2023年山東省濟南市高考數(shù)學(xué)三模試卷

2023年山東省濟南市高考數(shù)學(xué)三模試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},B={3,6},則圖中陰

影部分代表的集合為（）

A.{1,2}B.{3,4}C.{4,5}D.{2,3,5}

2.已知復(fù)數(shù)z「Z2是關(guān)于X的方程M—2x+3=0的兩根，則Z1Z2的值為（）

A.-3B.-2C.2D.3

3.若（1_2x）2023=α0+%χ+ct2%2+…+%）23χ2023,則1+袋+…+甥翁的值為（）

A.-1B.0C.?D.1

4.在平面直角坐標(biāo)系XOy中，如圖所示，將一個半徑為1的圓盤固定在平面上，圓盤的圓心

與原點重合，圓盤上纏繞著一條沒有彈性的細(xì)線，細(xì)線的端頭M（開始時與圓盤上點4（Lo）重

合）系著一支鉛筆，讓細(xì)線始終保持與圓相切的狀態(tài)展開，切點為從細(xì)繩的粗細(xì)忽略不計，

當(dāng)＜p=2rαd時，點M與點。之間的距離為（）

5.已知函數(shù)/(X)=｛鼠JR:>若函數(shù)g(χ)=/(x)-b有四個不同的零點，則實數(shù)匕的

取值范圍為()

A.(0,l]B.[0,1]C.(0,1)D.(l,+∞)

6.nn1n22n332n2

在數(shù)列｛nrι｝中，若M=2+2-×3+2-×3+2-×3+???+2×3~+2×

3n-1+3n,則。2023=()

32°23_22023202320242024202420232024

A.]β.3x2-3C.3-2D,2×3-2

7.如圖，正四面體ABCD的棱AB與平面α平行，且正四面體內(nèi)的所有點在平面α內(nèi)的射影構(gòu)

成圖形面積的最小值是￥，則該正四面體的棱長為（）

4

A.詈B.1C.y[~2D.2

8.在BC中，若I而+芯I=2,1元+瓦=3，則AABC面積的最大值為（）

33

--

A.84C.1D.W

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.某學(xué)校組建了辯論、英文劇場、民族舞、無人機和數(shù)學(xué)建模五個社團，高一學(xué)生全員參

加，且每位學(xué)生只能參加一個社團.學(xué)校根據(jù)學(xué)生參加情況繪制如下統(tǒng)計圖，已知無人機社團

和數(shù)學(xué)建模社團的人數(shù)相等，下列說法正確的是（）

45

?心

0

?5

5?0

.5

0

τ?

H5

H0

5

0

民

無

數(shù)學(xué)

英

文

辯

族

人

模

建

劇

場

論

舞

機

A.高一年級學(xué)生人數(shù)為120人

B.無人機社團的學(xué)生人數(shù)為17人

C.若按比例分層抽樣從各社團選派20人，則無人機社團選派人數(shù)為3人

D.若甲、乙、丙三人報名參加社團，則共有60種不同的報名方法

10.拋物線y2=2px（p>0）的準(zhǔn)線為焦點為F,且經(jīng)過點Z（1,2）,點4關(guān)于直線/的對稱點

為點設(shè)拋物線上一動點P到直線X=—2的距離為d,貝∣J（）

A.p=4

B.∣PM∣+d的最小值為2，萬+1

C.直線4F與拋物線相交所得弦的長度為4

D.過點M且與拋物線有且只有一個公共點的直線共有兩條

C.圓錐的外接球體積為必鏟

D.?r1,r2∈(0,1),竺嗎!②≤V(中)

12.若尸(X)為函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)，數(shù)列｛x｝滿足Xn+l=%n-7??.則稱｛x｝為“牛頓數(shù)列”.

7lJ?xn)jl

己知函數(shù)/(X)=∕-1,數(shù)列｛x71｝為“牛頓數(shù)列"，其中％=3,則()

A?馬+1=鬃(n∈N*)

B.數(shù)列｛x7l｝是單調(diào)遞減數(shù)列

2,n

C.X1X2...xn≤2-1

D.關(guān)于n的不等式設(shè)"-1∣<壺的解有無限個

三'填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知正數(shù)%,y滿足4x+2y=xy,則x+2y的最小值為.

