新高考I卷數(shù)學(xué)-解析

（2023·新高考Ⅰ卷·1·★）已知集合，，則（）（A）（B）（C）（D）答案：C解析：或，所以，又，所以.（2023·新高考Ⅰ卷·2·★）已知，則（）（A）（B）i（C）0（D）1答案：A解析：由題意，，所以，故.（2023·新高考Ⅰ卷·3·★）已知向量，，若，則（）（A）（B）（C）（D）答案：D解析：向量垂直可用數(shù)量積為0來翻譯，此處可先求兩個向量的坐標(biāo)，再算數(shù)量積，但若注意到，則會發(fā)現(xiàn)直接展開計算量更小，因為，所以①，又，，所以，，，代入①得：，所以.（2023·新高考Ⅰ卷·4·★★）設(shè)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）答案：D解析：函數(shù)由和復(fù)合而成，可由同增異減準(zhǔn)則分析單調(diào)性，因為在R上，所以要使在上，只需在上，二次函數(shù)的對稱軸為，如圖，由圖可知應(yīng)有，解得：.（2023·新高考Ⅰ卷·5·★）設(shè)橢圓，的離心率分別為，，若，則（）（A）（B）（C）（D）答案：A解析：由題意，，，因為，所以，解得：.（2023·新高考Ⅰ卷·6·★★）過點與圓相切的兩直線的夾角為，則（）（A）1（B）（C）（D）答案：B解析：，圓心為，，記，兩切點分別為A，B，如圖，PA，PB的夾角，所以，注意到，故要求，可先在中求和，再用二倍角公式，因為，，所以，從而，，故.（2023·新高考Ⅰ卷·7·★★★）記為數(shù)列的前n項和，設(shè)甲：為等差數(shù)列，乙：為等差數(shù)列，則（）（A）甲是乙的充分條件但不是必要條件（B）甲是乙的必要條件但不是充分條件（C）甲是乙的充要條件（D）甲既不是乙的充分也不是乙的必要條件答案：C解析：判斷是否為等差數(shù)列，就看通項是否為或前n項和是否為的形式，故直接設(shè)形式來分析，先看充分性，若為等差數(shù)列，則可設(shè)，此時，滿足等差數(shù)列的形式特征，所以是等差數(shù)列，故充分性成立；再看必要性，此時可將設(shè)為等差數(shù)列的通項形式，看看是否滿足等差數(shù)列的形式特征，若是等差數(shù)列，則可設(shè)，所以，滿足等差數(shù)列前n項和的形式特征，從而是等差數(shù)列，必要性成立，故選C.【反思】是等差數(shù)列的充要條件是通項為的形式，或前n項和為的形式，熟悉這一特征可巧解一些等差數(shù)列的概念判斷題.（2023·新高考Ⅰ卷·8·★★★）已知，，則（）（A）（B）（C）（D）答案：B解析：只要求出或，就能用二倍角公式算，而已知的是展開才有的結(jié)構(gòu)，故先算，將展開也會出現(xiàn)，于是展開，由題意，①，又，代入①可求得，所以，故.（2023·新高考Ⅰ卷·9·★★★）（多選）有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（）（A）的平均數(shù)等于的平均數(shù)（B）的中位數(shù)等于的中位數(shù)（C）的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差（D）的極差不大于的極差答案：BD解析：A項，和偏離平均數(shù)的程度不一定相同，所以去掉它們后，平均數(shù)可能發(fā)生變化，故能想象A項錯誤，我們舉個例子，不妨設(shè)這組數(shù)據(jù)為0，2，3，4，5，6，則原平均數(shù)，去掉0和6之后的平均數(shù)，故A項錯誤；B項，不妨假設(shè)，則和的中位數(shù)都是，故B項正確；C項，和偏離平均數(shù)較大，去掉它們后，標(biāo)準(zhǔn)差可能減小，故通過直觀想象能得出C項錯誤，舉個例子，不妨設(shè)這組數(shù)據(jù)為1，2，3，5，6，7，則，，去掉1和7后，，，所以，從而，故C項錯誤；D項，沿用B項的假設(shè)，則的極差為，的極差為，要比較兩個極差的大小，可再將它們作差判斷正負，因為，所以，故D項正確.（2023·新高考Ⅰ卷·10·★★★）（多選）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量噪聲的強度，定義聲壓級，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，p是實際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油輪1060~90混合動力汽車1050~60電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為，，，則（）（A）（B）（C）（D）答案：ACD解析：因為我們要比較的是，，的一些大小情況，所以先由所給等式解出p，由題意，，所以，從而，故①，A項，由式①可以看到，越大，則p也越大，由表中數(shù)據(jù)可知燃油汽車的聲壓級大于等于混合動力汽車的聲壓級，所以，故A項正確；B項，由表中數(shù)據(jù)可知，所以①，又，所以，故B項錯誤，C項正確；D項，由表中數(shù)據(jù)可知，所以，而由①可得，所以，故D項正確.