《平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示》教案、導(dǎo)學(xué)案、課后作業(yè)

《6.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示》教案【教材分析】本節(jié)內(nèi)容是平面向量一種新的表示方：向量的坐標(biāo)表示，是本章的重點內(nèi)容之一，也是培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的良好題材.引入向量的坐標(biāo)表示可使向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，這就可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的數(shù)量運算.【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)1、掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；2．通過學(xué)習(xí)平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示，使學(xué)生認(rèn)識事物之間的相互聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生辨證思維能力.數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：平面向量的坐標(biāo)表示；2.邏輯推理：根據(jù)正交分解和平面向量共線定理推導(dǎo)出平面向量的坐標(biāo)表示；3.數(shù)學(xué)建模：數(shù)形結(jié)合，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決.【教學(xué)重點和難點】重點：向量的坐標(biāo)表示；難點：向量的坐標(biāo)表示的理解.【教學(xué)過程】一、情景導(dǎo)入問題：由平面向量基本定理，我們知道，在平面直角坐標(biāo)系，每一個點都可用一對有序?qū)崝?shù)（即它的坐標(biāo)）表示，對直角坐標(biāo)平面內(nèi)的每一個向量，如何表示？要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進一步觀察，研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本27-29頁，思考并完成以下問題1、怎樣分解一個向量才為正交分解？2、平面向量怎樣用坐標(biāo)表示？要求：學(xué)生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1．平面向量的坐標(biāo)表示如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得…………○1eq\o\ac(○,1)我們把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作…………○2eq\o\ac(○,2)其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)，○2eq\o\ac(○,2)式叫做向量的坐標(biāo)表示.與相等的向量的坐標(biāo)也為.特別地，，，.如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點O為起點作，則點的位置由唯一確定.設(shè)，則向量的坐標(biāo)就是點的坐標(biāo)；反過來，點的坐標(biāo)也就是向量的坐標(biāo).因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都是可以用一對實數(shù)唯一表示.四、典例分析、舉一反三題型一向量的減法運算例1如圖，向量a，b，c的坐標(biāo)分別是________，________，__________.【答案】a＝(－4,0)；b＝(0,6)；c＝(－2，－5)．【解析】將各向量分別向基底i，j所在直線分解，則a＝－4i＋0·j，∴a＝(－4,0)；b＝0·i＋6j，∴b＝(0,6)；c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．例2如圖所示，在邊長為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30°角．求點B和點D的坐標(biāo)和eq\o(AB,\s\up16(→))與eq\o(AD,\s\up16(→))的坐標(biāo)．【答案】Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))).Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).【解析】由題知B，D分別是30°，120°角的終邊與單位圓的交點．設(shè)B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函數(shù)的定義，得x1＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，y1＝sin30°＝eq\f(1,2)，∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))).x2＝cos120°＝－eq\f(1,2)，y2＝sin120°＝eq\f(\r(3),2)，∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).∴eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).解題技巧（求點和向量坐標(biāo)的方法）(1)求一個點的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點相對于坐標(biāo)原點的位置向量的坐標(biāo)．(2)在求一個向量時，可以首先求出這個向量的起點坐標(biāo)和終點坐標(biāo)，再運用終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo)．跟蹤訓(xùn)練一1．已知e1＝(1,2)，e2＝(－2,3)，a＝(－1,2)，試以e1，e2為基底，將a分解成λ1e1＋λ2e2的形式為____________．【答案】a＝eq\f(1,7)e1＋eq\f(4,7)e2.【解析】設(shè)a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)，則(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2,2λ1＋3λ2)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＝λ1－2λ2，,2＝2λ1＋3λ2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝\f(1,7)，,λ2＝\f(4,7).))