14.已知隨機變量X,丫，其中X?B(6,"),Y?N(μ,σ2),E(X)=E(Y),P(IH<2)=0.3,

則p(y>6)=.

15.山東省科技館新館目前成為濟南科教新地標(biāo)(如圖1),其主體建筑采用與地形吻合的矩

形設(shè)計，將數(shù)學(xué)符號“8”完美嵌入其中，寓意無限未知、無限發(fā)展、無限可能和無限的科

技創(chuàng)新.如圖2,為了測量科技館最高點4與其附近一建筑物樓頂B之間的距離，無人機在點C測

得點4和點B的俯角分別為75。，30°,隨后無人機沿水平方向飛行600米到點D,此時測得點4

和點B的俯角分別為45。和60%4B,C,D在同一鉛垂面內(nèi))，則4B兩點之間的距離為米

16.已知函數(shù)/(x)=(XeX+1)QnX+x)-XeX+1,g(χ)y=x+kex,當(dāng)實數(shù)Xo滿足∕Q?)N

0時，不等式gQ?+/x°+2)≤0恒成立，則實數(shù)k的取值范圍為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知等差數(shù)列｛an｝的前Ti項和為S71,且滿足的+α3+α5=15,S7=49.

(I)求｛an｝的通項公式；

n

(2)若數(shù)列｛b71｝滿足刈=an-3,求｛b｝的前n項和

18.(本小題12.0分)

如圖，四邊形ABCO與BOEF均為菱形，F(xiàn)4=FC,且NZλ4B=NOB尸=60。.

(1)求證：ZCl平面BDE尸；

(2)求直線4D與平面/BF所成角的正弦值.

19.(本小題12.0分)

已知f(x)=sm3x(<υ>0),其圖象相鄰對稱軸間的距離為J若將其圖象向左平移居個單位

得到函數(shù)y=g(x)的圖象.

(1)求函數(shù)y=g(x)的解析式及圖象的對稱中心；

(2)在鈍角AABC中，內(nèi)角4,B,C的對邊分別是a,b,c,若居求與+高的

取值范圍.

20.(本小題12.0分)

某校舉行“學(xué)習(xí)二十大，奮進新征程”知識競賽，知識競賽包含預(yù)賽和決賽.

(1)下表為某10位同學(xué)預(yù)賽成績：

得分939495969798

人數(shù)223111

求該10位同學(xué)預(yù)賽成績的上四分位數(shù)(第75百分位數(shù))和平均數(shù)；

(2)決賽共有編號為A,B,C,D,E的5道題，學(xué)生甲按照4,B,C,D,E的順序依次作答，

答對的概率依次為|,另,另，各題作答互不影響，若累計答錯兩道題或五道題全部答完則比

賽結(jié)束，記X為比賽結(jié)束時學(xué)生甲已作答的題數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

21.(本小題12.0分)

已知橢圓C：捻+A=l(α>b>0),圓M：M+y2=1與X軸的交點恰為C的焦點，且C上的

點到焦點距離的最大值為∕√?

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)不過原點的動直線/與C交于4B兩點，平面上一點。滿足3X=而，連接8。交C于點E(點

E在線段BD上且不與端點重合)，若沁=工試判斷直線，與圓M的位置關(guān)系，并說明理由.

22.(本小題12.0分)

2x

已知函數(shù)/"(%)--aex+χ.

(1)討論/Q)的極值點個數(shù)；

(2)若/(x)有兩個極值點看,X2>直線y=kχ+b過點(XI,/(Xi)),(x2,∕(x2)).

(。證明:k>f(ln?);

(ii)證明：h<?-α.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：???4={L2,3},B={3,6},

：.A?JB={1,2,3,6},

又全集U={1,2,3,4,5,6},

???圖中陰影部分表示的集合CU(AUB)={4,5).

故選：C.

由題意可知圖中陰影部分表示的集合QG4UB),再利用集合的基本運算求解.

本題主要考查Uezm圖表達集合的關(guān)系和運算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：復(fù)數(shù)zi，Z2是關(guān)于X的方程/一2%+3=0的兩根，

則Z]Z2=3.

故選：D.

根據(jù)已知條件，結(jié)合韋達定理，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：令X=0,可得1=劭，

令X=可得0=劭+?+貨+…+黑翁，

則^'+袋++°-αo=-1.

