陜西省西安市蓮湖區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

高二數(shù)學(xué)期末質(zhì)量監(jiān)測考試注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊至選擇性必修第二冊第四章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線方程可得斜率，進(jìn)而可知傾斜角.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，由題意可得：直線的斜率為，則，所以傾斜角.故選：D.2.已知為雙曲線的一個焦點，則的漸近線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求，即可得漸近線方程.【詳解】由題意可知：，且焦點在x軸上，可得，所以的漸近線的方程為，即.故選：B.3.已知數(shù)列的首項，且，則（）A.3 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出，發(fā)現(xiàn)周期，根據(jù)周期來求解.【詳解】由題可得，，，，故是以4為周期的周期數(shù)列，故．故選：A4.在三棱錐中，為的中點，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】連接，根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡，即可求解.【詳解】連接，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得.故選：B.5.某學(xué)習(xí)小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點處（如圖②所示）.已知接收天線的口徑（直徑）為，深度為，則該拋物線的焦點到頂點的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，得到，代入拋物線方程，求出，從而得到答案.【詳解】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則，將代入，故，解得，所以該拋物線的焦點到頂點的距離為m.故選：B6.若直線與圓相離，則過點的直線與橢圓的交點個數(shù)是（）A.0或1 B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】由直線與圓相離得，則點在橢圓的內(nèi)部，由此即可得解.【詳解】由題意直線與圓相離，所以圓心到直線的距離，即，而，即點在橢圓的內(nèi)部，所以過點的直線與橢圓的交點個數(shù)是2.故選：D.7.設(shè)為等差數(shù)列的前項和，若，則（）A.8 B.12 C.18 D.24【答案】D【解析】【分析】直接由等差數(shù)列性質(zhì)以及求和公式即可得解.【詳解】由題意，解得，所以.故選：D.8.已知雙曲線的左?右焦點分別為.過的直線交雙曲線右支于兩點，且，則的離心率為（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)雙曲線定義和線段之間的倍數(shù)關(guān)系求出，，由余弦定理求出，進(jìn)而得到，得到答案.【詳解】由已知可設(shè)，則，故，由雙曲線的定義有，故，，故，在中，由余弦定理得.在中，由余弦定理得，即，解得，即，故的離心率為2.故選：A二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A.若非零向量，，滿足，，則B.若對空間中任意一點O，有，則P，A，B，C四點共面C.若空間向量，，則在上的投影向量為D.已知直線l的方向向量為，平面的法向量為，則或【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)，的方向不確定判斷A；根據(jù)空間向量共面定理判斷B；根據(jù)投影向量定義判斷C；利用，可得，從而判斷D．【詳解】對于A，非零向量，，滿足，，，的方向不確定，則，不一定平行，故A錯誤；對于B，，，所以P，A，B，C四點共面，故B正確；對于C，因為，，所以在上的投影向量為，故C正確；對于D，因為直線l的方向向量為，平面的法向量為，所以，所以，則或，故D正確．故選：BCD.10.已知圓和圓是圓上一點，是圓上一點，則下列說法正確的是（）A.圓與圓有四條公切線B.兩圓的公共弦所在的直線方程為C.的最大值為12D.若，則過點且與圓相切的直線方程為【答案】BCD【解析】【分析】對于A，判斷兩圓位置關(guān)系即可；對于B，兩圓方程相減即可；對于C，由驗算即可；對于D，點在圓上，利用垂直關(guān)系得切線斜率，進(jìn)一步即可驗算.【詳解】對于A，圓、的圓心、半徑依次分別為，圓心距滿足，所以兩圓相交，圓與圓有兩條條公切線，故A錯誤；對于B，兩圓、方程相減得，，化簡并整理得兩圓的公共弦所在的直線方程為，故B正確；對于C，由題意，當(dāng)且僅當(dāng)四點共線，取最大值，故C正確，對于D，，即點在圓上面，又，所以過點且與圓相切的直線方程為，化簡并整理得，過點且與圓相切的直線方程為，故D正確.故選：BCD.11.已知數(shù)列滿足，，為的前項和，則（）A.為等比數(shù)列B.的通項公式為C.為遞減數(shù)列D.當(dāng)或時，取得最大值【答案】AC【解析】【分析】利用構(gòu)造法得，判斷出為首項為，公比為的等比數(shù)列，判斷A選項；利用等比數(shù)列通項公式求出通項公式，得出，判斷B選項；根據(jù)函數(shù)是減函數(shù)，判斷C選項；令，解得，判斷D選項.【詳解】因為，所以，即，，又因為，所以，所以為首項為，公比為的等比數(shù)列，A正確；，所以，B錯誤；因為函數(shù)是減函數(shù)，所以為遞減數(shù)列，C正確；令，即，解得，所以時，，時，，所以當(dāng)或時，取得最大值，D錯誤.故選：AC12.已知F是橢圓的右焦點，直線與橢圓C交于A，B兩點，M，N分別為，的中點，O為坐標(biāo)原點，若，則橢圓C的離心率可能為（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意，先畫出圖象，然后判斷四邊形為平行四邊形，由可得，進(jìn)而結(jié)合橢圓的定義與基本不等式可得有關(guān)的不等式，解不等式得到離心率的取值范圍，從而逐項判斷四個選項即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，圖象如圖所示：設(shè)為橢圓C的左焦點，因為直線與橢圓C交于A，B兩點，所以由橢圓的對稱性得，又，于是四邊形為平行四邊形.因為M，N分別為，的中點，是中點，所以，，平行四邊中,，在中，.