（2023·新高考Ⅰ卷·11·★★★）（多選）已知函數(shù)的定義域為R，，則（）（A）（B）（C）是偶函數(shù)（D）為的極小值點答案：ABC解析：A項，給出這類性質(zhì)，讓求一些具體的函數(shù)值，常用賦值法，令可得，所以，故A項正確；B項，令可得，所以，故B項正確；C項，要判斷奇偶性，就看與的關(guān)系，為了產(chǎn)生，可將y取成，令可得①，所以還得算，繼續(xù)賦值，令可得，所以，結(jié)合可得，代入①得，所以是偶函數(shù)，故C項正確；D項，ABC都對，可大膽猜測D項錯誤，正面推理判斷此選項較困難，可嘗試舉個反例，觀察發(fā)現(xiàn)常值函數(shù)滿足所給等式，故可用它來判斷選項，令，經(jīng)檢驗，滿足，顯然此時不是的極小值點，故D項錯誤.（2023·新高考Ⅰ卷·12·★★★★）（多選）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有（）（A）直徑為0.99m的球體（B）所有棱長均為1.4m的正四面體（C）底面直徑為0.01m，高為1.8m的圓柱體（D）底面直徑為1.2m，高為0.01m的圓柱體答案：ABD解析：A項，因為正方體的內(nèi)切球直徑為1m，所以直徑為0.99m的球體可以放入正方體容器，故A項正確；B項，看到正方體和正四面體，要想到由正方體的面對角線可以構(gòu)成正四面體，如圖1，藍色正四面體的棱長為，比1.4大，從而所有棱長均為1.4m的正四面體可以放入正方體容器，故B項正確；C項，注意到圓柱的底面直徑很小，圓柱很細長，不妨將其近似成線段，故先看1.8m的線段能否放入正方體，如圖1，正方體的棱長為1，則正方體表面上任意兩點之間距離的最大值為，所以高為1.8m的圓柱不可能放入該正方體，故C項錯誤；D項，注意到圓柱的高很小，不妨將圓柱近似看成圓，故先分析直徑為1.2m的圓能否放入正方體，為了研究這一問題，我們得先找正方體的盡可能大的截面，正方體有一個非常特殊的截面，我們不妨來看看，如圖2，E，F(xiàn)，G，H，I，J分別為所在棱的中點，則EFGHIJ是邊長為的正六邊形，其內(nèi)切圓如圖3，其中K為HI中點，則內(nèi)切圓半徑，直徑，所以可以想象，底面直徑為1.2m，高為0.01m的圓柱體能放進正方體容器，故D項正確.（2023·新高考Ⅰ卷·13·★★）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選2門或3門課，并且每類選修課至少選1門，則不同的選課方案共有_____種.（用數(shù)字作答）答案：64解析：由于一共可以選2門或3門，所以據(jù)此分類，若選2門，則只能體育類、藝術(shù)類各選1門，有種選法；若選3門，則可以體育1門藝術(shù)2門，或體育2門，藝術(shù)1門，有種選法；由分類加法計數(shù)原理，不同的選課方案共有種.（2023·新高考Ⅰ卷·14·★★★）在正四棱臺中，，，，則該棱臺的體積為_____.答案：7解析：求正四棱臺的體積只差高，由于知道側(cè)棱長，故在包含高和側(cè)棱的截面中來分析，設(shè)正四棱臺的高為h，如圖，作于點E，于點F，則，因為，，所以，，，又，所以，故，正四棱臺的上、下底面積分別為，，所以正四棱臺的體積.（2023·新高考Ⅰ卷·15·★★）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點，則的取值范圍是_____.答案：解析：，所以問題等價于在恰有3個最大值點，函數(shù)的圖象容易畫出，故直接畫圖來看，如圖，要使在上有恰有3個最大值點，應(yīng)有，解得：.（2023·新高考Ⅰ卷·16·★★★）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點A在C上，點B在y軸上，，，則C的離心率為_____.答案：解析：如圖，條件中有，不妨設(shè)一段長度，看能否表示其余線段的長，設(shè)，因為，所以，故，由對稱性，，又，所以，和都有了，用雙曲線的定義可找到m和a的關(guān)系，于是用雙余弦法建立方程求離心率，由圖可知A在雙曲線C的右支上，所以，從而，故，又，所以在中，由余弦定理推論，，在中，，因為，所以，故雙曲線C的離心率.（2023·新高考Ⅰ卷·17·★★★）已知在中，，.（1）求；（2）設(shè)，求AB邊上的高.解：（1）由題意，，所以，（要求的是，故用和將的消元，把變量統(tǒng)一成A）由可得，代入可得，所以，整理得：，代入可得，所以，結(jié)合可得.（2）設(shè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則，如圖，AB邊上的高①，（已知A，C，故可用內(nèi)角和為來求），（再求a，已知條件有C，c，，故用正弦定理求a）由正弦定理，，所以，代入①得，故AB邊上的高為6.（2023·新高考Ⅰ卷·18·★）如圖，在正四棱柱中，，.點，，，分別在棱，，，上，，，.（1）證明：∥；（2）點P在棱上，當(dāng)二面角為時，求.