平面向量中“三點(diǎn)共線定理”妙用

PAGEPAGE1平面向量中“三點(diǎn)共線定理”妙用對平面內(nèi)任意的兩個(gè)向量的充要條件是：存在唯一的實(shí)數(shù)，使由該定理可以得到平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理：三點(diǎn)共線定理：在平面中A、B、P三點(diǎn)共線的充要條件是：對于該平面內(nèi)任意一點(diǎn)的O，存在唯一的一對實(shí)數(shù)x,y使得：且。特別地有：當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB之外時(shí)，筆者在經(jīng)過多年高三復(fù)習(xí)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用平面向量中三點(diǎn)共線定理與它的兩個(gè)推廣形式解決高考題，模擬題往往會使會問題的解決過程變得十分簡單！本文將通過研究一些高考真題、模擬題和變式題去探究平面向量中三點(diǎn)共線定理與它的兩個(gè)推廣形式的妙用,供同行交流。例1（06年江西高考題理科第7題）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若，且A、B、C三點(diǎn)共線，（設(shè)直線不過點(diǎn)O），則S200=（）A．100 B．101 C．200 D．201解：由平面三點(diǎn)共線的向量式定理可知：a1+a200=1,∴,故選A。點(diǎn)評：本題把平面三點(diǎn)共線問題與等差數(shù)列求和問題巧妙地結(jié)合在一起，是一道經(jīng)典的高考題。例2已知是的邊上的任一點(diǎn)，且滿足，則的最小值是解：點(diǎn)P落在的邊BC上B，P,C三點(diǎn)共線由基本不等式可知：，取等號時(shí)，符合所以的最小值為9點(diǎn)評：本題把平面三點(diǎn)共線問題與二元函數(shù)求最值、基本不等式巧妙地結(jié)合在一起，較綜合考查了學(xué)生基本功.圖2例3（湖北省2011屆高三八校第一次聯(lián)考理科）如圖2，在△ABC中，，點(diǎn)P是BC上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值為（）圖2A．B.C.D.解：三點(diǎn)共線，又，故選C例4（07年江西高考題理科）如圖3，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若＝m，＝n，則m＋n的值為．圖3解：因?yàn)镺是BC的中點(diǎn)，故連接AO，如圖4，由向量加法的平行四邊形法則可知：圖3，圖4又三點(diǎn)共線，圖4由平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理可得：例5（廣東省2010屆高三六校第三次聯(lián)）如圖5所示：點(diǎn)是△的重心，、分別是邊、上的動點(diǎn)，且、、三點(diǎn)共線．設(shè)，，證明：是定值；利用平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理構(gòu)造方程組求解，避免了用的向量的加法和平面向理基本定理解答本題的運(yùn)算復(fù)雜，達(dá)到了簡化解題過程的效果。圖7例6的變式一：如圖7所示，在三角形ABC中,AM﹕AB=1﹕3,AN﹕AC=1﹕4,BN與CM相交于點(diǎn)P，且，，試用、表示圖7解：三點(diǎn)共線，由平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理可得：存在唯一的一對實(shí)數(shù)x,y使得,AN﹕AC=1﹕4,……①又三點(diǎn)共線，由平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理可得：存在唯一的一對實(shí)數(shù),使得∵AM﹕AB=1﹕3∴，，……………②由①②兩式可得：圖8例6的變式二：如圖8所示：直線l過ABCD的兩條對角線AC與BD的交點(diǎn)O，與AD邊交于點(diǎn)N,與AB的延長線交于點(diǎn)M。又知＝m，＝n，則m＋n=圖8解：因?yàn)辄c(diǎn)O兩條對角線AC與BD的交點(diǎn)，所以點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)＝m，＝n又三點(diǎn)共線，由平面內(nèi)三點(diǎn)共線的向量式定理可得：定理的推廣：推廣1：如圖9所示：已知平面內(nèi)一條直線AB,兩個(gè)不同的點(diǎn)O與P.圖9圖9使得：且。推廣2：如圖10所示：已知平面內(nèi)一條直線AB,兩個(gè)不同的點(diǎn)O與P.圖10點(diǎn)O,P位于直線AB同側(cè)的充要條件是：存在唯一的一對實(shí)數(shù)x,y使得：且。圖10例7已知點(diǎn)P為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且(),若點(diǎn)P落在的內(nèi)部，如圖11,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）B.C.D.圖11解：點(diǎn)P落在的內(nèi)部A,P兩點(diǎn)在直線BC的同一側(cè)，圖11由推論2知：，所以選DABOM圖12例8（06年湖南高考題文科）如圖12：OM∥AB，點(diǎn)P由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）.且，則實(shí)數(shù)對（xABOM圖12A．B.C.D.解：由題目的條件知：點(diǎn)O與點(diǎn)P在直線AB的同側(cè)，所以，所以A,D兩選項(xiàng)不符合。對于選項(xiàng)B、C,都有,但當(dāng)時(shí)，①如果點(diǎn)P在直線AB上，則由平面內(nèi)三點(diǎn)共線的向量式定理可知：②如果點(diǎn)P在直線OM上，OM∥AB可知：，由平面向理共線定理可知：存在唯一的實(shí)數(shù)t,使得，又因?yàn)辄c(diǎn)P在兩平行直線AB、OM之間，所以，故B選不符合。對選項(xiàng)C同理可知：當(dāng)時(shí)，，故符合，所以選C例9（06年湖南高考題理科）如圖13,OM∥AB,點(diǎn)P在由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運(yùn)動,且,當(dāng)時(shí),的取值范圍是.圖13解：當(dāng)時(shí)，圖13①如果點(diǎn)P在直線AB上，則由平面內(nèi)三點(diǎn)共線的向量式定理可知：②如果點(diǎn)P在直線OM上，OM∥AB可知：，由平面向理共線定理可知：存在唯一的實(shí)數(shù)t,使得，，又因?yàn)辄c(diǎn)P在兩平行直線AB、OM之間，所以，所以實(shí)數(shù)y的取值范圍是：練習(xí)：3.，點(diǎn)在邊上，，設(shè)，則（）1、平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3,1),B(-1,3),若點(diǎn)C(x,y)滿足=α+β，其中α,β∈R且α+β=1，則x,y所滿足的關(guān)系式為（）A．3x+2y-11=0B．(x-1)2+(y-2)2=5C．2x-y=0D．x+2y-5=0已知是的邊上的任一點(diǎn)，且滿足，則的最小值是3、在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC與BD的交點(diǎn)，E是BC邊的中點(diǎn)，連接DE交AC于點(diǎn)F。已知,則（）A．B．C．D．4、(2014屆東江中學(xué)高三年級理科第三次段考）在平行四邊形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，DE交AF于H，記eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))分別為a、b，則eq\o(AH,\s\up6(→))＝()A．eq\f(2,5)a－eq\f(4,5)bB．eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)bC．－eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)b D．－eq\f(2,5)a－eq\f(4,5)b5、（2008年廣東卷）在平行四邊形中，與交于點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，的延長線與交于點(diǎn)．若，，則（）A．B．C． D．6、在平行四邊形ABCD中，,CE與BF相交于點(diǎn)G,記，，則＝()A．B．