∴a＝eq\f(1,7)e1＋eq\f(4,7)e2.2.已知O是坐標(biāo)原點，點A在第一象限，|eq\o(OA,\s\up16(→))|＝4eq\r(3)，∠xOA＝60°，(1)求向量eq\o(OA,\s\up16(→))的坐標(biāo)；(2)若B(eq\r(3)，－1)，求eq\o(BA,\s\up16(→))的坐標(biāo)．【答案】（1）eq\o(OA,\s\up16(→))＝(2eq\r(3)，6)．(2)eq\o(BA,\s\up16(→))＝(eq\r(3)，7)．【解析】(1)設(shè)點A(x，y)，則x＝4eq\r(3)cos60°＝2eq\r(3)，y＝4eq\r(3)sin60°＝6，即A(2eq\r(3)，6)，eq\o(OA,\s\up16(→))＝(2eq\r(3)，6)．(2)eq\o(BA,\s\up16(→))＝(2eq\r(3)，6)－(eq\r(3)，－1)＝(eq\r(3)，7)．五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識及解題技巧六、板書設(shè)計6.3.26.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示1.正交分解例1例22.坐標(biāo)表示七、作業(yè)課本37頁習(xí)題6.3的15題.【教學(xué)反思】本節(jié)內(nèi)容是平面向量定理的一種延伸，比較簡單，學(xué)生掌握起來較容易.引入向量的坐標(biāo)表示可使向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，這就可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的數(shù)量運算.《6.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】知識目標(biāo)1.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；2．通過學(xué)習(xí)平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示，使學(xué)生認(rèn)識事物之間的相互聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生辨證思維能力.核心素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：平面向量的坐標(biāo)表示；2.邏輯推理：根據(jù)正交分解和平面向量共線定理推導(dǎo)出平面向量的坐標(biāo)表示；3.數(shù)學(xué)建模：數(shù)形結(jié)合，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決.【學(xué)習(xí)重點】：向量的坐標(biāo)表示；【學(xué)習(xí)難點】：向量的坐標(biāo)表示的理解.【學(xué)習(xí)過程】一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本27-29頁，填寫。1．平面向量的坐標(biāo)表示如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，___________一對實數(shù)、，使得…………eq\o\ac(○,1)我們把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作…………eq\o\ac(○,2)其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)，eq\o\ac(○,2)式叫做向量的坐標(biāo)表示.與相等的向量的坐標(biāo)也為___________.特別地，，，.如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點O為起點作，則點的位置由唯一確定.設(shè)，則向量的坐標(biāo)就是點的坐標(biāo)；反過來，點的坐標(biāo)也就是向量的坐標(biāo).因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都是可以用一對實數(shù)唯一表示.小試牛刀1．判斷下列命題是否正確(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)與x軸平行的向量的縱坐標(biāo)為0；與y軸平行的向量的橫坐標(biāo)為0.()(2)兩個向量的終點不同，則這兩個向量的坐標(biāo)一定不同．()(3)當(dāng)向量的始點在坐標(biāo)原點時，向量的坐標(biāo)就是向量終點的坐標(biāo)．()(4)向量可以平移，平移前后它的坐標(biāo)發(fā)生變化．()2．已知eq\o(AB,\s\up16(→))＝(－2,4)，則下列說法正確的是()A．A點的坐標(biāo)是(－2,4)B．B點的坐標(biāo)是(－2,4)C．當(dāng)B是原點時，A點的坐標(biāo)是(－2,4)D．當(dāng)A是原點時，B點的坐標(biāo)是(－2,4)3．設(shè)i＝(1,0)，j＝(0,1)，a＝3i＋4j，b＝－i＋j，則a與b的坐標(biāo)分別為________．【自主探究】題型一向量的減法運算例1如圖，向量a，b，c的坐標(biāo)分別是________，________，____________.例2如圖所示，在邊長為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30°角．求點B和點D的坐標(biāo)和eq\o(AB,\s\up16(→))與eq\o(AD,\s\up16(→))的坐標(biāo)．跟蹤訓(xùn)練一1．已知e1＝(1,2)，e2＝(－2,3)，a＝(－1,2)，試以e1，e2為基底，將a分解成λ1e1＋λ2e2的形式為____________．2.已知O是坐標(biāo)原點，點A在第一象限，|eq\o(OA,\s\up16(→))|＝4eq\r(3)，∠xOA＝60°，(1)求向量eq\o(OA,\s\up16(→))的坐標(biāo)；(2)若B(eq\r(3)，－1)，求eq\o(BA,\s\up16(→))的坐標(biāo)．【達標(biāo)檢測】1．如果用i，j分別表示x軸和y軸方向上的單位向量，且A(2,3)，B(4,2)，則AB可以表示為()A．2i＋3j B．4i＋2jC．2i－j D．－2i＋j2．若向量a＝(x－2，3)與向量b＝(1，y＋2)相等，則()A．x＝1，y＝3B．x＝3，y＝1C．x＝1，y＝－5D．x＝5，y＝－13．若A(2，－1)，B(4，2)，C(1，5)，則AB4．已知a的方向與x軸的正向所成的角為120°，且|a|=6，則a的坐標(biāo)為____.5．如圖所示，已知點，將向量繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到，求點B的坐標(biāo)．