第2課（A基礎(chǔ)）等比數(shù)列（解析版）-【名校沖刺】2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步精講教案（數(shù)列篇）（滬教版2020選擇性必修第一冊）

第2課：等比數(shù)列教學(xué)目標(biāo)1、理解等比數(shù)列的概念；2、理解公比的概念并會(huì)求公比，掌握等比中項(xiàng)的概念并會(huì)求等比中項(xiàng)；3、掌握等比數(shù)列通項(xiàng)公式及其求法，并會(huì)判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列；4、熟練掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式以及相關(guān)運(yùn)用；5、會(huì)求無窮等比數(shù)列前n項(xiàng)和的極限；6、等比數(shù)列綜合運(yùn)用.重點(diǎn)1、理解等比數(shù)列的概念；2、理解公比的概念并會(huì)求公比，掌握等比中項(xiàng)的概念并會(huì)求等比中項(xiàng)；3、掌握等比數(shù)列通項(xiàng)公式及其求法，并會(huì)判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列；4、熟練掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式以及相關(guān)運(yùn)用；5、會(huì)求無窮等比數(shù)列前n項(xiàng)和的極限；6、等比數(shù)列綜合運(yùn)用.難點(diǎn)等比數(shù)列綜合運(yùn)用.（一）等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式知識(shí)梳理1、等比數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù)，這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，而這個(gè)表示每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的比的常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示.數(shù)學(xué)語言：或.注：公比時(shí)，數(shù)列是常數(shù)列.2、等比中項(xiàng)根據(jù)等比數(shù)列的定義，有,從而，即或（同號(hào)），在這兩種情形下，成等比數(shù)列，此時(shí)叫做與的等比中項(xiàng)?！咀⑨尅俊咀⑨尅竣偃绻齻€(gè)數(shù)成等比數(shù)列，那么等比中項(xiàng)的平方必等于其前后兩項(xiàng)的積；②同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)，且它們的等比中項(xiàng)有兩個(gè)；③是與的等比中項(xiàng)，，成等比數(shù)列.3、通項(xiàng)公式，，為正整數(shù)4、等比數(shù)列的判定方法（1）定義法：（為正整數(shù)，是常數(shù)）或是等比數(shù)列。（2）中項(xiàng)法：(為正整數(shù))且是等比數(shù)列。（3）通項(xiàng)公式法：是等比數(shù)列。例題精講【例1】有下列4個(gè)說法：①等比數(shù)列的某一項(xiàng)可以為0；②等比數(shù)列的公比取值范圍是；③若，則，，成等比數(shù)列；④若一個(gè)常數(shù)列是等比數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列的公比是1．其中正確說法的個(gè)數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．3【難度】★★【答案】【解析】解：等比數(shù)列的每一項(xiàng)不能為0，故①錯(cuò)誤；等比數(shù)列的公比，故②錯(cuò)誤；若，取，滿足條件，則，，不成等比數(shù)列，故③錯(cuò)誤；④若一個(gè)常數(shù)列是等比數(shù)列，則，故這個(gè)數(shù)列的公比是1，④正確；故選：．【例2】如果，，，，成等比數(shù)列，那么A．， B．， C．， D．，【難度】★★★【答案】【解析】解：，，，，成等比數(shù)列，設(shè)公比為，則，．，，故選：．【例3】在等比數(shù)列中．（1）已知，，求；（2）在等比數(shù)列中，，，則____________．（3），，則____________．（4）等比數(shù)列中，，，則公比____________．（5）設(shè)是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，，則的通項(xiàng)公式為____________．【難度】★★★【答案】見解析【解析】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為．，，，，即，，化為：，解得，．，，，，或8．（2）由，，可得：，，解得，．則．故答案為：128．（3），，，，．，則．故答案為：．（4）等比數(shù)列中，，，則公比．故答案為：2．（5）是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，，則，即，解得，（舍去），，故答案為：，．【例4】若干個(gè)能唯一確定一個(gè)數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”．設(shè)是公比為的無窮等比數(shù)列，下列的四組量中，一定能成為該數(shù)列“基本量”的是第____________組．（寫出所有符合要求的組號(hào)）①與；②與；③與；④與．（其中為大于1的整數(shù)，為的前項(xiàng)和．【難度】★★★【答案】①④【解析】解：（1）由和，可知和．由可得公比，故能確定數(shù)列是該數(shù)列的“基本量”，故①對(duì)；（2）由與，設(shè)其公比為，首項(xiàng)為，可得，，，，；滿足條件的可能不存在，也可能不止一個(gè)，因而不能確定數(shù)列，故不一定是數(shù)列的基本量，②不對(duì)；（3）由與，可得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，可能有兩個(gè)值，故不一定能確定數(shù)列，所以也不一定是數(shù)列的一個(gè)基本量．（4）由與由，故數(shù)列能夠確定，是數(shù)列的一個(gè)基本量；故答案為：①④．【例5】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，判斷它是否為等比數(shù)列．