J乙Z

故選:A.

令％=0,求得的,令％求得O=Qo+:+,+…+翳得，由此可得答案.

本題考查二項式定理的運用，考查賦值法以及運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：展開過程中：BM=配=φ?R=2,

BO=1,MO=√BM2+BO2=

故選：D.

根據(jù)扇形的弧長公式和展開過程中的長度關(guān)系即可求解.

本題考查弧長公式，屬于基礎(chǔ)題.

即實數(shù)b的取值范圍是(0,1].

故選：A.

根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點問題進行求解即可.

本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的判斷，利用函數(shù)與方程的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)/(X)與y=b有四個不同

的交點，利用數(shù)形結(jié)合進行求解是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

6.【答案】C

【解析】解：依題意，nn1n22n332n2n1

?αn=2+2-×3+2~×3+2-X3+???+2X3^+2×3^+

3n,

兩邊同時乘以去，

可得翁=?-(2n+2n-1×3+2n-2×32+2n-3X33+???+22X3n^2+2×3n-1+3n)

=?n+?n^1+?n^2+(∣)n^3+-+(∣)2+(∣)1+1

=l+(∣)1+(∣)2+???+(∣Γ

=3-4’

n+1n+1

/.αn=3-2,

.C—o2024n2024

??α2023^^?一乙?

故選：C.

先對nn1n2n332n2n1兩邊同時乘以

α71=2+2-×3+2-X32+2^×3+???+2X3-+2×3-+3”

化簡計算之后運用等比數(shù)列的求和公式即可推導(dǎo)出數(shù)列｛即｝的通項公式，即可計算出。2023的結(jié)果.

本題主要考查數(shù)列求和公式的問題.考查了整體思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，等比數(shù)列求和公式的運

用，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算能力，屬中檔題.

7.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，當(dāng)CD1平面α,射影面的面積最小，此時構(gòu)成的三角形底邊為正四面體

的棱長，設(shè)正四面體的棱長為α,

高是直線CD到ZB的距離，距離為：J（?a）2_（；a）2=，a，

射影面積為：l.α?^α=≤I,解得α=l.

224

故選：B.

當(dāng)正四面體繞著與平面平行的一條邊轉(zhuǎn)動時，不管怎么轉(zhuǎn)動，投影圖形的一邊始終是48的投影,

長度為棱長，而發(fā)生變化的是投影的高，找出高的變化，得到答案.

本題考查平行投影及其有關(guān)計算，棱錐的結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：設(shè)點4、B為線段DE的三等分點，

因為I南+定I=2,?^BC+^BA?=3.

所以I屈+肥-/I=?BC-2BA?=?BC-JD?=

∣DC∣=2,?BC-^BE?=?EC?=3,

111

則SMBC=SSACDE=∣×∣×∣CO∣×∣CE∣×SinZDCE≤

11

∣×i×2×3=l,

當(dāng)且僅當(dāng)CD1CE時取等號，

即△ABC面積的最大值為1.

故選：C.

由平面向量的線性運算，結(jié)合三角形的面積公式求解即可.

本題考查了平面向量的線性運算，重點考查了三角形的面積公式，屬中檔題.

9.【答案】AC

【解析】解：由題目所給的數(shù)據(jù)可知：民族舞的人數(shù)為12,占高一年級總?cè)藬?shù)的比例為10%,所

以高一年級的總?cè)藬?shù)為12÷10%=120,

英文劇場的人數(shù)為120X35%=42,辯論的人數(shù)=30,

無人機=數(shù)學(xué)建模=(120-42-30-12)÷2=18,占高一年級人數(shù)的比例是卷X100%=

15%,故A正確，B錯誤，

分層抽樣20人，無人機應(yīng)派出20X15%=3(人)，C正確，

甲乙丙三人報名參加社團，每人有5種選法，共有53=125種報名方法，。錯誤.

故選：AC.

根據(jù)圖表所給出的數(shù)據(jù),分別計算出5個社團的具體人數(shù)和占高一年級總?cè)藬?shù)的比例，再逐項求解.

