的方程為：則，，由弦長(zhǎng)公式，；到直線(xiàn)的距離，。20．（1）（2）【分析】（1）首先求出，，即可求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而求出的通項(xiàng)公式；（2）利用分組求和法計(jì)算可得．【詳解】（1）因?yàn)椋?，?shù)列為等比數(shù)列，所以，，則，即是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，；所以，則．；（2）。21．證明見(jiàn)解析【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)空間位置關(guān)系的向量證明方法，即可證明結(jié)論．【詳解】由題意，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，；故，，即；又平面，故平面。22．（1）（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)出直線(xiàn)的方程并與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求得面積的表達(dá)式，進(jìn)而求得面積的最小值．（2）通過(guò)求的橫坐標(biāo)來(lái)求得正確答案．【詳解】（1）由得，，∴，；依題意得的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程，，，由得