（1）；（2）；（3）；（4）．【難度】★★【答案】見解析【解析】解：（1），故是以3為公比的等比數(shù)列；（2），故是以8為公比的等比數(shù)列；（3）故是以為公比的等比數(shù)列；（4）該數(shù)列不是等比數(shù)列．【例6】已知數(shù)列、都是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，判斷下列數(shù)列是等比數(shù)列是____________．①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩．【難度】★★★【答案】①②③⑦⑧⑩【解析】解：設(shè)數(shù)列、的公比分別為，，則①當(dāng)時(shí)，為常數(shù)，故數(shù)列為等比數(shù)列；②當(dāng)時(shí)，為常數(shù)，故為等比數(shù)列；③當(dāng)時(shí)，為常數(shù)，故數(shù)列為等比數(shù)列；④若，則不是等比數(shù)列，若，則是等比數(shù)列；⑤當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是等比數(shù)列；⑥若，滿足數(shù)列是等比數(shù)列，但．則數(shù)列不一定是等比數(shù)列；⑦是公比為的等比數(shù)列，⑧是公比的等比數(shù)列；⑨不是等比數(shù)列；⑩是公比為的等比數(shù)列，故答案為：①②③⑦⑧⑩鞏固訓(xùn)練 1、如果數(shù)列是等比數(shù)列，且，，則數(shù)列是（）A．等比數(shù)列 B．等差數(shù)列C．不是等差也不是等比數(shù)列 D．不能確定是等差或等比數(shù)列【難度】★★【答案】【解析】設(shè)，則，則，則數(shù)列是等差數(shù)列，公差為故答案選2、等比數(shù)列中，，，，則（）A．3 B．4 C．5 D．6【難度】★★【答案】【解析】等比數(shù)列中，，，，∴，∴，n?1=3，n=4；.故選：.3、若等比數(shù)列滿足，則其公比為（）A． B． C． D．【難度】★★【答案】【解析】解：設(shè)等比數(shù)列公比為，又等比數(shù)列滿足，.故選：.4、已知等比數(shù)列中，，，則該數(shù)列的通項(xiàng)____________．【難度】★★【答案】，【解析】解：由題得，，∴，.5、在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則的值為（）A．6 B．5 C．-6 D．-5【難度】★★★【答案】【解析】各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，

.故答案選：、已知中，三內(nèi)角依次成等差數(shù)列，三邊依次成等比數(shù)列，則是（）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形【難度】★★★【答案】【解析】中，三內(nèi)角依次成等差數(shù)列，則，因?yàn)?，則，三邊依次成等比數(shù)列，則，由余弦定理可得，代入可得化簡可得，即，而，由等邊三角形判定定理可知為等邊三角形，故選：.7、若是等比數(shù)列，下列結(jié)論中不正確的是A．一定是等比數(shù)列 B．一定是等比數(shù)列 C．一定是等比數(shù)列 D．一定是等比數(shù)列【難度】★★★【答案】【解析】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則為常數(shù)，所以一定是等比數(shù)列，正確．為常數(shù)，所以一定為等比數(shù)列；正確．當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)是每一項(xiàng)均為0的等比數(shù)列；錯(cuò)誤．為常數(shù)，所以一定為等比數(shù)列，正確．故選：．（二）等比數(shù)列前n項(xiàng)和知識(shí)梳理1、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式前項(xiàng)和公式：或。注：若，則前項(xiàng)和可假設(shè)為：2、無窮等比數(shù)列的前項(xiàng)和的極限以為首項(xiàng)的無窮等比數(shù)列，當(dāng)公比時(shí)，有例題精講【例7】（1）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，其前項(xiàng)和為，則____________．【難度】★★【答案】93．【解析】解：設(shè)等正項(xiàng)比數(shù)列的公比為，由，得，又，則，解得或（舍去），所以．故答案為：93．（2）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則____________．【難度】★★【答案】．【解析】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，解得或（舍去），則，所以．故答案為：．（3）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則____________．【難度】★★【答案】120．【解析】解：等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，成等比數(shù)列，，即，解得，，即，解得．故答案為：120．（4）是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則____________．【難度】★★★【答案】．【解析】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)可得，即，解得或0（舍去）．故答案為：．【例8】（1）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，公比為，其前項(xiàng)和記為，則____________．【難度】★★【答案】3．【解析】解：等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，公比為，其前項(xiàng)和記為，則．故答案為：3．（2）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且存在，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．【難度】★★★【答案】，．【解析】解：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且存在，可得，，解得，，故答案為：，．