本題考查根據(jù)統(tǒng)計圖表獲取信息，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BC

【解析】解：拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線為，，焦點為F,

且經(jīng)過點4(1,2),可得4=2p,可得p=2,所以4不正確；

拋物線方程為：y2=4χ,點4關(guān)于直線(的對稱點為點

M(-3,2),如圖，P到直線X=—2的距離為d,過P作PN垂直

直線X=-1于N,∣PM∣+d的最小值為：∣MF∣+1=

√22+42+l=2√5+l.所以8正確；

直線AF與拋物線相交所得弦的長度為2∣4F∣=4,所以C正

確；

過點M且與拋物線有且只有一個公共點的直線共有3條，兩條切線和一條平行對稱軸的直線，所以

。不正確.

故選：BC.

求解P判斷A的正誤；利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化求解∣PM∣+d的最小值，判斷B的正誤；求解通徑判

斷C的正誤；判斷直線與拋物線的交點是一個時，直線的條數(shù)判斷D?

本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題.

11.【答案】ABC

【解析】解：因為圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，所以圓錐的母線長為2,底面圓的半徑為

1,

圓錐的高√22-/=√-3,所以圓錐的表面積為S=ττ×l×2+π×l2=2π+π=3π,故選項

A正確；

設(shè)圓柱的高為九，如圖，

則圓柱的體積為V(r)=兀日?∕ι=?∕3τ∏?2(i—r),^^∕(r)=r2(l—r),∕,(r)=r(2—3r)

當(dāng)0<r<∣,∕,(r)>0,f(r)單調(diào)遞增，當(dāng),<7<1，/⑺<0,/(r)單調(diào)遞減，

所以/(r)=(|)2Xg=/所以圓柱的體積的最大值為V(r)g=√3πX捺=窄,故B正確;

如圖：

設(shè)圓錐外接球球。的半徑為R,則由A4BC是正三角形可得Bol=1,AO1=G，

在AB。［。中，R2=(q_R)2+M,解得R=等，

所以圓錐的外接球體積為U感=gττR3=42^3=32√Z3τr,故選項C正確；

÷jτ??(?)327

因為U(r)=√^3πr2(l-r),所以=F?2f)+E?τ?)=E(W+全帝,

大華）=門武華）2（1-空）=門瞰空）2_（中丹

所以Vs）+V（T2）-21/（鬻）=-r3+r2_r3_2（華）2+2（空）3]

√~3π,3

=—2-（rι-r2）[1-2（ri+萬），

由于∣d+萬）與1的關(guān)系無法判斷，所以"誓空與VeI尹）大小關(guān)系不確定，故選項。錯誤.

故選：ABC.

根據(jù)圓錐的截面確定底面半徑和母線，代入圓錐表面積公式計算可判斷4利用相似找到圓柱的

底面半徑和高的關(guān)系，求出圓柱體積的解析式，利用導(dǎo)數(shù)法求解最大值可判斷B,找到外接球的

球心，利用勾股定理求出球的半徑，求出體積即可判斷C,作差變形，判斷符號即可判斷D?

本題考查圓錐的幾何性持，考查運算求解能力，屬中檔題.

12.【答案】BCD

2

【解析】解：Λ∕(x)=X-I,則f'(x)=2x,則出+1=Xrl—糊=Xn-要=g±1,故A錯

Jkxn)ZXnZXn

誤，

A由％1=3，%n+l=xn~?-1-??>得％n+l一式n=一會」，

2

(xn-I)=Xn-2xn+1≥O,?%?+1≥2xn,

、四+、Y

A1λxxZ?l-χj→=x1+i>1

??.Xn>O,.?.2芍?≥1?n+l=n,n

f(×n)2xn2xn-

,=

*?%ι3≥1,*,?巧ι+ι>1,BPxn>1,>1,—1>0,即％∏+ι—久ri=—ɑ—V0,

即%n+l<$，即數(shù)列｛%n｝是單調(diào)遞減數(shù)列，故8正確，

22

C?/l+1-I=警〉，$+1+1=篤也，由％=3,得“n-l>0,

NXn^xn

ii2lni2

?,?xrn+lπ+l=x(zι?+l-???xrn+l?+l=^xn?+l

令斯=In霖，則限】=2即，

則｛αn｝是公比為2的等比數(shù)列，????i=3,?a1=ln∣^∣=-In2,

n1n1

則an=(-ln2)×2^,即In吟=(-Zn2)X2-9

Xn十?

a7rl-l

即??=22T艮%=L=I+-，

22-122-1

2Λ

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:X1X2-Xn≤2-1,

2

當(dāng)Ti=I時，x1=3=2—1,命題成立，

假設(shè)當(dāng)九=k時，成立，即…亂≤22”-l,

k

2k22t

則當(dāng)兀=k+1時，X1X2???χkχk+1≤(2-1)-勺口=2*+1.