因為直線斜率存在，所以A，B兩點不在y軸上，即，又在中，，所以，，即，又，所以，即.綜上所述，；因，故A，C錯誤；，即，故B正確；，即，故D正確.故選：BD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.若直線與直線關(guān)于直線對稱，則直線的一般式方程為__________.【答案】【解析】【分析】在直線上任取一點，則點關(guān)于直線對稱點在直線上，即可求解.【詳解】設(shè)直線上任意一點，則點關(guān)于直線對稱點，因為直線與直線關(guān)于直線對稱，所以在直線上，即，得到直線的一般式方程為故答案為：14.已知空間中的三點，則點到直線的距離為__________.【答案】##【解析】【分析】由題意得，，結(jié)合勾股定理即可得解.【詳解】由題意得，所以,，所以點到直線的距離為.故答案為：.15.已知，，是拋物線C：上的一點，則周長的最小值為____________．【答案】##【解析】【分析】利用拋物線的定義求解即可.【詳解】由題可知為拋物線C的焦點，C的準(zhǔn)線方程為．設(shè)d為點M到C的準(zhǔn)線的距離，則．又，所以周長的最小值為．故答案為：.16.如圖所示的數(shù)陣由數(shù)字1和2構(gòu)成，將上一行的數(shù)字1變成1個2，數(shù)字2變成2個1，得到下一行的數(shù)據(jù)，形成數(shù)陣，設(shè)是第行數(shù)字1的個數(shù)，是第行數(shù)字2的個數(shù)，則__________，__________.【答案】①.②.【解析】【分析】由題意可知：，且，進(jìn)而可得，結(jié)合等比數(shù)列運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：，且，則，可得，，所以.故答案為：16；.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知圓過點和，且圓心在直線上.（1）求圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過點的直線與垂直，且與圓相交于兩點，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意得，，由此即可得解.（2）首先得經(jīng)過點且與垂直的直線為，由弦長公式即可得解.【小問1詳解】由題意設(shè)圓心，又圓過點和，所以，解得，所以圓心，半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由題意經(jīng)過點且與垂直的直線為，即，又圓心到直線的距離為，，所以.18.已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由的關(guān)系即可得解.（2）由裂項相消法即可得解.【小問1詳解】由題意，當(dāng)時，所以，又，所以的通項公式為.【小問2詳解】由題意，所以.所以數(shù)列的前項和.19.一動圓經(jīng)過點且與直線相切，設(shè)該動圓圓心的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）若直線l與C交于A，B兩點，且線段AB的中點坐標(biāo)為，求直線l的方程．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程可以確定曲線C的方程.（2）利用點差法結(jié)合中點坐標(biāo)公式和斜率公式求解.【小問1詳解】依題意得該動圓的圓心到點的距離到直線的距離相等．又點不在直線上，所以根據(jù)拋物線的定義可知該動圓圓心的軌跡是以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線C的方程為．【小問2詳解】設(shè)，，則，兩式相減得，即．因為線段AB的中點坐標(biāo)為，所以，則，即直線l的斜率為，所以直線l的方程為，即，經(jīng)檢驗，直線與曲線相交，滿足題意，所以直線l的方程為.20.在正三棱柱中，，E為的中點．（1）證明：平面．（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）；【解析】【分析】（1）利用中位線性質(zhì)構(gòu)造線線平行即可證明線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計算面面夾角.【小問1詳解】連接，與交于點F，連接，則F為的中點．因為E為的中點，所以，又平面，平面，所以平面．【小問2詳解】取的中點D，連接，則，．又平面，所以底面，底面，所以，則可以E為原點，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，，，，，所以，，，．設(shè)平面的法向量為，則，取，即．設(shè)平面的法向量為，則，取，即，則，即平面與平面夾角的余弦值為．21.已知是首項為1的等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且，．（1）求和的通項公式；（2）在中，對每個正整數(shù)k，在和之間插入k個，得到一個新數(shù)列，設(shè)是數(shù)列的前n項和，比較與20000的大小關(guān)系．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項公式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意分析可知，利用分組求和法結(jié)合等差、等比數(shù)列求和公式以及錯位相減法運(yùn)算求解.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為d，因，則，解得，所以，．【小問2詳解】因為，當(dāng)時，，可知，且，令的前n項和為，則，可得，兩式相減得，即，可得，所以．22.已知橢圓的上、下頂點分別是，點P（異于兩點），直線PA與PB的斜率之積為，橢圓C的長軸長為6．（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，直線PT與橢圓C的另一個交點為Q，且直線AP與BQ相交于點D，證明點在定直線上.【答案】（1）+＝1（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)斜率之積和點P在橢圓上整理可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線PT的方程為，聯(lián)立橢圓方程消去y，利用P，Q坐標(biāo)表示出直線PA與PB的方程，求解出點D的坐標(biāo)，然后用韋達(dá)定理化簡即可得證．【小問1詳解】由題意可得，且