（3）循環(huán)小數(shù)化為最簡分?jǐn)?shù)，則____________.【難度】★★★【答案】51712【解析】循環(huán)小數(shù)化為最簡分?jǐn)?shù)，∴，設(shè)，則，解得，∴，，∴.故答案為：51712.（4）如圖，已知正的邊長是1，面積是，取各邊的中點(diǎn)、、，的面積為，再取各邊的中點(diǎn)、、的面積為，以此類推…，求所有三角形的面積和.【難度】★★★★【答案】【解析】解：由圖可知，記三角形的面積為，由題意有，，即是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，又因?yàn)?，由無窮等比數(shù)列所有項(xiàng)的和的公式有所有三角形的面積和為，故所有三角形的面積和為.鞏固訓(xùn)練 1、無窮等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則其所有項(xiàng)的和為__________．【難度】★★【答案】2【解析】由，得，，，.故答案為：.2、在無窮等比數(shù)列中，若，則的取值范圍是________.【難度】★★★【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則其前項(xiàng)和為：，若時(shí)，，若時(shí)，，因此且，，即，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因此，的取值范圍是.故答案為：3、將無限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，則所得最簡分?jǐn)?shù)為____________.【難度】★★★【答案】【解析】設(shè)，則，由可知，解得.故答案為：.4、如圖，由編號(hào)，，…，，…（且）的圓柱自下而上組成．其中每一個(gè)圓柱的高與其底面圓的直徑相等，且對(duì)于任意兩個(gè)相鄰圓柱，上面圓柱的高是下面圓柱的高的一半．若編號(hào)1的圓柱的高為，則所有圓柱的體積的和為_______________（結(jié)果保留）．【難度】★★★★【答案】【解析】由于圓柱都是等邊圓柱,體積比等于相似比的立方,編號(hào)的體積是:

由編號(hào)，，…，，…（且的圓柱自下而上組成,體積是一個(gè)等比數(shù)列,公比為；由無窮遞縮等比數(shù)列求和公式可得，所有圓柱的體積的和為.故答案為.（三）等比數(shù)列綜合知識(shí)梳理1、等比數(shù)列的性質(zhì):（1）若是等比數(shù)列，且，則，特別地，當(dāng)時(shí)，.（2）數(shù)列為等比數(shù)列，則數(shù)列（為非零常數(shù)）為等比數(shù)列.（3）數(shù)列為等比數(shù)列，每隔（正整數(shù)）項(xiàng)取出一項(xiàng)仍為等比數(shù)列.（4）如果是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列.（5）若為等比數(shù)列，則數(shù)列成等比數(shù)列.（6）當(dāng)時(shí)，，則為遞增數(shù)列，，則為遞減數(shù)列.當(dāng)時(shí)，，則為遞減數(shù)列，，則為遞增數(shù)列.當(dāng)時(shí)，則為常數(shù)列；當(dāng)時(shí)，該數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列.在等比數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為時(shí)，若是公比為的等比數(shù)列，則2、等差與等比的互變關(guān)系：（1）成等差數(shù)列成等比數(shù)列；（2）成等差數(shù)列成等差數(shù)列；（3）成等比數(shù)列（）成等差數(shù)列；（4）成等比數(shù)列成等比數(shù)列；例題精講【例9】“”是“，，，成等比數(shù)列”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【難度】★★★【答案】【解析】解：根據(jù)題意，若“”，不一定有“，，，成等比數(shù)列”，如時(shí)，反之，若“，，，成等比數(shù)列”，必有“”，則“”是“，，，成等比數(shù)列”的必要不充分條件，故選：．【例10】已知等比數(shù)列的公比，其前項(xiàng)的和為，則與的大小關(guān)系是A． B． C． D．【難度】★★★【答案】【解析】解：故選：．【例11】設(shè)無窮等比數(shù)列，則“”是“為遞減數(shù)列”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【難度】★★★【答案】【解析】解：因?yàn)闊o窮等比數(shù)列，，所以公比滿足，所以有，即為遞減數(shù)列；而無窮等比數(shù)列如果是遞減數(shù)列，它的第一項(xiàng)和第二項(xiàng)可以為負(fù)，如，所有不一定可以得到，所以“”是“為遞減數(shù)列”的充分而不必要條件，故選：．【例12】已知數(shù)列，均為正項(xiàng)等比數(shù)列，，分別為數(shù)列，的前項(xiàng)積，且，則的值為____________．【難度】★★★【答案】【解析】解：數(shù)列，均為正項(xiàng)等比數(shù)列，它們的公比分別為、，，分別為數(shù)列，的前項(xiàng)積，，，，解得，；由，，解得，；，則，故答案為：【例13】已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，，若存在兩項(xiàng)，使得，則的最小值為A． B． C． D．【難度】★★★【答案】【解析】解：，，，，，，正項(xiàng)等比數(shù)列，，，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故選：．【例14】已知等差數(shù)列，其前項(xiàng)的和為，則下列結(jié)論不正確的是A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列 C．若，，則 D．若，，則【難度】★★★【答案】【解析】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，對(duì)于，則，則，故數(shù)列為等差數(shù)列，故正確；對(duì)于，則數(shù)列為等比數(shù)列，故正確；對(duì)于，，，則，，則，故正確；對(duì)于，，，解得，，，故不正確；故選：．【15】設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列．