22-1

fc+1k2k22t2fc2fc

22_1_(22+I)=(2)-2*-2=(2-2)+(2+1)>0,命題也成立.

x2k2c+1

：.X1X2???Xkk+ι≤2+1<2/-1命題成立.

綜上XlX2…Xn≤2?"-1成立.故C正確.

21

-21

D.?xn-1∣=I?iI<72023,???22"T-1>0,.?.22°24+1<2"^,即2"T>2024,n≥12(n∈

22-1Z

M),???不等式的解有無限個，故。正確.

故選：BCD.

根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，分別進行判斷即可.

本題主要考遞推數(shù)列的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用數(shù)列遞推關(guān)系，利用數(shù)列和不等式的關(guān)系進行

推理是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

13.【答案】18

【解析】解：,,,正數(shù)X,y滿足4x+2y=xy,

4,2.

-I—=1

yX

則％+2y=(x+2y)C+》=?+￡+10≥2

當(dāng)且僅當(dāng)?=?且4x+2y=xy,即％=y=6時取等號.

Xy

故答案為：18.

將4x+2y=Xy,轉(zhuǎn)化為:+；=1,再由X+2y=(x+y)?+?)展開后利用基本不等式可求出％+

2y的最小值.

本題考查基本不等式,應(yīng)注意等號成立的條件；“1”的替換是一個常用的技巧,應(yīng)學(xué)會靈活運用.

14.【答案】0.2

【解析】解：X?B(6,g),Y?N(μ,σ2),E(X)=E(Y),

則〃=6Xg=2,

P(IH<2)=0.3,

則P(-2<y<2)=0.3,

故P(2<r<6)=P(-2<Y<2)=0.3,

所以P(y>6)=P(Y>2)-P(2<y<6)=0.5-0.3=0.2.

故答案為：0.2.

根據(jù)已知條件，結(jié)合二項分布的期望公式，求出“，再結(jié)合正態(tài)分布的對稱性，即可求解.

本題主要考查正態(tài)分布的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】IOocK

【解析】解：由題意，4DCB=30°,ΛCDB=60°,所以NCBD=90。，

所以在RtΔCBD中，BD=^CD=300BC=?CD=30θO.

又乙DCA=75o,?CDA=45°,所以4CAD=60°,

在AACD中，由正弦定理得-?m=-?,所以AC=罌Xf=200/7，

sιn45sιn60√32

在44BC中，4ACB=?ACD-乙BCD=75°-30°=45°,

由余弦定理AB?=AC2+BC2-2AC-BC-coszΛCB=(200<6)2+(300<^3)2-2×200√^6X

300√3×?=150000-

所以AB=100√^L5?

故答案為：

根據(jù)已知角的關(guān)系，在三角形中，利用正余弦定理求解即可.

本題考查正余弦定理的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬中檔題.

16.【答案】(-8,一芻

【解析】解：/(x)=(XeX+I)(ZnX+x)—xex+1=(eznx+x+I)UnX+x)—elnx+x+1>

令t(x)=Inx+x,易知函數(shù)t(x)=bιx+X在(0,+8)上單調(diào)遞增，

WJ∕(t)=(et+l)t—et+1,有尸(t)=te，+1,iB∕ι(t)=tet+1,則九'(t)=(t+l)eJ

t<-l時，∕ι,(t)<0,t>-lift,h'(t)>O,

所以∕ι(t)=tec+1在(—1,+8)上單調(diào)遞增，在(—8,—1)上單調(diào)遞減，

所以∕ι(t)≥∕ι(-l)=-e-1+1>0,即y'=te，+1>0,

所以函數(shù)f(t)=(et+l)t-et+1單調(diào)遞增，且f(0)=(e0+1)0—e0+1=0,

由題意∕Q?)≥0,所以f(t?)≥O,所以±o≥O,

不等式g(%o+Inx0÷2)≤0恒成立即g(%+2)≤0恒成立,

所以工≥2時，g(x)=%+kex<0恒成立，即k≤一去在％≥2上恒成立，

γ

記Tn(X)=-萬(x≥2),則∕c≤m(χ)mi",

因為m'(x)=衰>0,所以m(x)=在［2,+8)上單調(diào)遞增，

79

所以m(x)mE=m(2)=一丁，故k≤-

故答案為：(-8,-芻.