解：（1）（正四棱柱底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面，故天然就有三條兩兩垂直的直線，可建系證明）以C為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，故，由圖可知直線與不重合，所以∥.（2）（點P在棱上運動時，只有z坐標(biāo)會變，故可直接設(shè)其坐標(biāo)，用于計算平面的法向量）設(shè)，則，，，設(shè)平面和平面的法向量分別為，，則，令，則，所以是平面的一個法向量，，令，則，所以是平面的一個法向量，因為二面角為，所以，解得：或1，所以.（2023·新高考Ⅰ卷·19·★★★）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時，.解：（1）由題意，，（，但這個零點只在時有意義，故據(jù)此討論）當(dāng)時，，所以在R上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）可得當(dāng)時，有最小值，（要證，只需證，此不等式中已孤立，故直接移項構(gòu)造函數(shù)分析）令，則，所以，故，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，所以，又因為是的最小值，所以.（2023·新高考Ⅰ卷·20·★★★★）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，且，令，記，分別為數(shù)列，的前n項和.（1）若，，求的通項公式；（2）若為等差數(shù)列，且，求d.解：（1）（所給條件容易用公式翻譯，故直接代公式，建立關(guān)于和d的方程組并求解）因為，所以，整理得：①，又，，代入可得②，將①代入②整理得：，解得：或，又由題意，，所以，結(jié)合①可得，所以.（2）（條件為等差數(shù)列怎樣翻譯？可先由，，為等差數(shù)列建立方程找和d的關(guān)系）由題意，，，，因為為等差數(shù)列，所以，故，（上式要化簡，同乘以3個分母即可）所以，整理得：，所以或，（求d肯定要由來建立方程，故討論上述兩種情況，分別求出和）若，則，，，所以，故即為，解得：或（舍去）；若，則，，，所以，故即為，解得：或1，均不滿足，舍去；綜上所述，d的值為.（2023·新高考Ⅰ卷·21·★★★★）甲乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8，由抽簽確定第一次投籃的人選，第一次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.（1）求第二次投籃的人是乙的概率；（2）求第i次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機變量服從兩點分布，且，，則，記前n次（即從第1次到第n次）投籃中甲投籃的次數(shù)為Y，求.解：（1）（第一次投籃的人可能是甲，也可能是乙，兩種情況下第二次投籃的人是乙的概率都是已知的，故按第一次投籃的人是誰劃分樣本空間，套用全概率公式）記第次投籃的人是甲為事件，第2次投籃的人是乙為事件，由全概率公式，.（2）（要分析第i次投籃的人是甲的概率，先看第次的情況，不外乎是甲或乙投籃，且兩種情況下第i次投籃的人是甲的概率都已知，故根據(jù)第次由誰投籃劃分樣本空間，套用全概率公式來建立遞推公式）當(dāng)時，由全概率公式，，整理得：①，（要由此遞推公式求，可用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)，展開化簡得，與對比可得，所以）由①可得，又，所以，故是等比數(shù)列，首項為，公比為，所以，故，即第i次投籃的人是甲的概率為.（3）（題干給出了一個期望的結(jié)論，我們先把它和本題的背景對應(yīng)起來.所給結(jié)論涉及兩點分布，那本題背景下有沒有兩點分布呢？有的，在第i次的投籃中，若設(shè)甲投籃的次數(shù)為，則的取值為1（表示第i次投籃的是甲）或0（表示第i次投籃的是乙），所以就服從兩點分布，且前n次投籃的總次數(shù)即為，故直接套用所給的期望公式就能求得答案）設(shè)第i次投籃中，甲投籃的次數(shù)為，則，且，所以，由所給結(jié)論，.（2023·新高考Ⅰ卷·22·★★★★）在直角坐標(biāo)系xOy中，點P到x軸的距離等于點P到點的距離，記動點P的軌跡為W.（1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三個頂點在W上，證明：矩形ABCD的周長大于.解：（1）設(shè),則，兩邊同平方化簡得，故.（2）方法一：設(shè)矩形的三個頂點在上,且，易知矩形四條邊所在直線的斜率均存在，且不為0，則,令，同理令，且，則，設(shè)矩形周長為,由對稱性不妨設(shè)，，則.，易知則令令，解得，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，當(dāng)，，此時單調(diào)遞增，則，故,即.當(dāng)時,,且，即時等號成立，矛盾，故,得證.方法二：不妨設(shè)在上，且，依題意可設(shè)，易知直線，的斜率