已知，，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【難度】★★★【答案】（1），；（2）．【解析】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由，得，即，解得，，又，，則；（2）由（1）得，，則，可得，兩式作差可得：，因此，．鞏固訓(xùn)練 1、數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，則有（）A． B．C． D．與大小不確定【難度】★★★【答案】【解析】因?yàn)閿?shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，所以，即.2、在正項(xiàng)等比數(shù)列中，和為方程的兩根，則()A．16 B．32 C．64 D．256【難度】★★★【答案】【解析】因?yàn)閍1和a19為方程x2﹣10x+16＝0的兩根，所以a1?a19＝a102＝16，又此等比數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，解得：a10＝4，則a8?a10?a12＝（a8?a12）?a10＝a103＝43＝64．故選項(xiàng)為：.3、已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，其中，，，下列敘述正確的是（）A．若是等差數(shù)列，則一定有 B．若是等比數(shù)列，則一定有C．若不是等差數(shù)列，則一定有 D．若不是等比數(shù)列，則一定有【難度】★★★【答案】【解析】A：當(dāng)時(shí)，，顯然符合是等差數(shù)列，但是此時(shí)不成立，故本說法不正確；B：當(dāng)時(shí)，，顯然符合是等比數(shù)列，但是此時(shí)不成立，故本說法不正確；C：當(dāng)時(shí)，因此有常數(shù)，因此是等差數(shù)列，因此當(dāng)不是等差數(shù)列時(shí)，一定有，故本說法正確；D：當(dāng)時(shí)，若時(shí)，顯然數(shù)列是等比數(shù)列，故本說法不正確.故答案選4、已知數(shù)列的前項(xiàng)的乘積為，若，則當(dāng)最大時(shí)，正整數(shù)___________．【難度】★★★【答案】3【解析】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，所以當(dāng)n=3時(shí)取得最大5、已知數(shù)列，，且對(duì)于任意的都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【難度】★★★★【答案】【解析】，則：6、已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【難度】★★★【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，有，解得，，所以；（2）由（1）知，有，從而.實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練一．填空題（共6小題）1、已知等比數(shù)列的公比且則________.【難度】★★【答案】【解析】解：等比數(shù)列的公比，.故答案為:2、在等比數(shù)列的值為____________.【難度】★★【答案】【解析】解：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到a3a5a7a9a11＝a75＝243；∴a7＝3，而根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到，∴＝a7＝3.3、已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則__________.【難度】★★【答案】9【解析】解：由可得：，即，因?yàn)?，所以，所以是首?xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，所以.故答案為：94、在遞增等比數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，若，，則_________.【難度】★★【答案】【解析】是等比數(shù)列，所以有，，因?yàn)槭沁f增等比數(shù)列，解得，，所以，得或（舍），，所以．5、若首項(xiàng)為1、公比為的無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和為，表示該數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值為_____________．【難度】★★★【答案】．【解析】解：首項(xiàng)為1、公比為的無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和為，表示該數(shù)列的前項(xiàng)和，，，所以．故答案為：．6、設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則使，成立的的最大值為____________．【難度】★★★【答案】3【解析】解：，當(dāng)時(shí)，，即，故；當(dāng)時(shí)，兩式相減得.故數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，可得，，當(dāng)時(shí)，，即也符合，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，故；由，可得，整理可得：，即可得，故的最大值為：.二．選擇題（共4小題） 7、等比數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，且，等于（）A． B． C． D．【難度】★★【答案】【解析】解：由題,因?yàn)?即,所以,故選：．8、若是一個(gè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則等于（）A． B． C． D．【難度】★★【答案】【解析】由題意可知，、、成等比數(shù)列，即、、成等比數(shù)列，所以，，解得，故選D.9、關(guān)于數(shù)列,給出下列命題：①數(shù)列滿足,則數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列；②“,的等比中項(xiàng)為”是“”的充分不必要條件：③數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,則其前項(xiàng)和；④等比數(shù)列的前項(xiàng)