同構(gòu)，對函數(shù)多次求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)/(xo)≥0求得to≥0,從而把不等式恒成立問

題轉(zhuǎn)化為k≤-賓在X≥2上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)最值即可求解.

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)由題意，設(shè)等差數(shù)列{α,J的公差為d,

=

α1÷α3÷ɑs?ɑi+6d=15

S=7a+^d=49'

{71

≡Ct3d：7-

解峭二J

?αn=1÷2?(n-1)=2n—1,nEN*.

nn

(2)由(1)可得，bn=an?3=(2n-l)?3,

123n

則%=b1+b2+???+6n=l?3+3?3+5?3+???+(2n-1)?3,

37；=l?32+3?33+???+(2n-3)?3n+(2n-1)?3n+1,

兩式相減，

可得一2"=l?31+2?32+2?33+???+2?3n-(2n-1)?3n+1

=3+2?(32+33+???+3n)-(2n-1)?3n+1

o2-?∏+l

n

=3+2?~_3-(2n-1)?3+i，

=-2(n-l)-3n+1-6,

.?.7;=(π-l)?3n+1+3.

【解析】(1)先設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,再根據(jù)題干已知條件列出關(guān)于首項如與公差d的方程組,

解出的與d的值，即可計算出等差數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)先根據(jù)第(1)題的結(jié)果計算出數(shù)列｛b｝的通項公式，再運用錯位相減法即可計算出前n項和與.

本題主要考查等差數(shù)列的基本運算，以及運用錯位相減法求前幾項和問題.考查了方程思想，轉(zhuǎn)化

與化歸思想，等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式的運用，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算能力，屬中檔

題.

18.【答案】證明：(1)設(shè)AC與BD相交于點。，連接產(chǎn)。，

???四邊形ABCD為菱形，.?.ACJ.BD,且。為AC中點，

?.?FA=FC,：.AC1FO,又FOeBD=0,

.?.AC_L平面BDEF.

解：(2)連接0/，???四邊形BOEF為菱形，且40BF=60。，

.??△DBF為等邊三角形,

???。為BD中點，.?.F。_LBC,又4CJ.F。，:F。_L平面ABCD.

???0A,OB,0尸兩兩垂直，

工建立空間直角坐標(biāo)系。-Xyz,如圖所示，

設(shè)48=2,???四邊形ABCD為菱形，^DAB=60°,

?BD=2,AC=2√3?

???ΔDBF為等邊三角形，.?.OF=C?

.?.A(C0,0),B(0,1,0),D(O,-1,O),F(Ooq),

：.AD=(-√^,-l,0).AF=(-√^,0,5Λ3),AB=(-√^,l,0)?

設(shè)平面4BF的法向量為五=(x,y,z),

則｛瓢二代二°，取…衙=QE).

設(shè)直線4。與平面ABF所成角為。，

則直線4D與平面/BF所成角的正弦值為：

Sino=Icos<而,元>|=制j=-?

【解析Kl)設(shè)4C與BD相交于點。,連接FO,推導(dǎo)出AC1BD,AC1FO,由此能證明4C1平面BDEF.

(2)連接DF,推導(dǎo)出ADB尸為等邊三角形，從而FOJ.BD,ACLFO,進而FoJ_平面48。￡).由。A,

OB,OF兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系。-町z,利用向量法能求出直線4。與平面ABF所成角的

正弦值.

本題考查線面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置

關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是

中檔題.

19.【答案】解：(1)已知/(%)的圖象相鄰對稱軸間的距離為全貝呼=兀.

