（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 加練半小時 專題4 三角函數(shù)、觖三角形 第32練 解三角形的實際應(yīng)用 理（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

第32練解三角形的實際應(yīng)用[基礎(chǔ)保分練]1．在△ABC中，三個角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若角A，B，C成等差數(shù)列，且邊a，b，c成等比數(shù)列，則△ABC的形狀為________．2．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，則A的取值范圍是________．3．(2018·揚州模擬)線段AB外有一點C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽車以80km/h的速度由A向B行駛，同時摩托車以50km/h的速度由B向C行駛，則運動開始________h后，兩車的距離最小．4．(2018·蘇州模擬)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知c＝2，若sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，則a＋b的取值范圍是________．5．在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若(b＋2sinC)cosA＝－2sinAcosC，且a＝2eq\r(3)，則△ABC面積的最大值是________．6.如圖，為了測量兩山頂D，C間的距離，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量，在A位置時，觀察D點的俯角為75°，觀察C點的俯角為30°；在B位置時，觀察D點的俯角為45°，觀察C點的俯角為60°，且AB＝eq\r(3)km，則C，D之間的距離為______km.7.如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D.現(xiàn)測得∠BCD＝eq\f(π,3)，∠BDC＝eq\f(π,4)，CD＝6，并在點C測得塔頂A的仰角為eq\f(π,4)，則塔高AB為________．8．(2018·如東調(diào)研)已知△ABC中，AB＝AC，點D是AC邊的中點，線段BD＝x，△ABC的面積S＝2，則x的取值范圍是________．9．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B＝eq\f(π,3)，b＝2eq\r(3)，則△ABC周長的取值范圍是________．10．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若acosA＝bsinA，且B>eq\f(π,2)，則sinA＋sinC的最大值是________．[能力提升練]1.如圖，為了測量A，C兩點間的距離，選取同一平面上的B，D兩點，測出四邊形ABCD各邊的長度：AB＝5km，BC＝8km，CD＝3km，DA＝5km，且∠B與∠D互補，則AC的長為________km.2．我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》卷五“田域類”里有一個題目：“問有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知為田幾何．”這道題講的是有一個三角形沙田，三邊分別為13里，14里，15里，假設(shè)1里按500米計算，則該沙田的面積為________平方千米．3.如圖，在△ABC中，AB＝eq\r(2)，點D在邊BC上，BD＝2DC，cos∠DAC＝eq\f(3\r(10),10)，cosC＝eq\f(2\r(5),5)，則AC＝___________.4設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2－b2＝(acosB＋bcosA)2，且△ABC的面積為25，則△ABC周長的最小值為________．5．費馬點是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點．當三角形三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等均為120°.根據(jù)以上性質(zhì)，函數(shù)f(x)＝eq\r(x－12＋y2)＋eq\r(x＋12＋y2)＋eq\r(x2＋y－22)的最小值為________．6．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知sinA∶sinB∶sinC＝ln2∶ln4∶lnt，且eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝mc2，有下列結(jié)論：①2<t<8；②－eq\f(2,9)<m<2；③當t＝4，a＝ln2時，△ABC的面積為eq\f(\r(15)ln22,8)；④當2eq\r(5)<t<8時，△ABC為鈍角三角形．其中正確的是________．(填寫所有正確結(jié)論的序號)

答案精析基礎(chǔ)保分練1．等邊三角形2.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))3.eq\f(70,43)4．(2,4]5.eq\r(3)6.eq\r(5)7.6(eq\r(3)－1)8．[eq\r(3)，＋∞)解析根據(jù)題意，設(shè)BC＝a，因為△ABC為等腰三角形，又因為D是AC的中點，作DF垂直于BC于點F，作AE垂直于BC于點E，則DF等于AE的一半，F(xiàn)點是靠近C點的四等分點，根據(jù)△ABC的面積S＝2，得到a×AE＝4?AE＝eq\f(4,a)，DF＝eq\f(2,a)，在△DBF中，BD＝eq\r(BF2＋DF2)＝eq\r(\f(9,16)a2＋\f(4,a2))≥eq\r(2×\f(3,4)a×\f(2,a))＝eq\r(3)，當且僅當eq\f(3,4)a＝eq\f(2,a)，即a＝eq\f(2\r(6),3)時等號成立．9．(4eq\r(3)，6eq\r(3)]10.eq\f(9,8)解析∵acosA＝bsinA，∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,cosA)，又由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴sinB＝cosA＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))，∵B>eq\f(π,2)，∴π－B＝eq\f(π,2)－A，∴B＝A＋eq\f(π,2)，∴C＝π－A－B＝eq\f(π,2)－2A，∴sinA＋sinC＝sinA＋cos2A＝－2sin2A＋sinA＋1＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinA－\f(1,4)))2＋eq\f(9,8).∵0<A<eq\f(π,2)，0<eq\f(π,2)－2A<eq\f(π,2)，∴0<A<eq\f(π,4)，∴0<sinA<eq\f(\r(2),2).∴當sinA＝eq\f(1,4)時，sinA＋sinC取得最大值eq\f(9,8).能力提升練1．72.213.eq\r(5)410＋10eq\r(2)5．2＋eq\r(3)解析根據(jù)題意畫出圖象，函數(shù)f(x)＝eq\r(x－12＋y2)＋eq\r(x＋12＋y2)＋eq\r(x2＋y－22)表示的是點(x，y)到點C(1,0)的距離與到點B(－1,0)，到A(0,2)的距離之和，設(shè)這個等腰三角形的費馬點在高線AD上，設(shè)O點即為費馬點，連結(jié)OB，OC，則∠DOB＝60°，∠DOC＝60°，B(－1,0)C(1,0)，A(0,2)，OD＝eq\f(\r(3),3)，OC＝eq\f(2,\r(3))，OA＝2－eq\f(1,\r(3))，距離之和為2OC＋OA＝2－eq\f(1,\r(3))＋eq\f(4,\r(3))＝2＋eq\r(3).6．①②④解析∵sinA∶sinB∶sinC＝ln2∶ln4∶lnt，∴a∶b∶c＝ln2∶ln4∶lnt，故可設(shè)a＝kln2，b＝kln4＝2kln2，c＝klnt，k>0.∵b－a<c<b＋a，∴kln2<c<3kln2，則2<t<8，當2eq\r(5)<t<8時，a2＋b2－c2<0，故△ABC為鈍角三角形．eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝abcosC＝ab·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－c2,2)＝eq\f(5k2ln22－c2,2)，又eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝mc2，∴m＝eq\f(\o(CA,\s\up6(→))·\o(CB,\s\up6(→)),c2)＝eq\f(\f(5k2ln22－c2,2),c2)＝eq\f(5k2ln22,2c2)－eq\f(1,2).∵kln2