答案小試牛刀1.(1)√(2)×(3)√(4)×2．D.3．(3,4)，(-1,1).自主探究例1【答案】a＝(－4,0)；b＝(0,6)；c＝(－2，－5)．【解析】將各向量分別向基底i，j所在直線分解，則a＝－4i＋0·j，∴a＝(－4,0)；b＝0·i＋6j，∴b＝(0,6)；c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．例2【答案】Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))).Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).【解析】由題知B，D分別是30°，120°角的終邊與單位圓的交點．設(shè)B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函數(shù)的定義，得x1＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，y1＝sin30°＝eq\f(1,2)，∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))).x2＝cos120°＝－eq\f(1,2)，y2＝sin120°＝eq\f(\r(3),2)，∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).∴eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).跟蹤訓(xùn)練一1．【答案】a＝eq\f(1,7)e1＋eq\f(4,7)e2.【解析】設(shè)a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)，則(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2,2λ1＋3λ2)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＝λ1－2λ2，,2＝2λ1＋3λ2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝\f(1,7)，,λ2＝\f(4,7).))∴a＝eq\f(1,7)e1＋eq\f(4,7)e2.2.【答案】（1）eq\o(OA,\s\up16(→))＝(2eq\r(3)，6)．(2)eq\o(BA,\s\up16(→))＝(eq\r(3)，7)．【解析】(1)設(shè)點A(x，y)，則x＝4eq\r(3)cos60°＝2eq\r(3)，y＝4eq\r(3)sin60°＝6，即A(2eq\r(3)，6)，eq\o(OA,\s\up16(→))＝(2eq\r(3)，6)．(2)eq\o(BA,\s\up16(→))＝(2eq\r(3)，6)－(eq\r(3)，－1)＝(eq\r(3)，7)．當(dāng)堂檢測 1-2.CB3.(-1,6)4.(-3，3)5.【答案】．【解析】，設(shè)由題意得：，即，解得：或由圖可知《6.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示》課后作業(yè)基礎(chǔ)鞏固1．給出下面幾種說法：①相等向量的坐標(biāo)相同；②平面上一個向量對應(yīng)于平面上唯一的坐標(biāo)；③一個坐標(biāo)對應(yīng)于唯一的一個向量；④平面上一個點與以原點為起點，該點為終點的向量一一對應(yīng).其中正確說法的個數(shù)是()A．1 B．2 C．3 D．42．下列可作為正交分解的基底的是（）A．等邊三角形中的和B．銳角三角形中的和C．以角A為直角的直角三角形中的和D．鈍角三角形中的和3．已知向量，將繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，則（）A． B． C． D．4．以原點O及點A（5，2）為頂點作等腰直角三角形OAB，使A=90°，則的坐標(biāo)為（）A． B．或 C． D．或5．點P在平面上作勻速直線運動，速度向量（即點P的運動方向與相同，且每秒移動的距離為各單位）。設(shè)開始時點P的坐標(biāo)為（-10，10），求5秒后點P的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．6．已知向量的方向與x軸的正方向的夾角是30°，且||=4，則的坐標(biāo)為____.7．若向量與相等，其中，則=_________.8．已知是平面內(nèi)兩個相互垂直的單位向量，且，，，求的坐標(biāo).能力提升9．如上圖，向量，，的起點與終點均在正方形網(wǎng)格的格點上，則向量用基底，表示為()A．＋ B．2－ C．－2＋ D．2＋10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點在第一象限內(nèi)，，且，若，則+的值是．11．在直角坐標(biāo)系中，向量，的方向如圖所示，且，，分別求出它們的坐標(biāo)．素養(yǎng)達成12．已知長方形ABCD的長為4，寬為3，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，是x軸上的單位向量,是y軸上的單位向量，試求和的坐標(biāo)．《6.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示》課后作業(yè)答案解析基礎(chǔ)鞏固1．給出下面幾種說法：①相等向量的坐標(biāo)相同；②平面上一個向量對應(yīng)于平面上唯一的坐標(biāo)；③一個坐標(biāo)對應(yīng)于唯一的一個向量；④平面上一個點與以原點為起點，該點為終點的向量一一對應(yīng).其中正確說法的個數(shù)是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因為向量平移坐標(biāo)不變，所以一個坐標(biāo)可以對應(yīng)無數(shù)個向量，但一個向量對應(yīng)唯一的坐標(biāo)，故③錯，①②④均對．故選C．2．下列可作為正交分解的基底的是（）A．等邊三角形中的和B．銳角三角形中的和C．以角A為直角的直角三角形中的和D．鈍角三角形中的和【答案】C【解析】選項A中，與的夾角為60°；選項B中，與的夾角為銳角；選項D中，與的夾角為銳角或鈍角.故選項都不符合題意.選項C中，與的夾角為90°，故選項C符合題意.故選：C3．已知向量，將繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】向量（5，12），將繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到，點B的坐標(biāo)（﹣12，5），如圖：所以．故選D．4．以原點O及點A（5，2）為頂點作等腰直角三角形OAB，使A=90°，則的坐標(biāo)為（）A． B．或 C． D．或【答案】B【解析】設(shè)，，因為三角形OAB是等腰直角三角形，且,所以,即,解方程組得或所以或,故本題選B.5．點P在平面上作勻速直線運動，速度向量（即點P的運動方向與相同，且每秒移動的距離為各單位