由周期公式得，T=居=兀，ω>0,所以3=2,/(x)=sin2x,

g(x)=sin[2(x+??)]=sin(2x+?),令2x+?=kπ,

所以X=-7?+?^>故函數(shù)y=g(%)的對稱中心為(一萼+-γ,0)(?∈Z)；

(2)由題意得,/(∣)=sinB,g(^-=sin[2(^-^)+γ]=sin(?+≡),

所以SinB=Sin(4+今，所以B=A+]或4+B=](舍)，

所以C=>24,因為在鈍角△力BC中，所以0<力<^O<C<≡

二「i、s//1∕7rr∏,∣2c,52sιnC,52cos2A,5

用「以O(shè)V4V;，貝∣J-H----=------1----=-------1----

4brCosASinBcosAcosACosA

2(2cos24-1)+5,3

λλ時

cosA=4cos4+

or-o3

令t=cos4φ(t')=4t÷-,t∈(-?,1)，0‘(1)=4一記,

當(dāng)苧<x<?,時d(t)<0;當(dāng)好<X<1時，φ'(.t)>0,

可得(p(t)在(?,號)單調(diào)遞減，在(y,1)單調(diào)遞增.

所以當(dāng)t=?,β∣M=泄，w(t)有最小值4C，

火[)=5√1,9(1)=7,所以/(t)<5/7,

故與+∑?e[4√7,5√^Σ).

【解析】(1)根據(jù)/(X)的圖象相鄰對稱軸間的距離得到周期求出3,再根據(jù)圖像平移得到y(tǒng)=g(χ),

由對稱中心公式求得結(jié)果；

(2)由居)=g?Y)得出4,B,C三角的關(guān)系，利用正弦定理及角度關(guān)系化簡系+熹，再利用

導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間得出結(jié)果.

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)因為IOXo.75=7.5,所以該10位同學(xué)預(yù)賽成績的上四分位數(shù)(第75百分位數(shù)

)是第8個數(shù)據(jù)，為96；

這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為擊×(93×2+94×2+95×3+96+97+98)=95；

(2)根據(jù)題意知，隨機變量X的可能取值為2,3,4,5,則P(X=2)=(1—1)x(1-》=：,

12l

××+XX-i

2--3---

4,

5

4C1111

"XXXX1=

?72-2-2-

036

r)∕vr、Z2、Il2,2“1、I2,21“1、2,2I1“2、，

P(X=5)=(l1--)×-×-×-+-×(l--)×-×-+-×-×(l--)×-+-×-×-×(l--)+

21124

3X2X2X3=9；

所以X的分布列為

X2345

1154

P

64369

數(shù)學(xué)期望為EX=2x!+3x；+4x^+5xg=^.

6436936

【解析】(1)由百分位數(shù)的定義求出結(jié)果，再計算數(shù)據(jù)的平均數(shù)；

(2)根據(jù)題意知X的可能取值，求出對應(yīng)的概率值，寫出分布列，計算數(shù)學(xué)期望值.

本題考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計算問題，是中檔題.

21.【答案】解：(1)由題意，圓M：/+y2=1與X軸的交點為(±1,0),可得c=ι,

橢圓C上的點到焦點距離的最大值為α+c=b2,

又因為a?=/??+??,可得α=2,b=√-3>

所以橢圓C的方程為￥+4=1.

43

(2)如圖所示，設(shè)力(XI,yj,B(x2ly2)>

當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)直線/的方程為y=kx+m(m≠0),

y=fcx+m

聯(lián)立了y2得(3+4%2)/+8kτnx+4τ∏2-12=0,

-÷-=1

8km4m2-12

所以％ι+x=-XlX2=

24∕C2+3,4∕C2+3

ZJ=(8fcm)2-4(4∕C2+3)(4m2-12)>0(*),

3m2-12/

yy—(kX+m)(fcx+n?)=k2xx+km(X+x)+n?2=

12I212l24k2+3'

E≡=而可得點4為。。的中點，可得—2%),且有黑=狹=踹=|,

所以無f=ξOD+ξOB=(ξX+∣x,ξyι+白2)，

???1?2??

即點E的坐標(biāo)為WXl+∣x2.ξyι+∣y2)-

2

將E點坐標(biāo)代入橢圓3+4=I的方程可得抬%+|&)2+基力+∣y2)=1,

化簡后得象［+當(dāng)+寮苧+*+素竽+竽)=1，(*)

由于4B點坐標(biāo)分別滿足丘+城=1，名+道=1，

4343

代入(*)可得等+華=0,

4?

所以3%IX2+4y1y